2025-2026学年沪科版八年级上册数学周周练07（第13章）

沪科版八年级上数学周周练07（第13章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列句子是命题的是（　　） A．连接CD B．画∠ACB＝48° C．小于90的角是锐角？ D．相等的角是对顶角 【解答】解：A．连接CD是作图语句，不是命题，故A不符合题意； B．画∠ACB＝48°是作图语句，不是命题，故B不是命题，故B不符合题意； C．小于90的角是锐角？是问句，不是命题，故C不符合题意； D．相等的角是对顶角是命题，故D符合题意． 故选：D． 2.如图，△ABC缺了一个角∠C，若∠A＝76°，∠B＝20°，则∠C的度数是（　　） A．96° B．86° C．84° D．66° 【解答】解：根据三角形内角和定理可得：∠C＝180°﹣76°﹣20°＝84°， 故选：C． 3.已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（　　） A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b 【解答】解：根据求一个命题的逆命题可知： 命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”的逆命题是如果﹣a＝﹣b，那么a＝b， 故选：B． 4.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．85° D．105° 【解答】解：由三角板可知：∠5＝60°， ∵直尺两边平行， ∴∠2＝45°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣45°＝45°， ∴∠4＝∠3＝45°（对顶角相等）， ∴∠1＝∠6＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣45°﹣60＝75°， 故选：B． 5.在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：设三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，则 k°+k°+2k°＝180°， 解得k°＝45°， ∴2k°＝90°， ∴这个三角形是等腰直角三角形， 故选：D． 6.如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　） A．BC＝2CD B．∠BAE∠BAC C．∠AFB＝90° D．AE＝CE 【解答】解：∵AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高， ∴BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°， 故选项A、B、C正确，选项D错误， 故选：D． 7.如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形的面积为7，则△ABC的面积为（　　） A．14 B．21 C．28 D．32 【解答】解：∵点E是BD的中点， ∴S△ABES△ABD，S△BCES△BDC， ∴S△ABE+S△BCES△ABC， ∴S△ACES△ABC， ∵点F是CE的中点， ∴S△AEFS△ACE， ∴S△ABC＝4S△AEF＝4×7＝28， 故选：C． 8.如图，△ABC中，∠ABC＝3∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠EDC＝20°，∠ADE＝3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【解答】解：∵BF平分∠ABC， ∴， ∵∠ABC＝3∠C， ∴， 设∠C＝x，则， ∵∠EDC＝20°， ∴∠AED＝∠C+∠EDC＝x+20°， ∵∠ADE＝3∠AED， ∴∠ADE＝3x+60°， ∵DF平分∠ADE， ∴， ∵∠FDC＝∠F+∠FBC， ∴， ∴∠F＝50°． 故选：A． 9.某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项（不考虑顺序），以下是该班的报名表： 项目类型 A B C D E 报名人数 15 10 13 10 12 若选择BD组合的刚好有10人，则选择AC组合的人数是（　　）人． A．15 B．12 C．10 D．8 【解答】解：∵每位同学选择其中的两项， ∴该班人数有30（人）； 选择BD组合的刚好有10人，则还有20人， 其中选E的人数有12，那么没选E的有8人， 即全部是AC组合， ∴AC组合的人数有8人． 故选：D． 10.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACF的平分线交于点G，△ABC的外角∠CBD与∠BCE的三等分线交于点J，即∠DBJ＝2∠CBJ，∠ECJ＝2∠JCB．若∠J＝88°，则∠G＝（　　） A．42° B．45° C．48° D．51° 【解答】解：设∠CBJ＝x，∠BCJ＝y，则∠DBJ＝2x，∠ECJ＝2y， ∵∠J＝88°， ∴x+y＝180°﹣88°＝92°， ∵∠DBJ＝2∠CBJ，∠ECJ＝2∠JCB， ∴∠DBC+∠BCE＝92°×3＝276°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣276°＝84°， ∴∠A＝180°﹣84°＝96°， 设∠GCF＝α，∠CBG＝β， ∵BG平分∠ABC，CG平分∠ACF， ∴∠ABG＝∠CBG＝β，∠ACG＝∠FCG＝α， ∴∠G＝∠FCG﹣∠CBG＝α﹣β， ∠A＝∠ACF﹣∠ABC＝2α﹣2β， ∴∠G∠A96°＝48°； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.举反例说明下面的命题是假命题：“若a，b都是正数，且c＝ab，则c≥a．”你举的反例是：　 　 ． 【解答】解：举的反例是：，，， 此时c＝ab，但是c＜a， 故答案为：，，，显然c＜a（答案不唯一）． 12.将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 　 　 ． 【解答】解：由题意可知∠EAD＝90°﹣45°＝45°， ∴根据三角形外角性质，∠FBA＝∠EAD﹣∠F＝45°﹣30°＝15°， 所以∠FBA的度数为15°． 故答案为：15°． 13.如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n；对于下列各值： ①点P到直线n的距离； ②△PAB的周长； ③△PAB的面积； ④∠APB的大小． 其中不会随点P的移动而变化的是 （填序号）． 【解答】解：∵直线m∥n， ∴点P到直线n的距离不会随点P的移动而变化，故①正确； ∵PA，PB的长随点P的移动而变化， ∴△PAB的周长会随点P的移动而变化，∠APB的大小会随点P的移动而变化，故②，④错误； ∵点P到直线n的距离不变，AB的长度不变， ∴③△PAB的面积不会随点P的移动而变化； 综上，不会随点P的移动而变化的是①③． 故答案为：①③． 14.如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；⋯，按此做法进行下去，第2024个三角形中以A2024为顶点的底角的度数为 　 　 ． 【解答】解：在△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A， ∴， ∵∠A1CA2＝∠A1A2C，∠BA1A是△A1CA2的外角， ∴， 同理可得，， ， ⋯， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数为°， ∴第2024个三角形中以A2024为顶点的底角的度数为°， 故答案为：°． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出△ABC中边BC上的高AD； （2）画出△ABC中边AC上的中线BE； （3）直接写出△ABE的面积为 　　 ． 【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求； （2）如图所示，线段BE即为所求； （3）S△ABCBC•AD4×4＝8． ∴△ABE的面积S△ABC＝4， 故答案为：4． 16.已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长． 【解答】解：∵（b﹣5）2+|c﹣7|＝0， ∴，解得 ∵a为方程|a﹣3|＝2的解， ∴a＝5或1， 当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7， 不能组成三角形，故a＝1不合题意； ∴a＝5， ∴△ABC的周长＝5+5+7＝17， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E． 求证：AE⊥CE． 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC+　 　 ＝180°（ 　 　 ）， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， ∴，． ∴∠1+∠2＝ 　 　 ． ∵∠E+∠1+∠2＝180°（ 　 　 ）， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：　 　 ． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， ∴∠1∠BAC，∠2∠ACD， ∴∠1+∠2＝90°． ∵∠E+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°， ∴AE⊥CE． 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 故答案为：∠ACD；两直线平行，同旁内角互补；90°；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 18.如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3或（AB+AF+BF）﹣（BC+CF+BF）＝3 ∴AB﹣BC＝3或BC﹣AB＝3， ∵AB＝9， ∴BC＝12或6． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知在△ABC中： （1）∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A、∠B、∠C的度数； （2）a、b、c是三角形的三条边长，化简|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|． 【解答】解：（1）∵∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B， ∴∠A＝∠B+20°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+20°+∠B+2∠B＝180°， ∴∠B＝40°， ∴∠A＝60°，∠C＝80°； （2）∵a、b、c是三角形的三条边长， ∴a+c＞b，c﹣a＜b， ∴a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|＝a+c﹣b﹣a﹣b+c＝2c﹣2b． 20.已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证： （1）∠EGH＞∠ADE； （2）∠EGH＝∠ADE+∠A+∠AEF． 【解答】证明：（1）∵∠EGH是△FBG的外角， ∴∠EGH＞∠B， 又∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE．（两直线平行，同位角相等）， ∴∠EGH＞∠ADE； （2）∵∠BFE是△AFE的外角， ∴∠BFE＝∠A+∠AEF， ∵∠EGH是△BFG的外角， ∴∠EGH＝∠B+∠BFE． ∴∠EGH＝∠B+∠A+∠AEF， 又∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠EGH＝∠ADE+∠A+∠AEF． 六、（本题满分12分） 21.阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“特征三角形”，其中α称为“特征角”例如：一个三角形三个内角的度数分别是100°、50°、30°，这个三角形就是“特征三角形”，其中“特征角”为100°．反之，若一个三角形是“特征三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍． （1）一个“特征三角形”的一个内角为120°，若“特征角”为锐角，则这个“特征角”的度数为 　 　 °． （2）如图1，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E． ①若AD⊥BC，DE⊥AB，判断△BED是否为“特征三角形”，并说明理由； ②若∠B＝30°，△BED是“特征三角形”，请直接写出∠ADC的度数； ③如图2，若F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“特征三角形”，求∠C的度数． 【解答】解：（1）∵一个“特征三角形“的一个内角为120°，若“特征角“为锐角， 设这个“特征角“的度数为2x°，则另一个角为x°， ∴120+2x+x＝180， 解得：x＝20， ∴这个“特征角“的度数为40°， 故答案为：40． （2）①∵AD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠ADB＝∠DEB＝90°， ∵DE平分∠ADB， ∴∠EDB＝45°， ∵∠BED＝2∠BDE， ∴△BED是为“特征三角形”； ②设∠BDE＝x，∵DE∠ADC＝180°﹣2x 平分∠ADB， 则∠ADE＝∠BDE＝x，则∠BED＝180°﹣30°﹣x＝150°﹣x， ∵△BED是“特征三角形”， 1）∠B为特征角时，当∠B＝2∠EDB时，x＝15°，则∠ADC＝180°﹣2×15°＝150°， 当∠B＝2∠BED时，150°﹣x＝15°， 解得：x＝135°（舍去） 2）为特征角时，当∠EDB＝2∠B时，x＝60°，则∠ADC＝180°﹣2×60°＝60° 当∠EDB＝2∠BED时，x＝2（150°﹣x）， 解得：x＝100°（舍去） 3）∠BED为特征角时，当∠BED＝2∠B时，150°﹣x＝60°， 解得：x＝90°（舍去） 当∠BED＝2∠BDE150°﹣x＝2x， 解得：x＝50°，则∠ADC＝180°﹣2×50°＝80°， 综上所述，∠ADC＝150°或60°或80°； ③设∠C＝α ∵∠AFE+∠ADC＝180°，∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠AFE＝∠ADB， ∴EF∥BC， ∴∠EDB＝∠FED 又∵DE平分∠ADB， ∴∠EDB＝∠FDE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FED＝∠C， ∴∠EDB＝∠FDE＝∠C＝α， ∴ED∥AC， ∴∠CAD＝∠EDF＝α， ∴在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣2α，∠CAD＝∠C＝α， ∵△ADC是“特征三角形”， ∴180°﹣2α＝2α或α＝2（180°﹣2α）， 解得：α＝45°或α＝72°， 即∠C＝45°或72°． 七、（本题满分12分） 22.（问题背景）∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （问题思考） （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　　 ． （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D． ①若∠BAO＝70°，则∠D＝　　 °． ②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝　 　 ．（用含α的代数式表示） 【解答】解：（1）∵∠MON＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE∠BAO，∠ABE∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE（∠BAO+∠ABO）＝45°， ∴∠AEB＝135°； 故答案为：135°； （2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝70°， ∴∠ABO＝20°，∠ABN＝160°， ∵BC是∠ABN的平分线， ∴∠OBD＝∠CBN160°＝80°， ∵AD平分∠BAO， ∴∠DAB＝35°， ∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣80°﹣35°﹣20°＝45°， 故答案为：45； ②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化， 设∠BAD＝x， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO＝2x， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2x， ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC＝45°+x， ∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD， ∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+x﹣x＝45°； （3）设∠BAD＝x， ∵AD平分∠BAO， ∴∠BAO＝2x， ∵∠AOB＝α， ∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝α+2x， ∵BC平分∠ABN， ∴∠ABCx， ∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD， ∴∠D＝∠ABC﹣∠BADx﹣x； 故答案为：． 八、（本题满分14分） 23.实验探究：（1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝　　 ； ②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，已知∠A＝30°，那么∠ABD+∠ACD＝　　 ； （2）猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数； ②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC＝110°，∠BF4C＝62°，则∠A的度数为 　　 ． 【解答】解：（1）①∵BC∥EF，∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠DBC＝∠DEF＝45°，∠DCB＝∠DFE＝45°， ∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝45°，∠ACD＝15°， ∴∠ABD+∠ACD＝60°， 故答案为：60°； ②∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠DCB＝60°， 故答案为：60°； （2）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由如下： 如图3，过点D作射线AF． 根据三角形外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD， 又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C； （3）①如图4，由（2）可得∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A， ∵∠BAC＝40°，∠BDC＝120°， ∴∠ABD+∠ACD＝80°， ∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD， ∴， ∴ ∵∠BDC＝∠BEC+∠EBD+∠ECD， ∴∠BEC＝∠BDC﹣∠EBD﹣∠ECD＝120°﹣40°＝80°； ③如图5，设∠ABF1＝x°，∠ACF1＝y°，则∠ABD＝10x°，∠ACD＝10y°， ∵∠BDC＝110°，∠BF4C＝62° ∴∠A+4x°+4y°＝62°，∠A+10x°+10y°＝110°， 解得x+y＝8°， ∴∠A＝62°﹣32°＝30°， 即∠A的度数为30°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版八年级上数学周周练07（第13章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列句子是命题的是（　　） A．连接CD B．画∠ACB＝48° C．小于90的角是锐角？ D．相等的角是对顶角 2.如图，△ABC缺了一个角∠C，若∠A＝76°，∠B＝20°，则∠C的度数是（　　） A．96° B．86° C．84° D．66° 3.已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（　　） A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b 4.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．85° D．105° 5.在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 6.如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　） A．BC＝2CD B．∠BAE∠BAC C．∠AFB＝90° D．AE＝CE 7.如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形的面积为7，则△ABC的面积为（　　） A．14 B．21 C．28 D．32 8.如图，△ABC中，∠ABC＝3∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠EDC＝20°，∠ADE＝3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 9.某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项（不考虑顺序），以下是该班的报名表： 项目类型 A B C D E 报名人数 15 10 13 10 12 若选择BD组合的刚好有10人，则选择AC组合的人数是（　　）人． A．15 B．12 C．10 D．8 10.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACF的平分线交于点G，△ABC的外角∠CBD与∠BCE的三等分线交于点J，即∠DBJ＝2∠CBJ，∠ECJ＝2∠JCB．若∠J＝88°，则∠G＝（　　） A．42° B．45° C．48° D．51° 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.举反例说明下面的命题是假命题：“若a，b都是正数，且c＝ab，则c≥a．”你举的反例是：　 　 ． 12.将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 　 　 ． 13.如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n；对于下列各值： ①点P到直线n的距离； ②△PAB的周长； ③△PAB的面积； ④∠APB的大小． 其中不会随点P的移动而变化的是 （填序号）． 14.如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；⋯，按此做法进行下去，第2024个三角形中以A2024为顶点的底角的度数为 　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出△ABC中边BC上的高AD； （2）画出△ABC中边AC上的中线BE； （3）直接写出△ABE的面积为 　　 ． 16.已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E． 求证：AE⊥CE． 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC+　 　 ＝180°（ 　 　 ）， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， ∴，． ∴∠1+∠2＝ 　 　 ． ∵∠E+∠1+∠2＝180°（ 　 　 ）， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：　 　 ． 18.如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知在△ABC中： （1）∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A、∠B、∠C的度数； （2）a、b、c是三角形的三条边长，化简|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|． 20.已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证： （1）∠EGH＞∠ADE； （2）∠EGH＝∠ADE+∠A+∠AEF． 六、（本题满分12分） 21.阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“特征三角形”，其中α称为“特征角”例如：一个三角形三个内角的度数分别是100°、50°、30°，这个三角形就是“特征三角形”，其中“特征角”为100°．反之，若一个三角形是“特征三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍． （1）一个“特征三角形”的一个内角为120°，若“特征角”为锐角，则这个“特征角”的度数为 　　 °． （2）如图1，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E． ①若AD⊥BC，DE⊥AB，判断△BED是否为“特征三角形”，并说明理由； ②若∠B＝30°，△BED是“特征三角形”，请直接写出∠ADC的度数； ③如图2，若F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“特征三角形”，求∠C的度数． 七、（本题满分12分） 22.（问题背景）∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （问题思考） （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　　 ． （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D． ①若∠BAO＝70°，则∠D＝　　 °． ②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝　 　 ．（用含α的代数式表示） 八、（本题满分14分） 23.实验探究：（1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝　　 ； ②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，已知∠A＝30°，那么∠ABD+∠ACD＝　　 ； （2）猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数； ②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC＝110°，∠BF4C＝62°，则∠A的度数为 　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $