专题04 相似及相似三角形11大题型（期中专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题04 相似及相似三角形 题型1 成比例线段 題型7 相似三角形的判定与性质的综合 题型2 黄金分割 题型8 相似三角形中的动点问题 题型3 比例的基本性质 题型9 相似三角形的应用 题型4 平行线分线段成比例 題型10 图形的位似变化 題型5 相似三角形的判定 題型11 位似变化作图 题型б 相似三角形的性质 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 成比例线段 1．如果，，，按顺序是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（   ） A．2 B．4 C．±4 D．8 3．下列各组线段，能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 题型2 黄金分割 5．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 6．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为，是比较美丽的黄金身材．一个身高的人，他的肚脐到脚底的长度约为多少时才是黄金身材．（   ） A． B． C． D． 7．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 题型3 比例的基本性质 8．若，则 ． 9．已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 10．已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 11．若，则的值为 ． 题型4 平行线分线段成比例 12．如图，，，，，则的长为（    ） A．4 B．3 C． D．2 13．如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则 15．如图，已知，求长． 題型5 相似三角形的判定 16．如图，，则下列各式不能说明的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 19．如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 20．在中，，是边上一点（不与点，重合），过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 21．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 题型б 相似三角形的性质 22．若，面积比为，则与的周长比为（　 ） A． B． C． D． 23．如图，中，，点与点在直线的同侧，点是线段延长线上一点，且，当时，线段的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 24．如果两个相似三角形的对应边之比为，其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，那么另一个三角形对应角平分线的长为 ． 25．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则 ；的度数为 ． 題型7 相似三角形的判定与性质的综合 26．如图在平行四边形中，，，P是上的任一点，过点P作，与平行四边形的两条边分别交于点E，F，设，，则能反映y与x之间关系的图象是（    ） A． B． C． D． 27．如图，等腰直角中，且，连接交于点，点是边上一点，，则的长为 ． 28．如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则 ． 29．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．如图，在中，点D在边上，，．的角平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． 31．如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，当，时，直接写出的长． 题型8 相似三角形中的动点问题 32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B两点，过该函数图象上一点作轴于点D，E是线段上一动点，连接，，若以B，E，O为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为 ． 33．如图，在▱ABCD中，，，点E为边上一点，，点F是边上的动点，将沿直线折叠得到，若点G恰好落在线段上，则的值为 ． 34．如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 35．四边形为矩形，，，点为对角线上的一动点，连接，过点作交于点． (1)若点为对角线中点，如图，求线段的长． (2)若点为对角线延长线上的一点，，如图，则线段的长为多少？ 36．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 题型9 相似三角形的应用 37．在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长，当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，且路灯垂直下照点为P（M、N、P在同一水平地面上），那么（　　） A． B．与大小不确定 C． D． 38．如图，小明家客厅有一张直径为米，高米的圆桌，在距地面米的处有一盏灯，的影子为，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 39．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 40．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 41．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 題型10 图形的位似变化 42．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　） A． B．、、三点在同一条直线上 C． D． 43．已知点A的坐标是，以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点的坐标为（   ）． A． B． C．或 D．或 44．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为 4，则的周长是 ． 45．如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为 ； 題型11 位似变化作图 46．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 47．如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移5个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； (4)以原点为位似中心，相似比为2，在第四象限内将放大，画出放大后的图形． 48．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 49．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    50．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，是以原点为位似中心在第三象限内与位似的三角形，且相似比为． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)把绕点逆时针旋转，得到．各顶点坐标分别为，，，则点的坐标为_____． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似及相似三角形 题型归纳·内容导航 题型1成比例线段 題型7相似三角形的判定与性质的综合 题型2黄金分割 题型8相似三角形中的动点问题 题型3比例的基本性质 题型9相似三角形的应用 题型4平行线分线段成比例 題型10图形的位似变化 题型5相似三角形的判定 题型11位似变化作图 题型6相似三角形的性质 题型通关•靶向提分 题型1成比例线段 1.如果a,b,c,d按顺序是成比例线段，其中a=2cm,b=6cm,c=5cm,则线段d的长为 A.9cm B.15cm C.8cm D.2.4cm 【答案】B 【详解】解：，线段a、b、c、d是成比例线段， :a:b=c:d, a=2cm,b=6cm,c=5cm, 2:6=5:d, ..d =15cm, 故选：B. 2.已知线段a=2,b=8,线段c是a和b的比例中项，则c等于( A.2 B.4 C.±4 D.8 【答案】B 【详解】解：线段a=2,b=8,线段c是a和b的比例中项， ∴a:c=c:b, 2:c=c:8, ∴c2=2×8=16, 1/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.c=4(舍去负值)， 故选：B 3.下列各组线段，能成比例线段的是( ) A.3cm,6cm,7cm,9cm B.2cm,8cm,6cm,5cm C.3cm,9cm,18cm,6cm D.Icm,2cm,3cm,4cm 【答案】C 【详解】解：由题可得：3×9=27,6×7=42， 27≠42， ∴.A选项的4条线段不是成比例线段： 把已知线段排序：2cm,5cm,6cm,8cm, 可得：2×8=16,5×6=30， 16≠30， ∴.B选项的4条线段不是成比例线段： 把已知线段排序：3cm,6cm,9cm,18cm, 可得：3×18=54,6×9=54， 54=54, ∴.C选项的4条线段是成比例线段： 根据题意可得：1×4=4,2×3=6， 4≠6， .D选项的4条线段不是成比例线段： 故选：C AB-AD=3,则AD BC 4.直线上顺次有四个点A、B、CD,且BC=DC 1 【答案】 AB AD 【详解】解：BC=DC 3, ÷AB=3BC,AD=3CD, 六AC=4BC, CD=1 2/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :4BC-24D 3 BC_1 六AD6 1 故答案为：6· 题型2黄金分割 5.如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调.通过实验发现，当 水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比（约等于0.618）时，可以发出“sol”的音符.若AC=12cm,则水 面高度BC为( 2cm 4.6cm 7.4cm 12.6cm 19.4cm A. B. D 【答案】B 【详解】解：由题知， BC AC ≈0.618 因为AC=12cm, 所以BC≈7.4(cm). 故选：B 5-1 6.人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为2，是比较美丽 的黄金身材.一个身高l68cm的人，他的肚脐到脚底的长度约为多少时才是黄金身材.( 3/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 215- 215-12 A.0.64m B.1.04m C. ∠cm D -cm 25 50 【答案】B 【详解】解：设他的肚脐到脚底的长度约为Cm,由题意得： x5-1 168 2 解得：x≈168×0.618≈104cm=1.04m, 故选：B. 7.善，从言从羊，本义“吉祥”·借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重.舒展美观.已 知一条分割线的端点4，B分别在习字格的边MP,N№。 2上，且18N,“善”字的笔面“.”的位置 在AB的黄金分割点C处，且B=2,若MN=4cm'则BC的长为cm. 【答案】 2W5-2 【详解】解：，四边形NMPQ为正方形， ∠PMN=∠MWQ=90° 又：AB∥MN, ∠PMN+∠MAC=180°， ∠MAC=90° 四边形MWBA是矩形， MN AB =4cm, BC_5-1 AB 2 4/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Bc-5-x4=25-21cm 2 2V5-2 故答案为： 题型3比例的基本性质 x+y 3 8.若-2，则 【答案】5 【详解】解：由题意得：y≠0， 设=k,则x=内 x+y=3 “x-y2’ +y(k+1yk+13 -y(k-1yk-12, 解得k=5, 经检验，飞=5是所列分式方程的解， 故答案为：5 abc 9.已知234，求： a+b+c (2)若2a+b+2c=-30,求a,b,c的值. 【答案】(1)3 .a=-4,b=-6,c=-8 2) a b c 【详解】(1)解：“234， 设号-号-后，则a=2=36= 5/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+b+c2k+3k+4-张-3： b 3k 3k a=2k,b=3k,c=4k (2)解：由(1)得： 2a+b+2c=-30, .2×2k+3k+2×4k=-30, 解得：k=-2, a=-4,b=-6,c=-8 a 10.已知方-a5,那么b的值为( 3 8 A.8 B.3 C.5 【答案】A 【详解】解：b-a5’ a 六b-a+a5+3 a=3 b8' 故选：A x+=y+巴=x=k,则k的值为 11.若z=xy 【答案】2或-1 .+y=y+2-+=k, 【详解】解：z=xy x+y=kz y+z=kx z+x=ky 2(x+y+到=k(x+y+2), 当x+y+z≠0时，解得k=2: 当x+y+z=0时，x+y=-2, k=+少==1， 6/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，k的值为2或-1， 故答案为：2或-1. 题型4平行线分线段成比例 12.如图，a∥b∥c,AB=6,BC=2,DE=9,则EF的长为( ) A D E b -C A.4 B.3 C.2.5 D.2 【答案】B 【详解】解：：a∥b∥c, AB DE 69 :BCEF,即2EF, = .EF=3 故选：B I3.如图，在△ABC中，点D在AB边上，且AD=2BD,过点D作DE∥BC交AC于点E.若AE=2, 则AC的长是( E B A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【详解】解：DE∥BC,AD=2BD, AE AD ..CE BD 2 CE-E ..AC=AE+CE=3; 故选：B. 7/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，△ABC中，AD为BC上的中线，F为AC上的点，BF交AD于E,且AF:FC=2:3,则 AE:ED= E D 【答案】43 【详解】解：如图，过点D作DG∥BF,交AC于点G, F G B D :AD为BC上的中线， :.BD=CD CG_CD=1, ·FGBD .CG=FG, AF:FC=2:3, AF:FG=2:1.5=4:3, .AE:ED=AF FG=4:3, 故答案为：43. DE∥BC,FE∥CD,AF=3,AD=5,AE=4CE,BD 15.如图，已知 ,求 长 8/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 3BD-10 【答案】CE= 3 【详解】解：，FE∥CD, AF AE ADAC' 34 “54C, 解得4C=20 .CE=AC-AE= 3 DE∥BC, AD AE BD EC' 54 .BD8 3 5_12 BD 8' 12.BD=40, 10 解得BD=3· 題型5相似三角形的判定 16.如图，∠I=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是( 9/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC AE AD DE A.AB AD B.AB-BC C.∠D=∠BD.∠E=∠C 【答案】B 【详解】解：A选项：∠I=∠2， ∴.∠I+∠BAE=∠2+∠BAE, ∠DAE=∠BAC, 又：4C=6 AB AD 根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，可得：△ABC∽△ADE, 故A选项不符合题意： B选项：~D=DE :ABBC是AADE中AD边和DE边与AABC中AB边与BC边对应成比例，但是无法说明它们 的夹角∠D与∠B相等， ∴无法说明△ABC△ADE, 故B选项符合题意： C选项：：∠DAE=∠BAC,∠D=∠B ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明△ABC∽△ADE成立， 故C选项不符合题意： D选项：'∠DAE=∠BAC,∠E=∠C, ∴.根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明△ABC△ADE成立， 故D选项不符合题意. 故选：B. 17.如图，△ABC中，∠A=65,AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三 角形不相似的是() 10/46