专题06 反比例函数11大题型（期中专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题06 反比例函数 題型1 反比例函数的定义 题型7 一次函数与反比例函数的交点问题 題型2 待定系数法求解析式 题型8 一次函数与反比例函数的综合问题 題型3 反比例函数图象的判断问题 題型9 反比例函数的应用（行程及工程） 题型4 反比例函数的增减性问题 题型10 反比例函数的应用（物理及利润） 题型5 图形面积与比例系数 题型11 反比例函数的存在性问题 題型б 有关比例系数的规律题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 題型1 反比例函数的定义 1．下列函数中，属于反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．若是反比例函数，则a的取值为（         ） A．1 B． C． D．任意实数 3．已知函数是关于的反比例函数，则的值为 ． 4．是关于的反比例函数关系式，则 ，自变量的取值范围是 ． 題型2 待定系数法求解析式 5．若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 6．如表，如果与成正比例关系，那么表格中“？”处应填 ，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． 15 ？ 3 5 7．已知，是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为 ． 8．已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 題型3 反比例函数图象的判断问题 9．已知，则函数和的图象大致是（   ） A． B． C． D． 10．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 11．物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A． B． C． D． 12．定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 13．函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型4 反比例函数的增减性问题 14．下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 15．关于函数有如下结论： ①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限； ③每个象限内，函数值随的增大而增大； ④若、、为双曲线上的三点，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，随的增大而减小；③若、两点在该图象上，且，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．② C．③ D．①② 17．已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 18．已知反比例函数图像经过、，如果，，那么 0．（填“”或“”） 题型5 图形面积与比例系数 19．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 20．如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 21．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则的值为 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段的中点C，连接并延长交x轴于点D．则的面积为 ． 23．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为，双曲线经过点A和的中点D，连接，，则 ． 24．反比例函数在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于点，交轴于点，连接，若，则的值为 ．    題型б 有关比例系数的规律题 25．如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 26．如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得5个三角形，设它们的面积从左到右依次为，则= ． 27．如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 28．如图，点P，Q，R在反比例函数的图象上，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则 ． 题型7 一次函数与反比例函数的交点问题 29．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 31．如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 32．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为 ． 33．如图，直线与双曲线交于两点,则 ． 34．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 题型8 一次函数与反比例函数的综合问题 35．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C，若，则k的值为 ． 36．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 37．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 38．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出中x的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 39．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的的取值范围． 題型9 反比例函数的应用（行程及工程） 40．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 41．负责鱼菜共生系统建设的工程队平均每天的工作量（亩/天）与完成建设所需的时间（天）之间的函数图象如图所示，若该工程队每天最多建设0.5亩，则该工程队完成全部鱼菜共生系统的建设最快需要 天． 42．货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若卸货的速度是每小时40吨，求在乙港卸完全部货物所需的时间． 43．在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 44．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 45．某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 题型10 反比例函数的应用（物理及利润） 46．在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 47．已知近视眼镜镜片的焦距单位：是镜片度数单位：度的反比例函数，下表记录了一些数据： 度 利用表格中的数据推测：当镜片的度数为度时，镜片的焦距为 精确到 48．合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 49．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 50．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 51．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 题型11 反比例函数的存在性问题 52．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，连接，，，过点作轴，垂足为点，交于点，且为中点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数的图象是否存在一点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 53．