专题05 解直角三角形及锐角三角函数12大题型（期中专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题05 解直角三角形及锐角三角函数 題型1 利用定义求三角函数值 題型7 解非直角三角形 題型2 比较三角函数值的大小 題型8 同角三角函数的关系 題型3 特殊角三角函数值的计算 題型9 互余两角三角函数的关系 題型4 由特殊角的三角函数值求角度 題型10 解直角三角形的应用（仰角俯角） 题型5 新定义问题 題型11 解直角三角形的应用（方位角） 題型6 解直角三角形 題型12 解直角三角形的应用（坡度坡角） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 題型1 利用定义求三角函数值 1．如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：如图，取格点G，使， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 2．直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠，得， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选A． 3．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，由题可知，此时， 在网格中，由勾股定理可得：，， ∴在中，． 故答案为：． 5．如图，中，于点D，，， ，求，的值． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 題型2 比较三角函数值的大小 6．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 7．已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解：∵较接近1，， 又余弦值是随着角的增大而减小， 故越接近的值才对． 故选：C． 8．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 9．比较大小： ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 10．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 題型3 特殊角三角函数值的计算 11．已知是锐角，且，那么 ． 【答案】/45度 【详解】∵，是锐角， ∴． 故答案为：． 12．若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 解得， 故选：D． 13．若数轴上：的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在（　　）段 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：，， ， ， 若数轴上：的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在段②． 故选：． 14．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 15．计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)3 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 題型4 由特殊角的三角函数值求角度 16．若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是顶角为钝角的等腰三角形． 故选：D． 17．已知，在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C． 18．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 19．在中，，，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型5 新定义问题 20．定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得， ， 故选：B． 21．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵等腰是“倍长三角形”，设， 当时，，不能组成三角形； 当时，能组成三角形， 过点A作于点D， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，正切，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，得，，， 则，可知A，B不符合题意； 则，可知C符合题意； 则，可知D不符合题意． 故选：C． 23．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点A作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 題型6 解直角三角形 24．如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 25．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 26．如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 【答案】/ 【详解】因为为正方形，所以可设正方形边长， 在中，， ， ，解得， ，解得， ，解得， 正方形的边长为． 故答案为：． 27．如图，在中，，，点D在边上，且，． (1)求长； (2)求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作交延长线于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 28．如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴． 29．如图，在中，，于D，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由等面积法可得，， ∴， ∴； （3）解：由等面积法可得，， ∴． 題型7 解非直角三角形 30．如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 31．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 32．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 33．在中，，求的长． 【答案】 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 34．如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 35．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 題型8 同角三角函数的关系 36．已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 37．已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 38．计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为： 39．如图，点，点C是一点，若，则 ． 【答案】3 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：3． 40．计算：s ． 【答案】0 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 題型9 互余两角三角函数的关系 41．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 故选：A 42． （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 43．在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦． 44．已知，则值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，在直角三角形中， 由， 故， 故答案为：． 45．已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【详解】解：． 又，． 故答案为： 題型10 解直角三角形的应用（仰角俯角） 46．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】242 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴隧道AB的长度约为. 故答案为：242 ． 47．如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【答案】高层大楼的高度约为． 【详解】解：过点E作于点H，则四边形是矩形， 由题意得： ，，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵,， ∴， ∴ 答：高层大楼的高度约为． 48．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 【答案】 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， 答：乙建筑物的高为． 49．如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 50．印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 【答案】(1)小亮与塔底中心的距离约为米； (2)文昌阁的高度约为米． 【详解】（1）解：根据题意可得米，，米，米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴小亮与塔底中心的距离约为米； （2）解：∵米， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴（米）， ∴文昌阁的高度约为米． 題型11 解直角三角形的应用（方位角） 51．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为， 故选：C． 52．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 53．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 54．某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼O的距离为．在A处测得望海楼O位于A的北偏东方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达B．在B处测得望海楼O位于B的北偏东方向．求此时游轮与望海楼之间的距离（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：根据题意得：，，， 如图，过点作，交的延长线于点， 在中，∵， ∴， 在中，， 答：此时游轮与望海楼之间的距离为． 55．某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 【答案】该搜救船在航行过程中会受到干扰 【详解】解：由题意得，，，， 过作于， ， ，， ， ， 解得：， 该船在航行过程中与小岛的最近距离为， ∵， ∴该搜救船在航行过程中会受到干扰． 題型12 解直角三角形的应用（坡度坡角） 56．一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为 ． 【答案】30 【详解】设这个斜坡的坡角为， 由题意得：， ． 故答案为：30． 57．如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为 （精确到米，参考数据：，，） ． 【答案】 【详解】作于点，作于点，作，如图， 设，， 由勾股定理，得， 解得：， 不合题意，舍去， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． 故答案为：． 58．如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 59．如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为，他从处沿着坡度的斜坡前进到达处，这时测得山顶的仰角为，求山高的值．（参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图所示，作交于点F， ∵坡度，， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得，，即， 解得， ∴，， ∵，，， 设，则， ∴，，，，， ∵， ∴，即， 解得， ， 答：山高的值为． 60．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)25米 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 坡顶到地面的距离为米； （2）解：延长交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 由（1）得米，米， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 联通信号发射塔的高度约为米． $专题05 解直角三角形及锐角三角函数 題型1 利用定义求三角函数值 題型7 解非直角三角形 題型2 比较三角函数值的大小 題型8 同角三角函数的关系 題型3 特殊角三角函数值的计算 題型9 互余两角三角函数的关系 題型4 由特殊角的三角函数值求角度 題型10 解直角三角形的应用（仰角俯角） 题型5 新定义问题 題型11 解直角三角形的应用（方位角） 題型6 解直角三角形 題型12 解直角三角形的应用（坡度坡角） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 題型1 利用定义求三角函数值 1．如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 4．如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 5．如图，中，于点D，，， ，求，的值． 題型2 比较三角函数值的大小 6．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 7．已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 8．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．比较大小： ．(填“”，“”或“”) 10．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 題型3 特殊角三角函数值的计算 11．已知是锐角，且，那么 ． 12．若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 13．若数轴上：的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在（　　）段 A．① B．② C．③ D．④ 14．计算： 15．计算 (1) (2) 題型4 由特殊角的三角函数值求角度 16．若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 17．已知，在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 18．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 19．在中，，，，则的度数为 ． 题型5 新定义问题 20．定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 21．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 23．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 題型6 解直角三角形 24．如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 25．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 26．如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 27．如图，在中，，，点D在边上，且，． (1)求长； (2)求的正弦值． 28．如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值． 29．如图，在中，，于D，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 題型7 解非直角三角形 30．如图，在中，，则的长为 ． 31．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 32．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 33．在中，，求的长． 34．如图，在中，，求和的长． 35．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 題型8 同角三角函数的关系 36．已知，则（　　） A． B． C．或 D． 37．已知中，，，则的值为 ． 38．计算： ． 39．如图，点，点C是一点，若，则 ． 40．计算：s ． 題型9 互余两角三角函数的关系 41．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 42． （选填“”或“”或“”）． 43．在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 44．已知，则值为 ． 45．已知为锐角，且，则 ． 題型10 解直角三角形的应用（仰角俯角） 46．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 47．如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 48．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 49．如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 50．印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 題型11 解直角三角形的应用（方位角） 51．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 52．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 53．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 54．某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼O的距离为．在A处测得望海楼O位于A的北偏东方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达B．在B处测得望海楼O位于B的北偏东方向．求此时游轮与望海楼之间的距离（结果保留根号）． 55．某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 題型12 解直角三角形的应用（坡度坡角） 56．一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为 ． 57．如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为 （精确到米，参考数据：，，） ． 58．如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 59．如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为，他从处沿着坡度的斜坡前进到达处，这时测得山顶的仰角为，求山高的值．（参考数据：） 60．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） $