2.2 用配方法求解一元二次方程教学设计2025-2026学年 北师大版（2012）九年级数学上册

初中数学北师大版（2012）九年级上册 2 用配方法求解一元二次方程 课标分析 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本课内容对应"方程与不等式"领域，要求学生掌握一元二次方程的解法。课标强调通过具体情境理解配方法的本质，即通过配方将一般式转化为的形式求解，体现从特殊（如）到一般的认知过程。教学中需突出运算能力的培养，通过"做一做"等活动理解完全平方式的结构特征（一次项系数一半的平方），同时结合实际问题（如小球运动）建立方程模型，发展应用意识。要求学生会用配方法解数字系数的一元二次方程，理解开平方运算与配方法的逻辑关系，体现数学的严谨性和工具性。 教材分析 本节课通过求解梯子滑动距离的实际问题引出一元二次方程的精确解法，借助“议一议”和“做一做”引导学生回顾直接开平方法，并探索将一般式方程转化为完全平方形式的途径，从而引入配方法的概念与操作步骤。教学过程以问题驱动、层层递进的方式引导学生自主探究配方规律。本节内容承接了直接开平方法与完全平方公式的学习，是后续学习公式法的基础。本节课的作用在于帮助学生掌握配方法这一基本解题技能，提升代数变形能力和逆向思维水平，为推导求根公式、研究二次函数顶点式及解决实际问题提供重要工具，同时增强学生数学建模与运算能力。 学情分析 九年级学生已掌握一元一次方程、平方根的概念及完全平方公式，能进行简单的代数运算，并了解一元二次方程的基本形式和实际应用背景，具备初步的方程建模能力，此阶段学生处于形式运算阶段，具备一定抽象思维和逻辑推理能力，但对代数变形的灵活性和整体结构把握仍较薄弱，面对将一般式一元二次方程转化为完全平方式的过程容易产生困惑，本节课要求学生通过观察、类比和归纳理解配方法的本质，即通过配方将方程转化为的形式，进而开方求解，帮助学生提升代数恒等变形能力和方程转化思想，掌握配方法这一重要解题工具，为后续学习公式法及二次函数奠定基础。 教学目标 1. 理解配方法的基本思路，掌握将一元二次方程化为形式的方法，通过配方过程提升数学运算和符号意识核心素养，发展代数变形能力。 2. 能识别完全平方式的结构特征，探究常数项与一次项系数的关系，培养模型观念和归纳推理能力，增强代数表达与结构分析能力。 3. 运用配方法解实际问题中的二次方程，体会方程模型的应用价值，提升问题解决能力和数学建模素养，强化运算耐心与精确性。 重点难点 重点：理解配方法的概念，掌握用配方法解一元二次方程的步骤。 难点：将一元二次方程转化为的形式，理解配方的依据和方法。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了特殊一元二次方程，如这类方程的解法。请解，回顾直接开平方求解的思路与步骤，检验对该知识的掌握情况。 2.预习教材： 阅读教材用配方法求解一元二次方程部分，了解将方程转化为形式求解的思路。圈出配方的关键步骤，记录配方法定义，对不理解处做好标记。 3.问题思考： 对于方程，思考如何转化为的形式？常数项与一次项系数存在怎样的关系？尝试自行推导并在课上交流。 课堂导入 同学们，老师先给大家讲个有趣的场景。假设有一块矩形的花园，它的长比宽多2米，面积是15平方米，那这个花园的长和宽分别是多少呢？设宽为米，长就是米，根据矩形面积公式可得方程，整理后为。这是一个一元二次方程，之前我们学过一些简单的解法，但这个方程该怎么求解精确值呢？今天，我们就一起来学习一种新的求解一元二次方程的方法——配方法，它能帮助我们解决这类问题。 用配方法求解一元二次方程 探究新知 （一）知识精讲 我们先来回顾一些特殊的一元二次方程的解法。观察下面几个方程： 1. ：可以直接开平方得到 2. ：先移项得，再两边除以2得到，最后解得 3. ：左边是完全平方式，开平方后得到 4. ：化简得，开平方后得到 通过观察这些例子，我们发现如果能将方程转化为的形式，就能方便地求解。这种将一般形式的一元二次方程转化为完全平方式的方法，就叫做配方法。 以方程为例，我们通过配方法将其转化为的形式。具体步骤如下： 1. 移项： 2. 配方：（添加一次项系数一半的平方） 3. 写成完全平方式： 4. 开平方： 5. 解得：， （二）师生互动 教师提问：同学们，在配方过程中，为什么要添加一次项系数一半的平方？如果不添加这个数，会有什么影响？ 学生思考回答：添加一次项系数一半的平方是为了将左边配成完全平方式。如果不添加这个数，就无法将方程转化为的形式，也就无法用开平方法来解方程。 教师追问：非常好！那么请大家观察一下这个等式，要填的数字和一次项系数12有什么关系？ 学生回答：要填的数字36是12的一半6的平方。 教师继续引导：没错。那谁能总结一下配方法的一般步骤？ 学生总结：1. 移项使方程左边只有二次项和一次项；2. 配方时添加一次项系数一半的平方；3. 写成完全平方式；4. 开平方求解。 （三）设计意图 通过具体例题的讲解和师生互动，帮助学生理解配方法的原理和操作步骤。从特殊到一般，引导学生发现配方过程中数字变化的规律，培养学生的观察能力和归纳总结能力。通过提问和讨论，激发学生的思维活动，加深对配方法本质的理解，为后续学习解一般形式的一元二次方程打下基础。 新知应用 例1：解方程： 解答： 我们使用配方法来解这个一元二次方程。目标是将方程转化为形如的形式，然后开平方求解。 原方程为： 第一步：移项 把常数项移到等号右边： 第二步：配方 观察左边的式子，要使其成为一个完全平方式，需要加上“一次项系数一半的平方”。 一次项系数是8，它的一半是4，。 我们在等式两边同时加上16： 第三步：开平方 对两边同时开平方： 第四步：解两个一元一次方程 分别解： 所以方程的两个根是： 总结 1.题目考查内容 ① 配方法解一元二次方程的基本步骤； ② 完全平方式的构造与识别； ③ 开平方后得到两个解的理解。 2.题目求解要点 ① 移项使方程右边为0或常数； ② 配方时记住“加一次项系数一半的平方”； ③ 配方后写成形式； ④ 当时，可开平方转化为两个一元一次方程求解。 例2：解方程： 解答： 这个方程的二次项系数不是1（是3），所以我们先通过两边同除以3，化成标准形式便于配方。 原方程： 第一步：化二次项系数为1 两边同时除以3： 第二步：移项 把常数项移到右边： 第三步：配方 一次项系数是，它的一半是，平方是。 在等式两边同时加上： 第四步：开平方 第五步：解两个方程 所以方程的两个根是： 总结 1.题目考查内容 ① 当二次项系数不为1时，配方法的处理步骤； ② 分数运算与配方结合的能力； ③ 对形式的灵活应用。 2.题目求解要点 ① 若二次项系数不是1，先两边同除以该系数； ② 配方时注意分数的一半和平方计算准确； ③ 移项、配方、开平方每一步都要保持等式成立； ④ 最终结果要化简并写出两个解。 新知巩固 第1题：若关于 的方程 的根为 ，则 的值为（　　） A．5　　B．　　C．4 或 　　D．5 或 解答： 我们从方程出发： 移项得： 两边开平方： 分别解两个一元一次方程： 1. 2. 所以方程的两个根是 和 。题目说“根为 ”，说明 是其中一个根。 因此，可能的情况是： 若 ，则 若 ，则 所以 的值可能是 5 或 答案选 D．5 或 总结： 1. 题目考查内容 本题考查一元二次方程的解法（平方根法），以及代数式的整体运算能力，涉及参数与根的关系。 2. 题目求解要点 · 将方程化为 形式； · 利用平方根法解出两个根； · 根据根的形式表示出 ，进而计算 ； · 注意题目中“根为 ”意味着 是任意一个根，需考虑两种情况。 3. 同类型题目解题步骤 1. 观察方程是否可化为 的形式； 2. 移项后开平方，得到两个一元一次方程； 3. 分别求解两个解； 4. 结合题目条件（如根与参数关系）进行代数推理； 5. 注意多解情况，分类讨论。 板书设计 用配方法求解一元二次方程 问题引入：精确值求解 ─ 议一议 可解特殊一元二次方程 解方程示例：等 方程困难与转化思路 解法思路：转化为形式 当，开平方得一元一次方程 做一做（等式填空） 常数项与一次项系数关系 配方法定义：配成完全平方式求解 教学反思 本节课围绕配方法解一元二次方程展开，通过实际问题引入，引导学生从特殊方程入手，逐步探索将一般形式转化为的思路，结合“议一议”“做一做”等活动，帮助学生理解配方的本质与操作步骤，并应用于实际情境中求解小球高度问题。教学设计符合课标“以学生为主体、注重过程体验”的理念，成功之处在于通过层层递进的问题链激发思维，使学生在观察、归纳、转化中掌握配方法的核心——构造完全平方式。同时，借助具体实例强化了数学建模与运算能力。不足之处在于部分学生对“配方时需加‘一次项系数一半的平方’”这一关键点理解不深，易机械记忆而忽视原理；小组交流中个别学生参与度低，教师对生成性问题回应不够及时。今后应加强算理的直观解释，优化合作学习的组织策略，提升课堂互动质量。 学科网（北京）股份有限公司 $