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，是否存在点M，N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 54．已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在第一象限内作正方形，双曲线经过点，连接交于点，连接． (1)求双曲线的函数关系式； (2)双曲线与正方形是否存在除点外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填“不存在”结论：______； (3)四边形的面积为______（直接填答案）． 55．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点．      (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点是轴上一动点，连接，，当面积为10时，请求出点的坐标； (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． $专题06 反比例函数 題型1 反比例函数的定义 题型7 一次函数与反比例函数的交点问题 題型2 待定系数法求解析式 题型8 一次函数与反比例函数的综合问题 題型3 反比例函数图象的判断问题 題型9 反比例函数的应用（行程及工程） 题型4 反比例函数的增减性问题 题型10 反比例函数的应用（物理及利润） 题型5 图形面积与比例系数 题型11 反比例函数的存在性问题 題型б 有关比例系数的规律题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 題型1 反比例函数的定义 1．下列函数中，属于反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是一次函数，本选项不符合题意； B、是反比例函数，本选项符合题意； C、不是反比例函数，本选项不符合题意； D、是正比例函数，本选项不符合题意； 故选：B． 2．若是反比例函数，则a的取值为（         ） A．1 B． C． D．任意实数 【答案】A 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：A． 3．已知函数是关于的反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 4．是关于的反比例函数关系式，则 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解得：； 对于反比例函数，分母不能为， ∴在(此时，函数为)中， 自变量的取值范围； 故答案为：，． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，关键是根据反比例函数的一般形式确定函数表达式中参数的值，并明确自变量的取值范围，即可解答． 題型2 待定系数法求解析式 5．若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 6．如表，如果与成正比例关系，那么表格中“？”处应填 ，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． 15 ？ 3 5 【答案】 25 9 【详解】解：如果与成正比例关系，则， 解得； 如果与成反比例关系，则， 解得； 故本题答案为：． 7．已知，是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 題型3 反比例函数图象的判断问题 9．已知，则函数和的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴函数的图象是在第二、四象限的双曲线， ∵，， ∴的图象是经过一、三、四象限的直线， 只有选项C符合要求． 故选： C． 10．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 11．物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当m一定时，公式为，这是反比例函数，故A符合； 当ρ一定时，公式可变形为，这是正比例函数，故C符合； 当V一定时，或，这是正比例函数，故B不符合，D符合； 故选：B． 12．定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据新定义，得， 画图如下： ， 故选：C． 13．函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 题型4 反比例函数的增减性问题 14．下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、根据一次函数图象的性质，∵， ∴函数值y随x的增大而增大，故A正确； B、根据一次函数图象的性质，∵， ∴函数值y随x的增大而减小，故B错误； C、根据反比例函数图象的性质，∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故C错误； D、根据反比例函数图象的性质，∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D错误； 故选：A． 15．关于函数有如下结论： ①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限； ③每个象限内，函数值随的增大而增大； ④若、、为双曲线上的三点，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①当时，，则函数图象一定经过点，故①正确； ②∵，∴函数图象在第一、三象限，即②正确； ③∵，∴函数值分别在第一象限和第三象限中，随的增大而减小，即③错误； ④、、为双曲线上的三点， ∴， ∴，故④正确． 即①②④三个正确； 故选：C． 16．已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，随的增大而减小；③若、两点在该图象上，且，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．② C．③ D．①② 【答案】C 【详解】解：， ， 该函数的图象在第一、二象限， 且该函数的图象关于轴对称， ①说法错误， ， 当时，随着的增大而减小， 又图象关于轴对称， 当时，随着的增大而增大， ②说法错误， 当时，、两点关于轴对称， ， ③说法正确， 故选：C． 17．已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 18．已知反比例函数图像经过、，如果，，那么 0．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：反比例函数图像经过、，且，， ∴点、都在第二象限，且y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 题型5 图形面积与比例系数 19．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【详解】解：设，，则，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴，即， ∴． 故选：D． 20．如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：过点D作轴于点F，过点B作轴于点E， 则 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，，， ∵点B和点D在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故选：D． 21．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： ． 22．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段的中点C，连接并延长交x轴于点D．则的面积为 ． 【答案】6 【详解】解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 23．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为，双曲线经过点A和的中点D，连接，，则 ． 【答案】8 【详解】解：过点D作于点E，延长交x轴于点F，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，如图所示： ∵点C在x轴上，坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴A点的纵坐标为4，D点的纵坐标为2， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵点A、D均在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 24．