学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（冀教版第二十三章～第二十七章）

2025-2026九年级上册期中数学模拟试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：冀教版九年级上册第二十三章~第二十七章． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．方程没有实数根，则的最小整数值是（   ） A． B．2 C．3 D．4 3．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一交点坐标是（  ） A． B． C． D． 4．如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，，交于点F，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 5．某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，对角线，，，设和的面积分别为和，则的值为（   ） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 7．如图，在中，，，，点D 是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 8．已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 9．如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，为边上一动点，，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D．2 11．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边的中点与坐标原点重合，线段与轴的交点记为，，反比例函数经过点D，若，则k的值为 (    ) A． B． C． D． 12．如图，正方形和正方形的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接．以下四个结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．在中，，则的值是 ． 14．把方程化成的形式，则的值是 ． 15．如图，已知四边形的底边AO在x轴上，，，对角线相交于点D，反比例函数经过点D．若的面积为3，的面积为9，则反比例函数的解析式为 ． 16．如图1，是篮口为正六边形的花篮简易图，，提手为总在同一平面内的折线，将提手转至与平行时，将花篮沿垂直水平面的方向纵切，其截面图如图2， 都与垂直，，，．(所有边均抽象为线段) （1） ； （2）将提手绕转至与正六边形篮口在同一平面上时，刚好落在上，其俯视图如图3，则的长度为 ． 三、解答题 17．（本小题满分10分，每小题5分） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 18．（本小题满分7分）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 19．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． (1)画出关于y轴的轴对称图形； (2)以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为． 20．（本小题满分8分） 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86 87 九年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 21．（本小题满分8分）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 22．（本小题满分8分）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图①所示是一款智能送货机器人，图②是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点F距地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 23．（本小题满分11分） 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形，，对角线，相交于点，，反比例函数与矩形交于点H，G，． 【问题解决】 (1)求反比例函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，过点作于点于点，求的值． 24．（本小题满分12分）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C C C C C D A A B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13.3 81 14.13 15.y= 16.150 40V5-60】 2x 三、解答题（本大题共8小题，共2分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分，每小题5分) 【解析】 解：18-21+(a-202+（ -2c0s60 =22-2+1+4-2×2 1 (3分) =2√2-2+1+4-1 =22+2;(5分) 2)1-54-2 x+4 x+4 =x+4-5x+4 (6分) x+4(x-1) -x-1,x+4 x+4(x-1) 8分) :x2-2x-24=0, .(x-6)x+4)=0, :x=6或x=-4,(9分) “当x=-4时，分式无意义， :把x=6代入得： 原式6 .(10分) 18.(本小题满分7分) 【解析】 1/8 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解：：四边形ABCD为平行四边形， ..AB=CD,AB CD, △ABE∽△DFE,(4分) AB AE=2DE=2, DF DEDE .AB=CD=2DF,(6分) AB∥CD, BG_AB 2FD GFCF2DF+DF5,(7分) 19.(本小题满分8分) 【解析】 (1)解：如图所示，△AB,C,即为所求.(4分) (2)解：如图所示，△4，B,C即为所求.(8分) V C2 B B B A A A 20.(本小题满分8分) 【解析】 (1)解：九年级A组的人数为10×20%=2人， 而九年级B组有4人， 则把九年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分， 九年级学生成绩的中位数a=88+88=88, 2 八年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多， 八年级的众数b=87, 由题意可得：m%=10-4-10×20%×100%=40%, 10 ∴.m=40； 故答案为：88,87,40；(3分) 2/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：九年级学生数学文化知识较好，理由如下： 八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但九年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于八 年级，故九年级学生数学文化知识较好；(6分) (3)解：该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”x之90的总共有： 800×3+1000×40%=240+400=640(人).(8分) 10 21.(本小题满分8分) 【解析】 (1)解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0). 50k+b=9 把点(50,9)和70,7)代入，得 70k+b=7' k=-0.1 解得 b=14 ,(3分) y与x之间的函数关系式为y=-0.1x+14;(4分) (2)解：根据题意，得x-40)(-0.1x+14=160.(6分) 解得x1=60,x2=120.(7分) ~规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， ∴.40≤x≤80. ∴x=120不符合题意，舍去. 答：当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元.(8分) 22.(本小题满分8分) 【解析】 解：过点E,F分别作EH⊥CD,FN⊥CD,垂足为N,H,过点E作EM⊥FH,垂足为M,则：四边形 EMNH为矩形，MN=EH,EM=HN,(2分) 3/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DN H B地面 在Rt△EHC中，sin∠ECH=EH_EH ≈0.98， CE100 .EH≈98cm,(4分) ∠EHC=90°，∠HCE=80°， ·∠CEH=10°， ·LFEM=∠FEC-∠MEH-∠CEH=130°-90°-10°=30°，(6分) FM =EF =15cm, ∴点F到CD的高度为MN+FM=EH+FM≈113cm,(7分) ~矩形底座ABCD的高BC为30cm, ∴点F到底面的高度约为113+30=143cm.(8分) 23.(本小题满分11分) 【解析】 (1)解：在矩形OABC中， 1B=4,0D=3,∠A0C=90, AC=0B=20D=5,0C=AB=4,(2分) 在RtaA0C中，A0=VAC2-0C2=3, :AB=4,方 BH 1 AH=3,即H(3,3,(3分) 将点H(3,3)代入y=《中，得k=9, 反比例函数解析式为y=9(x>01:(4分 (2)解：四边形OABC是矩形， stan∠AOD=tan∠AOB=AB-4, A03:(6分) 4/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)解：连接DH,如图， H B A 0 四边形OABC是矩形， 4C=0B,AD=8D=D0=3,∠48C=90,(8分y 由(1)知AB=4,BC=3, m=5m+5m号40+号DE-点度空分34=，o分 ×那+2 15 ×HE=3, “22 r+E-号.分y 24.(本小题满分12分) 【解析】 解：(1)①：ABCD为矩形， :BC=AD=20厘米，∠A=90°，BC∥AD, :点E,F分别为边AD,BC的中点， BF=BC=10厘米，AB=4D=10厘米， 2 .BF AE, BF∥AE,∠A=90°， :四边形ABFE是矩形， 又：BF=AB=10厘米， ·矩形ABFE是正方形， ∠EBF=LBEF=45°，∠EFB=90°，BE=√2AB=10N2厘米， 由平移的性质得，E'F'∥EF,D'E'∥DE, DE∥FH, 5/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D'E'∥FH, 又：∠GFH=90°， ·四边形FGE'H是矩形， :点E与EB的中点O重合， :BE'=EE'=BE=52厘米， :∠E'HB=LE'GE=90°，∠EBF=∠BEF=45°， △BEH和aE"EG都是等腰直角三角形，HE'-BE EE' 2 =5厘米，E'G= =5厘米， ·.S矩形FGEH=HE'E'G=25平方厘米， :S矩形ABCD=AD·AB=200平方厘米， :FGEH的面积与原矩形纸片4BCD的面积之比是25=} 2008 1 放答案为：8(2分) ②由①中的结论得，四边形FGE'H是矩形，△BE'H和△E'EG都是等腰直角三角形， 设EE'=a厘米，则BE'=10W2-a厘米， :E'G= .) :FGEH的面积与原矩形纸片48CD的面积之比是6S。=200平方厘米。 a 10- a √2 1, 200 16 解得：a1=5V2-5,4,=5V2+5, :平移距离EE'为5√2-5或5√2+5. 故答案为：5√2-5或5√2+5.(4分) (2):纸片KLMN为菱形，∠N=60°， S,wx=S.L=2S菱形w,△MNK和△MKL为等边三角形， :纸片KLM沿KM方向向上平移， 6/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 KP∥KL, △MKP∽△MKL, :两个纸片重叠部分KPM的面积与纸片KLM的面积之比为， MK 2 S MNK MK MK'= 2 a ..KK'=MK-MK'=a- V22-√2 -a= 2a.(8分) 21 2 (3)如图，过点C作CN⊥FG于点N, A G :∠C=90°，AC=18厘米，BC=24厘米， AB=VAC2+BC2=V182+242=30厘米， :点D,E是AB,BC的中点， cD-48=15厘米，8E=Bc=12里米，0-4C=9厘米，(9分) 由旋转的性质得，FG=BE=12厘米，DF=DE=9厘米， .FG-CN-6CW. :当FG上的高线CN最大时，则△CFG面积最大，(10分) :CN≤CF, :当点N和点F重合时，且aDFG旋转到AB外侧时，此时CN最大， 作出示意图如下： G 7/8 窗学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DF⊥FG, :此时C、D、F三点共线， 即CN=CF=CD+DF=15+9=24厘米， Sco号FG-Cv-×12×24=144平方厘米， 即△CFG面积的最大值为144平方厘米.(12分) 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：冀教版九年级上册第二十三章~第二十七章． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．方程没有实数根，则的最小整数值是（   ） A． B．2 C．3 D．4 3．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一交点坐标是（  ） A． B． C． D． 4．如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，，交于点F，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 5．某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，对角线，，，设和的面积分别为和，则的值为（   ） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 7．如图，在中，，，，点D 是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 8．已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 9．如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，为边上一动点，，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D．2 11．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边的中点与坐标原点重合，线段与轴的交点记为，，反比例函数经过点D，若，则k的值为 (    ) A． B． C． D． 12．如图，正方形和正方形的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接．以下四个结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．在中，，则的值是 ． 14．把方程化成的形式，则的值是 ． 15．如图，已知四边形的底边AO在x轴上，，，对角线相交于点D，反比例函数经过点D．若的面积为3，的面积为9，则反比例函数的解析式为 ． 16．如图1，是篮口为正六边形的花篮简易图，，提手为总在同一平面内的折线，将提手转至与平行时，将花篮沿垂直水平面的方向纵切，其截面图如图2， 都与垂直，，，．(所有边均抽象为线段) （1） ； （2）将提手绕转至与正六边形篮口在同一平面上时，刚好落在上，其俯视图如图3，则的长度为 ． 三、解答题 17．（本小题满分10分，每小题5分） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 18．（本小题满分7分）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 19．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． (1)画出关于y轴的轴对称图形； (2)以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为． 20．（本小题满分8分） 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86 87 九年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 21．（本小题满分8分）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 22．（本小题满分8分）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图①所示是一款智能送货机器人，图②是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点F距地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 23．（本小题满分11分） 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形，，对角线，相交于点，，反比例函数与矩形交于点H，G，． 【问题解决】 (1)求反比例函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，过点作于点于点，求的值． 24．（本小题满分12分）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026九年级上册期中数学模拟试卷 1. 全解全析 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：冀教版九年级上册第二十三章~第二十七章． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 1．【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 2．方程没有实数根，则的最小整数值是（   ） A． B．2 C．3 D．4 2．【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式是解题的关键． 将原方程变形为，根据一元二次方程没有实数根，可得且，求得即可解答． 【详解】解：， ， 关于x的一元二次方程没有实数根， 且， 解得， 的最小整数值是2， 故选：B． 3．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决． 【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象， ∴它们的交点也关于原点对称， 由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为． 故选：C． 4．如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，，交于点F，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 4．【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质得然后证明，运用面积比等于相似比的平方进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴与的面积比是， 故选：C 5．某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 5．【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键， 设月平均增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份为万元，第一季度的总营业额为一月、二月、三月的营业额之和，据此列方程． 【详解】解：设月平均增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份为万元，根据题意得， 故选：C． 6．如图，在四边形中，对角线，，，设和的面积分别为和，则的值为（   ） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 6．【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形及三角形的面积，先根据三角形的面积公式得出 进而得出，再结合的正弦得出即可解决问题． 【详解】解：因为 所以 所以 在中，， 令， 则， 所以 ， 又因为 所以． 故选： C． 7．如图，在中，，，，点D 是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 7．【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、垂线段最短，在上取一点，使，证明，得出，推出当最小时，最小，而当时，最小，由勾股定理可得，得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：在上取一点，使， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，而当时，最小， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 8．已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 8．【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根． 【详解】解：∵在每一个象限内y随着x增大而增大， ∴， ∵ ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．【答案】D 【分析】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为，首先得到，求出，，然后得到，，然后利用三角函数求出，设，则，勾股定理求出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为， 四边形是菱形， ，， ∴， ，， ， 由旋转得，， ，即， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，可得， 解得， ，， ∴点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．如图，在中，为边上一动点，，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D．2 10．【答案】A 【分析】要想找到的最小值，需要先找到E的运动轨迹是一条射线，过程为先作平分，作，由题意易得，根据相似的性质可证，进而得到点E的运动轨迹是射线，根据点到线的距离中，垂线段最短即可求解； 【详解】如图，作平分，作，连接交于， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， 又P为边上一动点，即点在与成夹角的射线上运动，的最小值为到的垂线段的长度，即的最小值为的长． ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的相似的判定和性质，含直角三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． 11．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边的中点与坐标原点重合，线段与轴的交点记为，，反比例函数经过点D，若，则k的值为 (    ) A． B． C． D． 11．【答案】A 【分析】本题设出点D的坐标为，利用同高不同底的三角形面积的比值为底边长的比值求出的面积，利用将和的长用含有的代数式进行表示，最后得到的面积与的关系式，求解即可得出k的值． 【详解】解：如图，过点D作于点，连接． 点在反比例函数上，设D点坐标为， ，， 为中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， 为的中点， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质与相似三角形的性质，利用相似三角形的性质将的面积用含有点D的坐标的关系式进行表示，即可求出k的值． 12．如图，正方形和正方形的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接．以下四个结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 12．【答案】B 【分析】先利用正方形的性质证明，然后有，通过等量代换可得，则，通过直角三角形斜边中线的性质得出点在正方形的外接圆上，然后根据圆周角定理的推论得出；首先证明 ，则有，进而可得，先得出是的中位线，则，然后根据平行线分线段成比例得出 ，则有，进而可求出 ，又因为．综上可以得到答案． 【详解】∵四边形和四边形是正方形， ∴ ，，， 在和中， ∴ ， ∴． ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵是直角三角形，是的中点， ∴， ∴点在正方形的外接圆上． ∵， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴，故错误； ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴垂直平分； 故①正确； ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． ∵与高相同， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，故正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．在中，，则的值是 ． 13．【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 14．把方程化成的形式，则的值是 ． 14．【答案】 【分析】本题考查配方法，将方程通过配方法转化为完全平方形式是解题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，确定和值后再相加即可． 【详解】， ， ，即， 则，， ， 故答案为：． 15．如图，已知四边形的底边AO在x轴上，，，对角线相交于点D，反比例函数经过点D．若的面积为3，的面积为9，则反比例函数的解析式为 ． 15．【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及反比例函数的几何意义，根据相似三角形的性质以及三角形的面积公式求得的面积是关键． 作于点，可得，可证，然后可得，可知，即可求解． 【详解】解：作于点，       已知的面积为 3，的面积为9， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴反比例函数的解析式为：， 故答案为：． 16．如图1，是篮口为正六边形的花篮简易图，，提手为总在同一平面内的折线，将提手转至与平行时，将花篮沿垂直水平面的方向纵切，其截面图如图2， 都与垂直，，，．(所有边均抽象为线段) （1） ； （2）将提手绕转至与正六边形篮口在同一平面上时，刚好落在上，其俯视图如图3，则的长度为 ． 16．【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式求得六边形的内角和，即可求得的度数； （2）过点作于点，过点作于点，求得，利用三角函数列方程，即可求得的值． 【详解】解：（1）六边形的内角和为， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ， 正六边形的每个内角为， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设， ， ，， ，即， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题 17．（本小题满分10分，每小题5分） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 17．【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，分式的化简求值，解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题的关键： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可； （2）先根据分式的混合计算法则化简，再解一元二次方程得到，根据分式有意义的条件确定的值，再代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）原式 ， ， ， 当时，分式无意义， 把代入得： 原式 18．（本小题满分7分）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 18．【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，求出，再证明，进行求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． (1)画出关于y轴的轴对称图形； (2)以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为． 19．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键； （1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可； （2）由（1）及位似的性质可进行作图 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 20．（本小题满分8分） 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86 87 九年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 20．【答案】(1)，， (2)九年级学生数学文化知识较好，理由见解析 (3)人 【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义计算即可得解； （2）根据中位数和众数分析即可得解； （3）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：九年级A组的人数为人， 而九年级组有人， 则把九年级名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为分，分， ∴九年级学生成绩的中位数， ∵八年级10名学生成绩中，得分为分的人数最多， ∴八年级的众数， 由题意可得：， ∴； 故答案为：，，； （2）解：九年级学生数学文化知识较好，理由如下： 八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但九年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于八年级，故九年级学生数学文化知识较好； （3）解：该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有：（人）． 21．（本小题满分8分）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 21．【答案】(1) (2)当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 把点和代入，得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得． 解得，． ∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， ∴． ∴不符合题意，舍去． 答：当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元． 22．（本小题满分8分）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图①所示是一款智能送货机器人，图②是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点F距地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 22．【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 过点分别 作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点分别 作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 23．（本小题满分11分） 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形，，对角线，相交于点，，反比例函数与矩形交于点H，G，． 【问题解决】 (1)求反比例函数的解析式； (2)求的值； (3)如图2，过点作于点于点，求的值． 23．【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据矩形的性质和勾股定理得出，由得，可得，从而可求出反比例函数的解析式； （2）直接根据正切的定义求解即可； （3）连接，根据三角形面积关系得到，即，从而可求出的值． 【详解】（1）解：在矩形中， ∵，，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，即， 将点代入中，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴ （3）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 24．【答案】（1）①；②或；（2）；（3）144平方厘米 【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出和的长，再利用矩形的面积公式计算和的面积，即可求解；②设厘米，则厘米，表示出四边形的面积，再结合题意列出方程，解出的值即可解答； （2）利用平移的性质得到，推出，再利用相似三角形的性质得出，即可求解； （3）过点作于点，利用勾股定理求出厘米，结合点，是，的中点，得出厘米，厘米，厘米，利用旋转的性质得到厘米，厘米，分析可知当最大时，面积最大，结合图形利用线段的性质求出的最大值，即可求出面积的最大值． 【详解】解：（1）①为矩形， 厘米，，， 点，分别为边，的中点， 厘米，厘米， ， ，， 四边形是矩形， 又厘米， 矩形是正方形， ，，厘米， 由平移的性质得，，， ， ， 又， 四边形是矩形， 点与的中点重合， 厘米， ，， 和都是等腰直角三角形，厘米，厘米， 平方厘米， 平方厘米， 的面积与原矩形纸片的面积之比是． 故答案为：． ②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形， 设厘米，则厘米， 厘米，厘米， ， 的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米， ， 解得：，， 平移距离为或． 故答案为：或． （2）纸片为菱形，， ，和为等边三角形， 纸片沿方向向上平移， ， ， 两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为， ， ， ． （3）如图，过点作于点，   ，厘米，厘米， 厘米， 点，是，的中点， 厘米，厘米，厘米， 由旋转的性质得，厘米，厘米， ， 当上的高线最大时，则面积最大， ， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， 作出示意图如下： ， 此时、、三点共线， 即厘米， 平方厘米， 即面积的最大值为144平方厘米． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 日 答题卡 终 名 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1·答题前，考生先将自已的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；宇体工整、笔迹清晰。 选择题填涂样例 3·请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 第1卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共36分) 1.A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.IA][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C]ID] 3.[A][B][C][D] 7.IA][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 4.IA][B][C][D] 8.[A]IB][C][D] 12.[A][B][C][D] 第川卷 二、填空题（每小题4分，共12分) 13. 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效， 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(10分) 18.(7分) A E O G B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. (8分) B 20.(8分) (1) ， (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 川台 9 A ---2 7 B o5070元 (1) (2) 22.（8分) E D C A B地面 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) H B H B G G D 的 0 C 图1 图2 (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) C M H B M D G O(E D E 图1 图2 图3 (1)① ② (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 13． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分） 18. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20. （8分） （1）______， ______， ______； （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（11分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） （1）①_________， ②_________； （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $