第五章 二元一次方程组 素养测评卷-【优品单元卷】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步试卷（北师大版2024）

第五章素养测评卷 (满分：120分时间：100分钟) 八年级上 北师版 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.(淄博期中)下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( x+y=2, +y=3, x+y=3, 12 A. B C. P. x十之=3 y=1 Izy =2 2x+y=1 x=2, 2.(榆林期末)若 y=1 是关于x,y的二元一次方程ax一y=1的解，则a的值为 A.2 B.1 C.-1 D.-2 和 2a+b-3c=19, 3.(烟台期中)三元一次方程组4a十2b十c=3,消去未知数c后，所得二元一次方程组是() a-b+c=0 5a-2b=19, 2a+b=4, a+b=1, 3a+b=3, A. B. C. D. a+b=1 3a+b=3 3a-2b=19 5a-2b=19 4.[数学文化]（临沂模拟）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学 形成了完整的体系。其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八 两。问牛、羊直金几何？”译文如下：假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金 8两。问每头牛、每只羊各值金多少两？如果设每头牛值金x两，每只羊值金y两，那么下面列 出的方程组中正确的是 5x+2y=10, 5x+2y=8, x+y=10, 5x+2y=8, A. B. C. D. 2x+5y=8 2x+5y=10 2x+5y=8 x+y=10 2x+y=3k+2, 5.(安徽期末)已知关于x,y的方程组 若x一2y=1,则k的值为 ( 4x-3y=-k+5, 器 A B-月 c D.-2 ®6.（渭南期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形。若 设小长方形的长为x,宽为y,则可列方程组为 A. 4y=40, B. x+y=40, ly=3x 3.x=2x+3y 40 x+y=40, C. D. x-y=40, ☒ 3y=2y+3x lx =3y /3x-2y=5, 7.(杭州月考)若关于x,y的二元一次方程组 的解x,y互为相反数，则m的 4x-3(m-2)y=13 值为 A.1 B.-5 C.5 D.14 。37. 8.[新情境试题]（长沙模拟）足球比赛积分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某 队进行了13场比赛，其中负了4场，共得19分，那么该队胜了 () A.2场 B.3场 C.4场 D.5场 9.[一题多解]（沈阳模拟）小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买），其中笔记本每本 5元，水性笔每支3元，小明一共花费了35元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是 () A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 10.[一题多解]（青岛期末）如图，关于一次函数y=kx十3k十5(k≠0)与y=ax(a≠0)的图象，下 列说法正确的有 () ①k>0,a<0; ②y=a.x(a≠0)的图象，y随着自变量x值的增大而减小； ③不论k为何值，一次函数y=kx+3k十5(k≠0)的图象都经过定点A,则点A的坐标为 (-3,5)； y=kx+3k+5, x=-3, ④方程组 的解是 y=ax 1y=5. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.(娄底期末)二元一次方程2x+y=7有 个非负整数解。 12.(安庆期末)若直线y=x十1与y=mx十n相交于点P(1,a),则关于x,y的二元一次方程组 x-y+1=0, 的解为 mx-y+n=0 ax+by=2, 2x+3y=10, 13.(聊城月考)若关于x,y的二元一次方程组 的解与 的解相同，则 ax-by=4 4x-5y=-2 a= ,b= 14.[新情境试题]（淄博月考）甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如 果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙。若设甲、乙两人每秒分别跑x,y米，列出的方程 组为 15.[数学文化]（咸阳期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，其中有一道周瑜寿属的 题目，原文为“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”。意思是 周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的 数字的6倍正好等于这个两位数。若设这个两位数的十位上的数字是x,个位上的数字为y, 则可列方程组为」 ·38· 16.[新情境试题]（西安期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人 间每人每天35元。一个79人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住 满，一天共花去住宿费2315元。设该旅游团租住三人间客房x间，两人间客房y间，列出满 足题意的方程组为 三、解答题（共72分） 17.(9分)（文登区期中）解方程组： 3(x-1)=y+5, 6(x+y)-4(2x-y)=16, ”号-专+ (2)2(x-y)_x+y=-1: 3 4 a+b-c=1, (3)a+2b-c=3, 2a-3b+2c=5。 18.[新定义运算](5分)（烟台期中）对于任意实数m,n,定义关于“⊙”的一种运算如下：m⊙n= m+2n。例如：3⊙4=3+2×4=11。 (1)求5⊙(-3)的值； (2)若x⊙(-y)=一3，且y⊙x=-1,求x一y的值。 ·39 ax+5y=15, 19.(7分)（兰州期末）在解方程组 时，甲看错了方程组中的a,得到的解为 4x-by=-2 x=一3， x=5, 乙看错了方程组中的b,得到的解是 y=1, y=4。 (1)求原方程组中a,b的值： (2)求原方程组中正确的解。 20.[数学文化](7分)（准安中考）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题： “今有客不知其数。两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘。问客及盘各几何？”意思如下：现有 若干名客人。若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘 子。问客人和盘子各有多少？请你解答这个问题。 21.[学科融合](10分)（沈阳开学）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮。利用图中信息解 决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出 温水 开水 水流速度⊙ ◎水流速度 的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开 20m/s3茹015mL/s 水的体积×开水降低的温度=温水的体积× 出水口 温水升高的温度。” (1)王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为t℃。 ①王老师的水杯容量为 mL; ②接入水杯的温水吸收的热量为 mL/℃。（用含t的代数式表示） 。40。 (2)嘉淇同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210L、温度为40℃ 的水（不计热损失），求嘉淇同学的接水时间。（列二元一次方程组解决问题） 22.[新情境试题](10分)（哈尔滨开学）为了让市民树立起“珍惜水、保护水”的用水概念，某市从 2014年6月起，居民生活用水按阶梯式水价计费。下表是该市居民“一户一表”生活用水计费 价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价/（元/吨） 单价/（元/吨） 20吨及以下 0.80 超过20吨但不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 3.30 0.80 (说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用) 已知小李家2014年6月份用水20吨，交水费49元，7月份用水25吨，交水费65.4元。 (1)求表中a,b的值； (2)小李家8月份的水费正好是小李家庭月收入的2%，已知小李家的月收人为8190元，试求 小李家8月份的用水量。 23.(12分)（淄博期末）已知点A(0,4),C(一2,0)在直线l:y=kx+b上，l和函数y=一4x+a的 图象交于点B。 (1)求直线1的表达式； y=kx+b, (2)若点B的横坐标是1，求关于x,y的方程组 的解及a的值； y=-4x+a 。41 (3)在(2)的条件下，若点A关于x轴的对称点为点P,求△PBC的面积。 5 号 2 C -32-10123456元 y=-4x+a 学 烯 24.[新情境试题](12分)（张家界一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐 渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了 解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计 95万元。 (1)求A,B两种型号的汽车每辆的进价； 图 (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买）， 请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元， 在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 图 蝶 雪 ·42·(2)由(1)知，△ABC和△ADC都是直角三角形， 因为OA=1,OB=2,CE=3,OE=4, 所以SaAm=SaAe+SAm=1X1X号十1X 所以BE=OE-OB=4-2=2。 1 所以S△oA=20A·0B=2X1X2=1, 2 21.解：(1)能从门框内通过。 S△E= BE.CE=×2X3=3 如图1，连接AC,则AC与AB,BC构成直角三角形。 又因为Sm-(OA十CE)·0E-号×1十 由勾股定理，得AC=√AB2+BC=√2+2= 3)×4=8, √5≈2.236(m)。 所以S△ABC=S梯形ACE一S△OAB一S△E=8-1一3=4。 因为2.2<2.236， (2)(4,-3) 所以一块长3m、宽2.2m的装修木板能从门框内通 (3)因为点P为y轴上一点， 过（将该装修木板的宽沿着AC斜着进去）。 所以设点P的坐标为(0，a)。 所以PA=|a-1|。 因为△ACP的面积为10， 所以2la-1×4=10. 图1 图2 所以a-1|=5。 (2)这个立柜能通过。 所以a-1=5或a-1=-5。 如图2，过点C作CD⊥AB于点D,则△ACD是等 解得a=6或-4。 腰直角三角形，即AD=CD。 所以点P的坐标为(0,6)或(0，一4) 因为AC=√2m,所以CD+AD=AC2。 24.解：(1)当0≤x≤20时，y=15x, 所以2CD2=(√2)2。所以CD=1。所以CD=1m。 当x>20时，y=20×15+15×0.8×(x-20)=12x+60, 因为1<1.05，所以这个立柜能通过。 所以y关于x的函数表达式为 22.解：(1)把点B(3,2)代人y=kx-4,得k=2。 115.x(0≤x≤20)， y= (2)由(1)，得直线y=2x一4。 12x+60(x>20)。 当x-时y=2x号-4=-3≠3 (2)设购买甲种跳绳m条，则购买乙种跳绳(60一 m)条。 所以点D不在y=kx一4的图象上。 当10≤m≤20时，w=15m+18(60-m)=-3m+ (3)当y=0时，x=2, 1080。 所以点C的坐标为(2,0)。 因为-3<0， 1 所以S△x=2X2X2=2.。 所以的值随着m值的增大而减小。 所以当m=20时，有最小值，为一3×20+1080= 23.解：(1)如图，△ABC即为所求作。 1020。 过点C作CE⊥x轴于点E。 此时60-m=60-20=40。 当20<m≤40时，u=20×15+(m-20)×15× 0.8+18(60-m)=-6m+1140。 B:HE 因为-6<0， 所以心的值随着m值的增大而减小。 所以当m=40时，®有最小值，为一6×40十1140=900。 此时60-m=60-40=20。 ·88· 因为900<1020， a+b-c=1, ⊙ 所以当购买甲种跳绳40条，乙种跳绳20条时，付款 (3)a+2b-c=3,② 总金额最少。 2a-3b+2c=5。③ ·第五章素养测评卷。 ②-①，得b=2。 1.B2.B3.A4.A5.A6B7.C8.D9.D a-c=-1,④ 将b=2代人①③，得 10.D解析：因为一次函数y=k.x十3k十5(k≠0)图象， 2a+2c=11。⑤ y的值随着x值的增大而增大， ④X2十⑤，得4a=9,a=4 所以k>0。 将a= 9 13 因为y=ax(a≠0)的图象，y的值随着x值的增大 代人④，得c=4 而减小， 9 所以a<0。故①正确；②正确； a4 因为y=k.2x十3k十5可变形为y=k(x十3)十5， 所以原方程组的解是b=2, 所以当x=一3时，不论(k≠0)为何值时，y均等于5。 所以点A的坐标为（一3,5）。故③正确； 因为一次函数y=kx十3k十5(k≠0)与y=a.x(a≠ 18.解：(1)5⊙(-3)=5+2×(-3)=-1。 0)的图象交于点A(-3,5), (2)因为x⊙(-y)=-3,且y⊙x=-1, y=k.x+3k+5, x=-3, 所以方程组 的解是 故④ 所以一2y=-3 y =ax y=5 y+2x=-1 解这个方程组，得=一1， y=1。 正确。综上所述，说法正确的有①②③④。故选D。 所以x-y=-1-1=-2。 5(x-y)=10, 11.412. 19.解：(1)将 x=-3, 代人4x-by=-2, y=2 -2 4(x-y)=2y y=1 x十3=y, 3x+2y=79, 得-12-b=-2。解得b=-10。 15. 16. 6y=10x+y 3×25.x+2×35y=2315 x=5, 将 代人ax+5y=15, 3(x-1)=y+5,① y=4 17.解：1y-1=2+1。② 得5a+20=15。解得a=-1. 35 -x+5y=15,① (2)原方程组为 由①，得3.x-y=8。③ 4.x+10y=-2。② ②×15，得5y-3.x=20。④ ①×2-②，得-6x=32,x= 16 ③+④，得4y=28。解得y=7。 39 将y=7代入①，得x=5。 ①×4+②，得30y=58,y=150 29 x=5, 所以原方程组的解是 y=7。 x=- 16 3 (6(x+y)-4(2x-y)=16,① 所以原方程组的解是 29 (2)2(x-y)_x+y=-1。② y=5 3 4 20.解：设有x个客人，y个盘子。 由①，得x-5y=-8。③ ②×12，得5.x-11y=-12。④ 2=y+2, 根据题意，得 x=30, ③×5-④，得-14y=-28。解得y=2。 解得 y=13。 将y=2代人③，得x=-8+10,x=2。 +3=y 3 x=2, 所以有30个客人，13个盘子。 所以原方程组的解是 y=2。 21.解：(1)①400②(280t-8400) ·89· (2)设嘉淇同学接温水的时间为xs,接开水的时间 24.解：(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车 为ys。 每辆的进价为y万元。 /20x+15y=210, 2x+3y=80, {x=25, 根据题意，得 根据题意，得 解得 20.x(40-30)=15y(100-40)。 3.x+2y=95。 y=10。 解得9， 所以A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆 y=2。 的进价为10万元 所以x+y=11。 (2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆。 所以嘉淇同学的接水时间为11s。 根据题意，得25m十10m=200。 22.解：(1)根据题意，得 解得m=8-亏” /20a+0.8×20=49, 20a+0.8×20+(25-20)b+0.8×(25-20)=65.4。 因为m,n均为正整数， 解得-1.65， m1=6,m2=4,m3=2, 所以 b=2.48。 n1=5,n2=10,n3=15 (2)当用水量为30吨时，水费为 所以共3种购买方案。方案一：购进A型汽车6辆， 49+(30-20)×(2.48+0.8)=81.8(元)。 B型汽车5辆；方案二：购进A型汽车4辆，B型汽车 8190×2%=163.8(元)， 10辆：方案三：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆。 因为81.8<163.8， (3)方案一获得利润：8000×6+5000×5=73000（元）： 所以小李家8月份的用水量超过30吨。 方案二获得利润：8000×4+5000×10=82000（元）； 所以(163.8-81.8)÷(3.30+0.80)+30=50（吨）。 方案三获得利润：8000×2+5000×15=91000（元）。 所以小李家8月份的用水量是50吨。 因为73000<82000<91000， 23.解：(1)因为点A(0,4),C(-2,0)在直线1：y=kx十b上， 所以购进A型汽车2辆，B型汽车15辆获利最大，最 b=4, k=2, 大利润是91000元。 所以 解得 -2k+b=0。 b=4。 ·第六章素养测评卷。 所以直线I的表达式为y=2x十4。 1.B2.A3.D4.A5.B6.D7.C8.C9.B (2)根据题意，得点B在直线1上。 10.B 所以当x=1时，y=2+4=6。 11.5012.313.614.3.615.B16.> 所以点B的坐标为(1,6)。 17.解：(1)7.37.3 ly=kx+b, (2)所抽取机器人工作时长的平均数为 所以关于x,y的方程组 的解为 y=-4.x+a y=6 20×(12.7+27.0+43.7+38.4+24.2)=7.3h). 因为点B是直线l与直线y=一4x十a的交点， 所以把x=1,y=6代人y=-4x十a中，得a=10。 (3)2000×5+3 800(台)。 20 (3)因为点A与点P关于x轴对称，所以点P的坐 所以估计这批机器人工作时长不小于7.5h的有800台。 标为(0，一4)。 18.解：(1)181815（从左到右，从上到下） 所以AP=4+4=8, =hx+b (2)选路线二。理由如下： 又因为点C(一2,0)， 因为路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数 所以OC=2。 小于路线一，路线二的众数小于路线一，所以选路 所以S△PBC=S△PAB十S△PAC 线二。 号×8x1+3×8x2 23456x =-4x+a 19.解：1)甲的平均分为10+9+9+7=8.75（分）。 4 =4+8 =12. 乙的平均分为9+8+10+9=9（分）。 4 ·90·