反比例函数在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于点，交轴于点，连接，若，则的值为 ．    【答案】8 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，，再利用得到，然后解关于的绝对值方程即可． 【详解】解：轴， ，， ， ， 而， ． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 題型б 有关比例系数的规律题 25．如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，的纵坐标为2，即点坐标为， 当时，的纵坐标，即点坐标为， 当时， 的纵坐标，即点坐标为， 当时，的纵坐标， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 26．如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得5个三角形，设它们的面积从左到右依次为，则= ． 【答案】/0.2 【详解】解：设点的坐标为    ∵，   ∴ 点、、、 ∵ 点在曲线上，   ∴、、、、 又 ∵、、、、均为直角三角形，   ∴ 每个三角形的面积为： ∴ 故答案为： . 27．如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∴，，， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得，，， ∴， ， ， ∴，， ， ∴， 故答案为：． 28．如图，点P，Q，R在反比例函数的图象上，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则 ． 【答案】30 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：30． 题型7 一次函数与反比例函数的交点问题 29．如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：联立，解得：或， ∴， 当时，， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴的面积； 故选C． 30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：表示一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 由图可知，或， 故选：B． 31．如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①反比例函数的图象与正比例函数的图象若有交点，一定是两个，且关于原点对称，①正确； ②根据A，B关于原点对称，易知即为A点横纵坐标的乘积，为定值1，②正确； ③，对于，在每一象限内，y随x的增大而减小，当P，Q在同一象限内时，如果，那么，当P，Q不在同一象限内时，如果，那么，故③错误； ④在中，和y轴并不垂直，所以面积不会等于，故④错误； 因此正确的是①②， 故选B． 32．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为 ． 【答案】6 【详解】解：联立方程组得， 解得或， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故答案为：6． 33．如图，直线与双曲线交于两点,则 ． 【答案】4 【详解】解：解方程组， 得， 故答案为： 34．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：点的横坐标是，点A在上， ∴点A的纵坐标为，即， ∵点的纵坐标都是，点B在上， ∴，解得B的横坐标为4，即， 将代入，得， 解得， 一次函数的解析式为：； （2）解：对于， 令，则， ∴，， ； （3）解：由图可知，使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的范围是：或． 题型8 一次函数与反比例函数的综合问题 35．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C，若，则k的值为 ． 【答案】 【详解】对于直线， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 带入得， 故答案为：． 36．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 37．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 【答案】(1)a的值为8 (2)的取值范围为或 (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 又∵点在的图象上， ∴将代入，得． ∴a的值为8． （2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或． （3）解：∵一次函数过、， ∴代入得， 用第一个方程减第二个方程：，即， 解得， 将代入，得，即， 解得， ∴一次函数解析式为， 设点的坐标为（，因在线段上）， ∵，且、、在同一直线上， ∴，即， ∵点在上，且为原点， ∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例）， ∴的坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 化简右边：，方程变为， 两边同乘去分母：， 即， 两边除以得， 因式分解：， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时，均在线段上， 故点的坐标为或． 38．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出中x的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，， ； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方， 那么不等式的解集为或； （3）解：作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P， 此时取得最大值， 则直线与y轴的交点即为所求的点P， ∵点关于y轴的对称点， 又， 设直线的关系式为， 则有， 解得，， ∴直线的关系式为； ∴直线与y轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 39．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， 反比例函数的表达式为， ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数中，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或， 的坐标为或； （3）解：由图象得 或． 題型9 反比例函数的应用（行程及工程） 40．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：最快移动速度是载重后总质量的反比例函数， ∴设v与M的函数关系式为（k为常数，且）， 将，代入得：， ， ∴v与M的函数关系式为， 时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故选：D． 41．负责鱼菜共生系统建设的工程队平均每天的工作量（亩/天）与完成建设所需的时间（天）之间的函数图象如图所示，若该工程队每天最多建设0.5亩，则该工程队完成全部鱼菜共生系统的建设最快需要 天． 【答案】4 【详解】解：依题意，先设该函数解析式为， ∵点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴该函数解析式为， ∵该工程队每天最多建设0.5亩， 得出， 解得， 故答案为：4 42．货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若卸货的速度是每小时40吨，求在乙港卸完全部货物所需的时间． 【答案】(1)； (2)在乙港卸完全部货物所需的时间是6小时． 【详解】（1）解：由题意得：， 故y与x之间的函数关系式为； （2）把，代入，可得， 所以在乙港卸完全部货物所需的时间是6小时． 43．在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【详解】（1）解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； （2）解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； （3）解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 44．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 【答案】(1)， (2)当它所受的牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时 (3)若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数表达式为， 把代入，得， （瓦）， ∴． （2）解：当牛时， （米/秒）（千米/时）， 即当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时． （3）解：由，得． 所以，若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛． 45．某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【答案】(1) (2)提前10天 【详解】（1）解：由题意，得， （2）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， ∵(天)， ∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程． 题型10 反比例函数的应用（物理及利润） 46．在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 47．已知近视眼镜镜片的焦距单位：是镜片度数单位：度的反比例函数，下表记录了一些数据： 度 利用表格中的数据推测：当镜片的度数为度时，镜片的焦距为 精确到 【答案】 【详解】解：根据表格数据可得，， ∴焦距y（单位：米）和度数x（单位：度）之间满足的关系为， 将代入关系式， 得， 故答案为：． 48．合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 【答案】(1)反比例函数关系； (2)能达到；理由见解析 【详解】（1）解：观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系． 设与之间的函数表达式为， 当时， ． 把其余各组对应值代入上式均成立，故与之间的函数表达式为； （2）能达到800元． 理由：依题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，并且符合题意， 答：当售价为9元/千克时，超市销售草莓的日利润可达到800元． 49．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，设， 结合表格数据，该函数图象过点 ， 与的函数表达式为． 故答案为：； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 答：当砝码的质量为24g时，托盘与点之间的距离是． 50．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 51．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 题型11 反比例函数的存在性问题 52．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，连接，，，过点作轴，垂足为点，交于点，且为中点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数的图象是否存在一点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点坐标为 【详解】（1）解：∵点为中点， ∴ 将点代入得：； （2）解：由（1）已得： ∵轴，垂足为点， ∴，点的纵坐标为3，， 将代入得： ∴ ∴ ∴ 又∵点为中点， ∴的面积为 （3）解：存在点，使得是以为底的等腰三角形 当时 ， 设，，则， 解方程， 解得：或（时与重合舍去）或（舍去）或（舍去）， 此时． 53．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，是否存在点M，N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在；或或 【详解】（1）解：∵点是反比例函数与一次函数的交点， ∴，， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，； （2）解：一次函数中，当时，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴或， ∴或； （3）解：∵点是轴上一点，点是反比例函数图象上一点， ∴，， 解得或， ∴， ∵以点为顶点的四边形是平行四边形， ∴①以为对角线时，由中点坐标公式得， ∴， ∴； ②以为对角线时，由中点坐标公式得， ∴， ； ③以为对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ； 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，正确地求得函数的解析式是解题的关键． 54．已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在第一象限内作正方形，双曲线经过点，连接交于点，连接． (1)求双曲线的函数关系式； (2)双曲线与正方形是否存在除点外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填“不存在”结论：______； (3)四边形的面积为______（直接填答案）． 【答案】(1) (2)存在， (3)5 【详解】（1）解：过作于，如图： 令，则，令，则， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 在上， ， ， ； （2）解：由反比例函数图象性质可知，若还有交点，交点一定在上， ， 设直线的解析式为：， 将代入得，， 解得， 直线的解析式为：， 联立直线与双曲线解析式得， 解得：或， 另一个交点为：； 故答案为：； （3）解：如图所示，连接， ， ， ． 故答案为：． 55．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点．      (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点是轴上一动点，连接，，当面积为10时，请求出点的坐标； (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； 将点代入，解得， ， 把和分别代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线交轴于点，如图1， 令得， 则， 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，如图2，设交轴于点， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， ∴. ∵，， ∴，. ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，用面积差表示出是解题的关键． 56．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Р的坐标为或或或 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． （2）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； 设一次函数与轴交于点，如图， 对于，当时，， ， ， ，， 的面积为． （3）解：点在轴上， ①当时，如图所示， ， ， ， 点的坐标为或； ②当时，如图所示， 设点， ，由①可知， ， 解得或（不合题意，舍去） 点的坐标为； ③当时，如图所示， 设点， ， ，， ， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点Р的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． $