精品解析：云南省昆明市昆十中教育集团2025-2026学年上学期 9月月考九年级数学试题

昆十中教育集团2026届初三年级2025−2026学年 9月数学学科学情跟踪 一、选择题：本大题共15小题，共30.0分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 5. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 10. 已知是一元二次方程的两根，且的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 11. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 12. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. 1或2 D. 2 13. 若抛物线的开口向上，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 14. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600 C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600 15. 若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，共8.0分． 16. 方程x2－3＝0的根是__________． 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________． 18. 在抛物线中，当________时，随增大而增大． 19. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 三、计算题：本大题共1小题，共8.0分． 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：本大题共7小题，共54.0分 21. 方程x2+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值． 22. 已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1） （2） 23. 2023年昆十中高中部考上重点大学的人数为2000人，因教学质量不断提高，2025年考上重点大学的人数达到2420人． （1）求昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2026年昆十中高中部考上重点大学的人数有多少？ 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 25. 线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA. (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(－3，m)在该抛物线上，求△ABC的面积． 26. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 27. 已知抛物线经过点． （1）求的值． （2）抛物线在范围内有最大值和最小值，将最大值和最小值的差记为，当时，求的值． （3）若抛物线与轴交点的横坐标为，记，，以下结论：，，，正确的结论是哪一个，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆十中教育集团2026届初三年级2025−2026学年 9月数学学科学情跟踪 一、选择题：本大题共15小题，共30.0分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解决此题的关键是熟记一元二次方程是含有1个未知数，未知数的最高次数是2，两边都是整式的方程；根据一元二次方程的定义一一判断即可； 【详解】解：含有2个未知数，故A错误； 最高次数是3，故B错误； 含有分式的形式，故 C错误； 满足一元二次方程的形式，故D正确； 故选：D． 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 3. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的对称轴公式为，利用公式直接计算可得答案． 本题考查了抛物线的对称轴，熟练掌握对称轴方程的公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线对称轴为直线． 故选：C． 6. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴， 则， ∴或， 故选：C 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 8. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：D． 9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，随的增大而增大， 【详解】对于二次函数，，则开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误，D选项正确， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大先增大后减小，故C选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 10. 已知是一元二次方程的两根，且的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解本题的关键． 由根与系数的关系得出，从而得出结论． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， ∴， 故选：B． 11. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 12. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. 1或2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴，， ∴， 解得（舍去）或． 故选：D． 13. 若抛物线的开口向上，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质，掌握二次函数的定义和性质的解题的关键． 14. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600 C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600 【答案】D 【解析】 【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 15. 若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则 ∵， ∴ 故选：B 二、填空题：本大题共4小题，共8.0分． 16. 方程x2－3＝0的根是__________． 【答案】x1＝，x2＝－ 【解析】 【详解】x2－3＝0 移项得x2=3， 开方得x1=，x2=-． 故答案为：x1=，x2=- 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________． 【答案】n≥0 【解析】 【分析】根据平方的非负性可得结果． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， 而， ∴n≥0， 故答案为：n≥0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握根的判别方法是解题的关键． 18. 在抛物线中，当________时，随增大而增大． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，解决此题的关键正确的算出对称轴；根据二次函数图像的性质得到答案即可； 【详解】解：∵抛物线， 其中，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大． 故答案为：． 19. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线， 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共8.0分． 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解方法和直接开平方法； （1）先移项，运用提公因式分解因式的方法进行求解即可； （2）运用十字相乘的方法分解因式即可得到答案； （3）运用直接开平方法即可得到答案； （4）运用十字相乘的方法分解因式即可得到答案 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴； 【小问4详解】 解：， ， ∴． 四、解答题：本大题共7小题，共54.0分 21. 方程x2+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值． 【答案】k＝l，另根—3． 【解析】 【分析】首先将2代入方程，可求出k的值；然后利用根与系数的关系列出方程，得到另一根． 【详解】∵方程x2+kx-6=0的一根是2， 所以4+2k-6=0， 解得k=l， 设另一根为a， 此时根据根与系数的关系有a+2=-1，2a=-6， 解得a=-3， 即另一根为-3． 【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 22. 已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）5； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，完全平方公式，解决此题的关键是熟记根与系数的关系； （1）根据根与系数的关系得到两根之积和两根之和，再把要求的式子变形即可得到答案； （2）运用完全平方公式把要求的式子进行变形即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题可知：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴． 23. 2023年昆十中高中部考上重点大学的人数为2000人，因教学质量不断提高，2025年考上重点大学的人数达到2420人． （1）求昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2026年昆十中高中部考上重点大学的人数有多少？ 【答案】（1） （2）2662人 【解析】 【分析】本题主要考查了平均增长率与一元二次方程的实际应用问题，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）设出平均增长率，列出方程得到答案即可； （2）根据（1）中算出的增长率进行计算即可得到答案 【小问1详解】 解：设昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率为x，则 ， 解得：（舍去） ∴昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：由（1）可知增长率为， ∴（人）， ∴预计2026年昆十中高中部考上重点大学的人数有2662人． 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 25. 线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA. (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(－3，m)在该抛物线上，求△ABC的面积． 【答案】(1) y＝－(x＋1)2；(2)3． 【解析】 【详解】分析：（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积=梯形OBCD面积-三角形ACD面积-三角形AOB面积，求出即可． 本题解析： (1)依题意可知A(－1，0)．由OB＝OA，得B(0，－1)． 将点B(0，－1)代入y＝a(x＋1)2，得－1＝a(0＋1)2，解得a＝－1. 所以y＝－(x＋1)2. （2）过C作CD⊥x轴， 则S△ABC=S梯形OBCD-S△ACD-S△AOB=12×3×(4+1)-12×4×2-12×1×1=3． (2)将C(－3，m)代入y＝－(x＋1)2，得m＝－(－3＋1)2，即m＝－4.所以C(－3，－4)． 所以S△ABC＝＝×1×4＋×1×3－×1×1＝3. 点睛：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 26. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 【小问2详解】 由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 由(2)知：的三边长为， ∴5， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 27. 已知抛物线经过点． （1）求的值． （2）抛物线在范围内有最大值和最小值，将最大值和最小值的差记为，当时，求的值． （3）若抛物线与轴交点的横坐标为，记，，以下结论：，，，正确的结论是哪一个，并证明． 【答案】（1） （2）1 （3），证明如下： 令时，， 解得： 分以下两种情况讨论 ∴当时，，， ∴ , ∵， ∴ ∴当时，，， ∴, ∴， 综上可知：. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，根据二次函数图象上的点求出解析式中的参数等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）把点的坐标直接代入解析式即可得到答案； （2）先算出二次函数图象的对称轴，再根据开口方向向下，此题研究的是抛物线左半部分图象的一部分，根据二次函数图象的增减性即可得到答案； （3）先令，求出m的值，代入式子，分类讨论进行比较即可； 【小问1详解】 解：由题可知：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线为， ∵， ∴图象开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大； ∵当时， ∴即， ∴当时，y有最小值为；当时，y有最大值为； ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $