第二章 实数 素养测评卷-【优品单元卷】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步试卷（北师大版2024）

第二章素养测评卷 (满分：120分时间：100分钟) 八年级·上 北师版 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.(深圳期末)在-1.732，√2，π，3.14,2+√3,0.1010010001…， 6 这些数中，无理数的个数为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 2.(四川中考)下列说法中正确的是 A.0.09的平方根是0.3 B.W16=士4 和 C.0的立方根是0 D.1的立方根是士1 3.(河北中考)下列计算正确的是 A.√4+9=2+3 B./4X9=2×3 C.√9=32 D.√/4.9=0.7 4.(重庆中考)已知m=√27一√3，则实数m的取值范围是 A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 5.(上海期末)下列各组二次根式中，是同类二次根式的为 /1 A.√3和√⑨ B.√a和√2a C.2和 D.√ab和√ab 6.(湖南中考)若√x-1+(y+2)2=0,则(x十y)2014等于 A.-1 B.1 C.32014 D.-32014 茶 7.(山东中考)利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是 A.按键MODE2即可进入统计计算状态 B.计算⑧的值，按键顺序为2ndF8= C.计算结果以“度”为单位，按键DMS可显示以“度“分”“秒”为单位的结果 D.计算器显示结果为3时，若按a/c键，则结果切换为小数格式0.333333333 ☒ 8.(淄博期中)下列计算正确的是 A.√2+√3=√5 B.2√5×35=63 C.3√5-25=1 D.√27÷√5=3 。7 9.(毕节期末)下列运算正确的是 A.√（-5)7=-5 B.6÷ ×3=3 √5 C.(√2+1)(2-1)=3 D.(3-√2)2=11-6√2 10.[规律探究]（山东中考）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF, 再以CF为边作第3个正方形FCGH,…,按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为 A.(2√2)5 G B.(2√2)6 C.(2) D.(√2)6 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.(常州中考)16的算术平方根是 12.(揭阳一模)若代数式 三在实数范围内有意义，则x的取值范围是 一x+ 13.(武威开学)计算：（√5-2）2021X(2十√5)2022= 14.（成都期末)一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是 15.[新定义运算]（怀化期未）对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算“※”4※6=a干b a-b' 如5※4= 5+1=3。那么(2-B)※(7※5)= 5-4 3 √17，…。 =30'/4-17=4 (1)第5个等式为 8 (2)若a-b 8 √石(a,b为正整数)，则ab= =a 三、解答题（共72分） 17.(6分)（兰州期中）将下列各数填入相应的集合内：(-厄)°，8,0，，2，-0.33,5， 3.1415,0.010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。 ·8 有理数集合：{ …}; 无理数集合：{ …}; 负实数集合：{ …}。 18.(10分)（淄博期末）求下列各式的值： 25 (10W121 (2)-1; (3)(-3)3; (4)(√5)2； (5)(-7)。 19.(12分)（新余期末）计算： 2E-2后-s)÷: (2)-1222+|√3-3|-2（√5-2）； 8(-专+7-1-1+后E (4)(7+√5-√2)(2-5+7)。 。9. 20.(8分)（无锡期末）已知6a+3的立方根是3,3a十b一1的算术平方根是4。 (1)求a,b的值； (2)求b2一a2的平方根。 21.(8分)（武汉期中）已知a=3+2√2，b=3一2√2，分别求下列代数式的值： (1)a2-b2; (2)a2-3ab+b2。 ·10。 22.(8分)（鹤壁月考）已知a,b,c满足|a一8|+√b-5+(c一3√2)2=0。 (1)求a,b,c的值； (2)以α，b,c为边的长度能否组成三角形？如果能，请求出三角形的周长；如果不能，请说明 理由。 23.[新情境试题](10分)（南宁期中）安全问题，时刻警醒。高空坠物严重威胁着人们的“头顶安 全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及。经过查阅 相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= 2h (不考虑风速的影响，g取10N/kg)。 (1)求从45m高空抛物到落地的时间； (2)已知高空抛物产生的动能（单位：J)=10(单位：N/kg)×物体质量（单位：kg)×高度（单 位：)，某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s落在地上。根据以上信息，小南判断 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确。（注：伤害 无防护人体只需要65J的动能) 。11· 24.[探索实践](10分)（邵阳期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如√m士2√n的化简，只要我们找到两个数a,b,使a十b=m,ab=n,使得（√a)2+(√B)2= m,√a·√b=n,那么便有√m士2√n=√(a士√b)2=√a士√b(a>b)。 努 例如：化简√7十4√5。 解：首先把√7+4√5化为√7+2√12，这里m=7,n=12。 因为4+3=7,4×3=12，即（√4）2+（√5）2=7,4×√5=√12， 学 所以√7+45=√7+212=√(4)+2X5+(3)2=√(4+3)2=2+5。 仿照上例，回答下列问题： (1)化简：√4-25； 烯 (2)计算：√/3-2√2+√5-2√6+J7-2/12+…+√19-2√90。 前 明 雪 。12·18.解：由题意可知，∠ABE=∠DBE=90°。 所以AC2+BC2=AB2。 参考答案 在Rt△DBE中，DE=150米，BE=120米， 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90° 由勾股定理，得BD2=DE2-BE2=1502-1202 (2)学校C会受噪声影响。理由如下： 8100(米)。 如图，过点C作CD⊥AB于点D ●第一章素养测评卷● 所以BD=90米。 当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小 1.D2.B3.B4.B5.D6.C7.A8.A9.C 所以AB=AD-BD=250-90=160(米)。 因为2AC·BC=2AB·CD, 狗与淇淇的距离最近。 10.B 所以AE2=AB2+BE2=1602+1202=4000(米)。 11.5012.113.C14.315.12 所以CD=AC·BC_120X160 因为AB=20m,CB=15m,AC=25m, AB 200 16.48解析：如图，把各个小正方形标上字母」 所以AE=200米。 所以AC2=625m,AB2+BC=202+15=625(m)。 所以小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆 96(m) 所以AC2=AB2+BC% 因为吊车周围120m以内为受噪声影响区域， D处，两人的总路程为200+150=350（米）。 所以∠ABC=90°。 且96<120， (2)因为DE2+AE2=1502+2002=62500, 所以学校C会受噪声影响」 所以S6=号AB·BC=AC·BH。 AD2=2502=62500, (3)如图，在AB上取一点E,使CE=120m,连 所以BH=AB:BC-20X15=12m. 设正方形A的边长为x,正方形B的边长为y。 所以DE2+AE2=AD AC 接CE。 25 所以正方形A的面积为x2,正方形B的面积为y2。 所以∠AED=90°。 所以CE=AC=120m。 所以HC2=BC2-BH2=152-122=81(m)。 根据题意，得正方形C的边长为2，并且是直角三角 所以面馆D到公路AC的距离为DE=150米。 所以当吊车在线段AE上时产生的噪声会影响 所以HC=9m 形的斜边。所以正方形C的面积为4。 19.解：(1)因为AD⊥BC, 学校。 所以小狗跑的路程为HC+BC=9+15=24(m)。 根据勾股定理，得x2十y2=22=4。 所以∠ADB=∠ADC=90° 因为CD⊥AB, 因为小狗奔跑的速度为2m/s, 所以正方形A的面积十正方形B的面积=4。 因为BD=3,AB=5, 所以24÷2=12(s)。 所以题图1中所有正方形的面积和为4十4=8。 所以AD2=AB2-BD2=52-32=16。 所以ED=AD 所以当小狗从点B出发，奔跑12s后到达小路CA 所以AD=4。 在Rt△CDA中，AD=AC-CD=√1202-96 同理可得，正方形E的面积十正方形F的面积=正方 上是某点，此时小狗与淇淇的距离最近。 =72(m)。 形A的面积，正方形G的面积十正方形H的面积=正 因为CD的长为x, 所以t的值为12。 所以AC2=AD2+CD2=4+x2=16+x2。 所以AE=2AD=144m,144÷60=2.4(分). 方形B的面积， 24.解：(1)a2-b2a2-b2=(a十b)(a-b) 所以正方形E的面积十正方形F的面积十正方形G 故答案为16十x2。 所以噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟。 (2)证明：将小正方形的一边延长，得到两个小长方 (2)因为∠BAC=90°，AB=5,BD=3,CD=x 22.解：(1)在△BCD中，因为CD⊥AB, 的面积十正方形H的面积=正方形A的面积十正 形，两个小长方形的面积和，即阴影部分的面积为 所以BC=BD+CD=3十x. 所以∠BDC=90°. 方形B的面积=4。 a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b), 所以题图2中所有正方形的面积和=题图1中所有 因为AC2=BC2-AB2,AC2=16+x2, 所以BD+CD=BC 所以a2-b2=(a+b)(a-b)。 所以(3+x)2-52=16十x2。 所以CD2=BC2-BD2=15-92=144。 正方形的面积和十4=8十4=12，即1次操作后所有 (3)因为大正方形由四个全等的直角三角形和一个 16 所以CD=12。 正方形的面积和=题图1中所有正方形的面积和 解得x=了· 小正方形组成，直角三角形中较长的直角边的长度 (2)在△ACD中，因为CD⊥AB, 4=8+4=12。 为a,较短的直角边的长度为b,斜边的长度为c, 20.解：(1)如图所示，点P即为所求作。 所以∠ADC=90°。 同理可得，2次操作后增加的8个小正方形的面积和 所以CD2十AD2=AC2 所以(a-b)+4x号×ab=c。 也是4。 所以AD=AC2-CD2=202-122=256 所以2次操作后所有正方形的面积和=题图1中所 所以a2-2ab+b2+2ab=c2。 所以AD=16。 有正方形的面积和十2×4=8十8=16。 所以a2+b2=c2。 所以AB=AD+BD=16+9=25 所以10次操作后所有正方形的面积和=题图1中所 ·第二章素养测评卷。 (2)如图，过点B作BE垂直AC于点E (3)因为BC2+AC2=152+202=625,AB2=252=625, 有正方形的面积和十10×4=8十40=48。 1.C2.C3.B4.B5.C6.B7.B8.D9.D 在Rt△A,BE中，由勾股定理，得 所以AB2=BC2+AC2 17.解：因为在△ABE中，DE是边AB上的高，DE= 10.C解析：由题意可知，第1个正方形的边长AB=1 12,S△ABE=60, A,B=A,E+BE=(18-4+2+() =400(cm)。 所以△ABC是直角三角形。 根据勾股定理，得第2个正方形的边长AC=√2； 23.解：(1)因为∠D=90°，AD=7m,DC=24m, 所以2AB·DE=60,即2×ABX12=60。 所以A,B=20cm。 所以在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=72+242= 根据勾股定理，得第3个正方形的边长CF=(√2)： 所以蚂蚁爬行的最短路径长是20cm。 625(m)。 根据勾股定理，得第4个正方形的边长GF=(√2)'； 解得AB=10。 21.解：(1)因为点C与直线AB上两点A,B的距离分 又因为在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8, 所以AC=25m。 根据勾股定理，得第5个正方形的边长GN=(√2)； 别为120m和160m,AB=200m, 所以BC2=AB2-AC2=102-82=36。 所以小路AC的长为25m。 根据勾股定理，得第6个正方形的边长为（√2）。故 又因为1202+1602=2002， 所以BC=6。 (2)如图，过点B作BH⊥AC于点H。 选C。 704 11.412.x<113.-√5-214.6cm =9+3√5-(W2-1)+ 1 15.-2+6 √5-√2 4 =9+35-√2+1+ √5+√2 5 5 (3-√2)（√5+√2） 16.(1D/5-26=526 (2)520 解析：(1)第5个等 =9+35-√2+1+√5+√2 5 需=5√：(2)根据题中的规律，得 =10+4√3 (4)(W7+√5-√2)(W2-√5+√7) n n2+1 =√n2+1 n≥1且n为正整数). =[√7+(5-√2)][√7-（√5-√2）] =(7)2-(5-√2)2 =7-(5-2√10+2) 所以a=8,b=82+1=65。所以ab=8×65=520。 =7-(7-2√10) 17.有理数集合：{(-√2)°，8,0，√，-0.333…， =2√10。 3.1415,…}; 20.解：(1)因为6a十3的立方根是3,27的立方根是3， 无理数集合：诉，5,0.01001001…（相邻两个 所以6a十3=27。 1之间0的个数逐次加1)，…}： 解得a=4。 负实数集合：{一0.333…，…}。 又因为3a十b-1的算术平方根是4,16的算术平方 18解：1)原式==品。 根是4，即√16=4， 所以3a+b-1=16。解得b=5。 (2)原式=-1)=-1。 所以a=4,b=5。 (3)原式=-3。 (2)由(1)知，a=4,b=5, (4)原式=√5×√5=√5×5=5。 所以b2-a2=52-42=25-16=9。 (5)原式=7。 因为9的平方根为士3， 19.解：1(2厘-2®)÷ 所以b2-a2的平方根为土3。 21.解：(1)因为a=3+2√2，b=3-22, 所以a十b=(3+22)+(3-2√2)=6，a-b=(3十 2√2)-(3-2√2)=4√2。 所以a2-b2=(a+b)(a-b)=6×4√2=24√2 (2)a2-3ab+b =(a-b)2-ab =(4√2)2-(3+22)(3-2√2) =32-1 1 =31。 =2×2-2×3-4 22.解：(1)因为a,b,c满足|a-8|十√b-5+(c 2 二一 3√2)2=0， (2)-12+√5-3-2(W5-2) 所以a-8=0,b-5=0,c-3√2=0。 =-1+3-√5-2√3+4 解得a=8,b=5,c=3√2。 =6-3w3。 (2)因为5+3√2>8， 所以以a,b,c为边的长度能组成三角形。 8(-号'+m-1+后万 三角形的周长为5+8+3√2=13+3√2， ·81 2a解：0当A=5m时=-周-5=a 16.9 解析：，1 1 1 所以从45m高空抛物到落地的时间为3s。 (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。 √98+√99√99+√100 理由如下： =√2-1+3-√2+√4-√3+…+√99-√98+ 2h 当t=4s时Wg=√0 4, √100-√99 =-1+√100 所以2头=16. 10 =-1+10 解得h=80。 =9。 所以这个玩具产生的动能为10×0.2×80=160(J)。 1.解：1亚区+5÷月 因为160>65， √3 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。 2-35+5÷ 24.解：(1)√4-25=√/(5)2-2×√5×1+12= √5 √(3-1)=5-1。 B+×B (2)√3-2√2+√W5-26+√7-212+…+ =-1+3 J19-2√90 =2。 =√W2-1)2+√3-2)2+√W4-3)2+…+ (2)(√3-√2)2×(5+2√6) =(3-2√6+2)×(5+2√6) √（√10-） =(5-2√6)×(5+2√6) =√2-1+√3-√2+√4-√3+…+√/10-√ =25-24 =-1+√10 =1。 阶段自主评价卷（一） 18.解：(1)因为3(x-2)2=27, 1.C2.B3.C4.C5.C6.D7.C8.A 所以(x-2)2=9。 9.C解析：将石柱展开，展开图如下： 所以x一2=士3。 5 所以x1=5或x2=-1。 (2)因为2(x-1)3+16=0, 所以(x一1)3=-8。 所以x-1=-2。 所以每一圈的高度为12÷3=4（米）。 所以x=一1。 所以雕龙的长度为√4+3=5（米）。 19.解：(1)因为m2=(-7)2,n3=(-3)3, 所以雕刻在石柱上的巨龙至少为5×3=15（米）。 所以m=7或-7，n=一3。 故选C。 当m=7时，m十n=7十(-3)=4： 10.C解析：因为OA,=1, 当m=-7时，m+n=-7+(-3)=-10。 在Rt△OA1A,中，由勾股定理，得 所以m+n的值为4或一10。 OA2=√OA+A1A=√+1严=√2。 (2)因为a是一27的立方根和√16的算数平方根 同理可得，OA,=√OA+A2A=√(W2)2+1=√5。 的和， 由此规律，可得OAn=√n。 又因为一27的立方根是一3，W√16的算术平方根是2， 所以OA8=√⑧。故选C。 所以a=-3+2=-1。 11.-√2（答案不唯一）12.8π13.1-√5 因为-4=一64，-3=-27，-27>-47>-64， 14.24cm215.4.8 又因为b是比一47大且最相邻的整数， ·82· 所以b=一3。 (2)由(1)知，x=2-√5，y=2十3， 所以5a+b=5×(-1)+(-3)=-8。 因为1<3<4，所以1<5<2。 因为一8的立方根是一2， 所以-2<-√3<-1,0<2-√5<1。 所以5a十b的立方根是-2。 20.解：如图，过点B作BD⊥AC于点D。 所以3<2+√3<4。 因为x的小数部分为a,y的小数部分为b, 所以a=2-√5，b=2十√5-3=√5-1。 所以(a+b)2+√(a-b)2=(2-5+√5-1)2+ 则∠BDA=∠BDC=90°。 √(2-√5-5+1) 设AD=x,则CD=12-x。 =1+√(3-25) 在Rt△ABD和Rt△CBD中， =1+25-3 由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=BC2-CD2, =2W5-2。 即112-x2=72-(12-x)2。解得x=9。 23.解：(1)农场A会受到台风的影响。理由如下： 所以AD=9。 如图，过点A作AH⊥BC于点H。 所以BD=√AB-AD=√11-92=2√10。 因为AB⊥AC,所以∠BAC=90°。 所以S%w=2AC·BD=号×12×2V而=12VD, 所以BC=√AC2+AB7=√3002+4002=500(km)。 所以△ABC的面积为12√10。 因为△ABC的面积=号BC·AH-AB·AC, 21.解：(1)因为∠D=90°，AC=13m,AD=7m, 所以500×AH=300×400。 所以CD=√AC-AD=√132-7=2√30(m)。 所以AH=240km。 所以蔬菜区CD的边长为2√30m。 因为240<250， (2)因为AB2+BC2=52+122=132=AC2, 所以农场A会受到台风的影响。 所以△ABC为直角三角形。 (2)如图，连接AN,AM,台风从点M开始影响该农 所以∠B=90°。 场，到点N以后结束影响。 所以S用造形AD=S△AC十S△AC=2AB·BC十 1 所以AM=AN=250km。 因为AM=AN,AH⊥BC, 2CD:AD=2×5×12+×2VX7=0+ 所以MH=NH。 由勾股定理，得 7√30(m). MH=NH=√2502-240=70(km). 所以劳动基地（四边形ABCD)的面积为(30十 所以MN=2×70=140(km)。 7√/30)m2。 因为台风中心的移动速度为20km/h, 1 22.解：(1)因为x= 2-3 2+后(2+)2-26. 所以台风影响该农场持续时间是140÷20=7(h)。 4 7 1 2+√3 24.解：(1)5 8 y-2 =2十√5， -√5(2-√3)(2+√) 2n+1 n (2).1 所以x2-xy+y2 (n+1)2n+1 =(x+y)2-3.xy =(2-√5+2+√3)2-3×(2-√5)(2+√3) =42-3×1 199 1/ =16-3 10000 =13。 =2×3X4 …X99 1 1001009 ·83· ·第三章素养测评卷。 20.解：(1)如图，点A,B,C,D即为所求作。 1.D2.A3.A4.B5.D6.C7.C8.D9.C 10 北化 10.C 11.y12.第二象限13.(5,2)14.(0,4) 15.m>2 1 16.(-5,-10) 17.解：如图，过点B作BC⊥OA于点C。 012345678910 (2)由图可知，因为点B到AD的长度为3个格， 1 所以四边形ABCD的面积=2×(8十4)X3=18(m)。 因为∠ABO=90°，OA=50,OB=40, 因为整个图形的面积是10×10=100(m2), 所以AB=√OA-OB2=√502-40=30。 所以18÷100×100%=18%。 所以BC=AB:0B_30X40=24。 所以四边形的面积占整个图形面积的18%。 OA 50 21.解：(1)因为AC2=5,BC2=20,AB2=25, 所以OC=√OB2-BC2=√402-24=32。 所以AC2+BC2=AB2。 所以△ABC各顶点的坐标为点B(24,32),O(0,0), A(0,50)。 所以△ABC是直角三角形。 18.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作。 (2)如图所示： 5 点D的坐标为（一3，一1）； (3)因为DC=4,BC=BD=2√5， 由图可知，点A,(1,4),B1(3,0),C1(4,3)。 所以△BCD的周长为4√5+4。 (2)设点P的坐标为(x,0), 22.解：(1)2 则号×1r+31X4=6. (2)因为点B(3a-1,5)是“完美点”， 所以点B到x轴、y轴的距离相等。 解得x=-6或0。 所以|3a-1=5。 所以点P的坐标为(0,0)或(-6,0)。 所以3a-1=5或3a-1=-5。 19.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，大门处为坐标 原点。 解得a=2或子 (3)因为点C(9-2b,-5)是“完美点”， 所以点C到x轴、y轴的距离相等。 所以|9-2b=5。 所以9-2b=5或9-2b=-5。 B教学楼2 1A大] 解得b=2或7。 -5L4-321023456元 F体育馆 当b=2时，点D(-6,3)。 (2)(-3,2)(4,4)(-4,5)(3,7) 因为-6=6,6>3， (3)如图，点F即为所求作。 所以点D(一6,2b一1)的“短距”为3。 ·84·