2. 3 用公式法求解一元二次方程 教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计以新课标为指导，系统整合求根公式推导、判别式应用及公式法解题步骤，通过配方法自然过渡，构建“推导-判别-应用”知识链，结合花园设计等实际问题，帮助学生形成完整的一元二次方程解法体系。 亮点在于分层设计课前任务（知识回顾、预习思考）与课堂互动（方案合理性讨论），推导过程培养抽象能力和推理意识，实际问题建模发展模型意识。完善的例题梯度与教学反思助力教师精准教学，让学生在严谨推理与实践应用中巩固知识，提升运算与问题解决能力。

初中数学北师大版（2012）九年级上册 3 用公式法求解一元二次方程 课标分析 根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本课内容属于"数与代数"领域，重点培养学生运用公式法解一元二次方程的能力。课标要求学生掌握一元二次方程的求根公式的推导过程，理解判别式的意义及其与根的关系，能根据判别式判断方程实数根的情况。通过实际问题情境，如花园设计问题，培养学生建立数学模型、运用公式法解决实际问题的能力，发展数学运算和逻辑推理素养。教学中要注重配方法到公式法的过渡，强调公式推导的严谨性和应用的规范性。 教材分析 本节课用公式法解一元二次方程是在学生已经掌握了一元二次方程的基本概念、因式分解法、直接开平方法和配方法的基础上进行的，通过配方法推导出一元二次方程的求根公式，并引入判别式来判断方程根的情况，同时结合实际问题进行应用。教学过程以引导学生自主探究为主，通过配方法推导公式，结合讨论和实际问题情境，帮助学生理解公式法的由来与应用。本节内容与前一节配方法解一元二次方程紧密联系，是对方程解法的进一步归纳与提升。本节课不仅使学生掌握更高效的解方程方法，还能提升其逻辑推理能力和数学抽象能力，为后续学习二次函数、方程应用问题等奠定基础，同时通过实际问题情境增强学生数学建模意识和解决问题的能力。 学情分析 九年级学生已经学习了一元二次方程的概念、解法（如直接开平方法、配方法）以及实际应用，具备了一定的代数运算和逻辑推理能力，同时，这个阶段的学生抽象思维逐渐发展，但仍需借助具体实例理解抽象数学概念，本节课要求学生通过配方法推导一元二次方程的求根公式，理解判别式与根的关系，并能运用公式法解方程和解决实际问题，教学中应注重引导学生从特殊到一般地归纳公式，提升其代数推理和问题解决能力，同时增强他们对数学严谨性和实用性的认识。 教学目标 1.掌握一元二次方程求根公式的推导过程与表达形式，理解判别式对根的判定作用，提升逻辑推理与数学运算能力，发展符号意识和抽象思维。 2.能根据判别式判断方程根的情况，灵活运用公式法解一元二次方程，培养分类讨论思想和问题解决能力，增强运算的准确性与思维的条理性。 3.通过实际问题情境的探究，体会数学建模思想，提升应用意识与创新意识，增强合作交流能力，激发学习兴趣与探究欲望。 重点难点 重点：掌握公式法解一元二次方程的步骤，能熟练运用公式求解。 难点：理解求根公式的推导，掌握根的判别式及应用。 课前任务 1.知识回顾： 上节课我们用配方法解一元二次方程，其步骤有哪些？请用配方法解，检验对配方法的掌握。 2.预习教材： 阅读教材中用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确公式法定义。记录求根公式、根的判别式及不同取值时根的情况，标注疑惑处。 3.问题思考： 对于方程，确定、、值，根据预习判断与0的大小关系，思考方程根的情况，尝试用所学知识验证。 课堂导入 同学们，我们之前学过用配方法解一元二次方程，比如方程，大家回忆下怎么解。（引导学生简单回顾配方法步骤）那如果老师给大家一个更复杂的一般形式（），也用配方法来解，是不是会很繁琐呢？大家不妨思考下有没有更简便通用的办法。其实啊，数学前辈们就想到了一个妙招，通过配方法对这个一般形式进行推导，得出了一个神奇的求根公式，只要把方程的系数代入这个公式，就能快速求出方程的根。今天，我们就一起去探究这个用公式法求解一元二次方程的奇妙方法。 用公式法求解一元二次方程 探究新知 （一）知识精讲 我们通过配方法推导出了一元二次方程的求根公式。首先将方程两边同除以，得到标准形式。通过配方过程，我们得到了关键步骤： 当判别式时，方程有两个实数根： 这就是著名的求根公式。我们特别要注意判别式的三种情况： 1. 当时，方程有两个不相等的实数根； 2. 当时，方程有两个相等的实数根； 3. 当时，方程没有实数根。 在实际问题中，我们可以应用这个公式来求解一元二次方程。例如，在花园设计问题中，小明的设计方案如下图所示： 通过建立方程求解小路的宽度，我们发现当判别式为正时，方程有两个实数解，但需要根据实际情况判断解的合理性。 （二）师生互动 教师提问：同学们，在花园设计问题中，小明的设计方案给出了两个解2m和12m，你们认为这两个解都合理吗？为什么？ 学生思考后回答：虽然数学上两个解都满足方程，但12m这个解不合理，因为花园的宽度只有12m，如果小路宽度为12m，花园面积就为零了。 教师追问：很好！那么对于小亮的设计方案（如下图），我们该如何建立方程来求解呢？ 学生讨论后回答：可以计算四个扇形面积之和等于荒地面积的一半。每个扇形是四分之一圆，半径都是，所以总面积是，应该等于荒地面积的一半96平方米。 （三）设计意图 通过推导求根公式的过程，培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。借助实际问题情境，帮助学生理解判别式的意义及其在解方程中的作用。通过师生互动讨论，引导学生将数学知识与实际问题相结合，培养数学建模能力和批判性思维。在探究过程中，强调数学的严谨性和实用性，让学生体会数学在解决实际问题中的价值。 新知应用 例题：解方程： (1) ； (2) 。 解答： (1) 解方程 我们先写出这个方程的系数： ， ， 。 接下来，我们计算判别式 ： 因为 ，所以这个方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式： 分别计算两个根： 所以，这个方程的两个解是： (2) 解方程 首先将方程整理为一般形式： 写出系数： ， ， 。 计算判别式 ： 因为 ，所以这个方程有两个相等的实数根。 代入求根公式： 所以，这个方程的两个解相同，即： 总结： 1.题目考查内容 ① 一元二次方程的求根公式法解法； ② 判别式 的应用； ③ 根据判别式的值判断方程根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）。 2.题目求解要点 ① 正确写出方程的系数 ； ② 准确计算判别式 ，并根据其值判断根的情况； ③ 熟练代入求根公式 进行计算； ④ 对于第二个方程，注意先将其化为标准形式再求解； ⑤ 注意当 时，方程有两个相同的实数根。 板书设计 用公式法求解一元二次方程 求根公式推导 方程同除： 配方： 开方得公式：（） 公式法定义：用求根公式解一元二次方程 根的判别式 ：方程有两个不相等实数根 ：方程有两个相等实数根 ：方程没有实数根 教学反思 本节课围绕一元二次方程的公式法展开，通过引导学生用配方法推导求根公式，理解判别式对根的影响，并结合实际问题进行应用。教学设计注重知识的逻辑推导与实际问题的联系，体现了数学建模思想。整体来看，学生能够积极参与公式推导过程，对公式法的使用掌握较好，但在判别式的理解与实际问题建模中仍存在部分学生思维受阻。成功之处在于通过“议一议”引导学生自主探究根的情况，提升了学生的数学思维能力；不足在于部分学生对配方过程不够熟练，影响了对公式推导的理解，今后应加强前置知识的复习与巩固，提升学生的整体参与度与表达能力。 学科网（北京）股份有限公司 $