2025-2026学年沪科版八年级上册数学周周练06（13.2）

沪科版八年级上数学周周练06（13.2） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列命题正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣3＜b﹣3 B．若a＞b，则ac＞bc C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2 2.已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（　　） A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b 3.能说明命题“若a2＞b2则a＞b．”是假命题的一个反例可以是（　　） A．a＝2，b＝1 B．a＝1，b＝2 C．a＝﹣2，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝﹣2 4.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 5.如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．∠C＝∠E C．∠B＝∠E+∠F D．∠D＝∠A+∠B 6.下列语句中，真命题是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C．﹣3是的平方根 D．相等的两个角是对顶角 7.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 8.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，若∠BCA＝60°，则∠B+∠E的值是（　　） A．59° B．60° C．61° D．62° 9.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（　　） A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60° 10.如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：　 　 ，该逆命题是 　　 命题（填“真”或“假”）． 12.一只皮箱的密码是一个三位数．小光说：“它是843”；小明说：“它是247”；小亮说：“它是103”；已知每人都只猜对了位置不同的一个数字．这只皮箱的密码是 　 　 ． 13.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 14.在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F． ∵DE∥AC，AB∥EF， ∴∠1＝ 　 　 ，∠3＝ 　 　 ∵AB∥EF， ∴∠4＝ 　 　 （ 　 　 ） ∵DE∥AC， ∴∠4＝ 　 　 （ 　 　 ） ∴∠2＝ 　 　 ．（ 　 　 ） ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝ 　 　 ． 16.如图，直角三角形ABC中，∠B＝30°，CE平分∠ACB，∠EAD＝2∠CAF．求证：CE∥FD． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． （1）请写出该命题的逆命题； （2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明；如果是假命题，请举反例画图说明． 18.如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝32°，∠E＝36°，求∠BAC的度数； （2）试猜想∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 20.五年级有4个班，每个班有两个班长，每次召开班长会议时各班派一名班长参加，参加第一次会议的是A，B，C，D；参加第二次会议的是E，B，F，D；参加第三次会议的是A，E，B，G；而H三次会议都没参加．请问每个班的两位班长各是谁？ 六、（本题满分12分） 21.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”． 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）． （1）∠ABO的度数为　 　 °，△AOB　 　 （填“是”或“不是”）灵动三角形； （2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”； （3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数． 七、（本题满分12分） 22.（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 八、（本题满分14分） 23.【问题再现】 （1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝50°，则∠P＝　115　 度； 【问题推广】 （2）如图②，在△ABC中，∠BAC的平分线与△ABC的外角∠CBM的平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数； （3）如图③，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠，使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC＝　110　 度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版八年级上数学周周练06（13.2） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列命题正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣3＜b﹣3 B．若a＞b，则ac＞bc C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣3＞b﹣3， 故A不符合题意； ∵a＞b， ∴当c＝0时，ac＞bc不一定成立， 故B不符合题意； ∵ac2＞bc2， ∴a＞b， 故C符合题意； ∵a＞b， ∴当c＝0时ac2＞bc2不成立， 故D不符合题意； 故选：C． 2.已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（　　） A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b 【解答】解：根据求一个命题的逆命题可知： 命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”的逆命题是如果﹣a＝﹣b，那么a＝b， 故选：B． 3.能说明命题“若a2＞b2则a＞b．”是假命题的一个反例可以是（　　） A．a＝2，b＝1 B．a＝1，b＝2 C．a＝﹣2，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝﹣2 【解答】解：A、由22＞12，得到2＞1，故A不符合题意； B、12＜22，故B不符合题意； C、（﹣2）2＞（﹣1）2，但﹣2＜﹣1，故C符合题意； D、（﹣1）2＜（﹣2）2，故D不符合题意． 故选：C． 4.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【解答】解：∵∠ADE＝90°，∠BED＝45°， ∴∠DCE＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∵∠A＝30°， ∴∠α＝∠A+∠ACB＝30°+45°＝75°， 故选：D． 5.如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．∠C＝∠E C．∠B＝∠E+∠F D．∠D＝∠A+∠B 【解答】解：根据图形可知：∠A≠∠E，∠C≠∠E，∠B≠∠E+∠F， ∵∠D相当于△ABC的外角， ∴∠D＝∠A+∠B，故选项A、B、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 6.下列语句中，真命题是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C．﹣3是的平方根 D．相等的两个角是对顶角 【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题； B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题； C、﹣3是的平方根，是真命题； D、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题； 故选：C． 7.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　） A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30° 【解答】解：起吊物体前，设∠BDC＝x， ∵∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线， ∴， ∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝60°+x； 物体被吊起后， ∵机械臂AB的位置不变，∠CBD＝2∠ABD，∠CBD+∠ABD＝120°， ∴∠CBD＝2∠ABD＝80°， ∵∠BDC增大了10°， ∴∠BDC＝x+10°， ∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝80°+x+10°＝90°+x， ∴（90°+x）﹣（60°+x）＝30°， ∴∠DCE的变化情况为增大30°． 故选：C． 8.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，若∠BCA＝60°，则∠B+∠E的值是（　　） A．59° B．60° C．61° D．62° 【解答】解：∵∠BCA＝60°． ∴∠ACD＝180°﹣∠BCA＝180°﹣60°＝120°． ∵CE平分∠ACD， ∴， ∵∠ECD是△BCE的外角． ∴∠B+∠E＝∠ECD＝60°． 所以∠B+∠E的值为60°． 故选：B． 9.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（　　） A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60° 【解答】解：反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°， 故选：D． 10.如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90° ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F， ①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C， ②正确； ③∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， ∴∠F（∠BAC﹣∠C）； ③正确； ④∵∠AEB＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD＝∠FEB， ∴∠BGH＝∠ABE+∠C， ④正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：　 　 ，该逆命题是 　　 命题（填“真”或“假”）． 【解答】解：“平行四边形的对边相等”的逆命题是：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，它是真命题． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真． 12.一只皮箱的密码是一个三位数．小光说：“它是843”；小明说：“它是247”；小亮说：“它是103”；已知每人都只猜对了位置不同的一个数字．这只皮箱的密码是 　 　 ． 【解答】解：∵三个人说出的数中，3和4都有重复，且位置相同， ∴他们猜对的数字不可能是3和4，可以排除这两个数， ∴小光猜对的数字是8， ∵8在百位上， ∴1和2可以排除， ∴小明猜对了个位上的7，小亮猜对了十位上的0， ∴这个三位数密码是807， 故答案为：807． 13.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 【解答】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC∠ABC，∠A'CB∠ACB， ∵∠BA'C＝115°， ∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣115°＝65°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A， ∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'， ∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×50°＝100°， 故答案为：100°． 14.在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，故①正确， ∵CD平分∠ACF， ∴∠DCF∠ACF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D， ∴∠D∠A，故②正确； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A， ∵∠E+∠EBC++BCE＝180°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，故③错误； ∵∠DCF＝∠DBC+∠D， ∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确， 综上正确的有：①②④． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F． ∵DE∥AC，AB∥EF， ∴∠1＝ 　 　 ，∠3＝ 　 　 ∵AB∥EF， ∴∠4＝ 　 　 （ 　 　 ） ∵DE∥AC， ∴∠4＝ 　 　 （ 　 　 ） ∴∠2＝ 　 　 ．（ 　 　 ） ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝ 　 　 ． 【解答】解：在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F． ∵DE∥AC，AB∥EF， ∴∠1＝∠C，∠3＝∠B ∵AB∥EF， ∴∠4＝∠A（两直线平行内错角相等） ∵DE∥AC， ∴∠4＝∠2（两直线平行内错角相等　） ∴∠2＝∠A（等量代换）． ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°． 故答案为：∠C，∠B，∠A，∠2，两直线平行内错角相等，两直线平行，∠2，两直线平行内错角相等∠A，等量代换，180°． 16.如图，直角三角形ABC中，∠B＝30°，CE平分∠ACB，∠EAD＝2∠CAF．求证：CE∥FD． 【解答】证明：∵△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BCA＝60°， 又∵CE平分∠ACB， ∴∠ECA＝30°， ∵∠EAD＝2∠CAF且∠CAB＝90° ∴∠CAF＝30°， ∴∠ECA＝∠CAF， ∴CE∥FD． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． （1）请写出该命题的逆命题； （2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明；如果是假命题，请举反例画图说明． 【解答】解：（1）逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线平行； （2）（1）中的命题是真命题， 已知：如图，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，EG⊥FG， 求证：AB∥CD， 证明：∵EG⊥FG， ∴∠G＝90°， ∴∠EFG+∠FEG＝180°﹣90°＝90°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG， ∴∠BEF+∠EFD＝2（∠EFG+∠FEG）＝180°， ∴AB∥CD． 18.如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝32°，∠E＝36°，求∠BAC的度数； （2）试猜想∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【解答】解：（1）由条件可知∠ECD＝∠B+∠E＝32°+36°＝68°， ∵EC平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝68°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝68°+36°＝104°； （2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由如下： 由条件可知∠ACE＝∠ECD， 又∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝∠ECD+∠E ＝∠B+∠E+∠E ＝∠B+2∠E， 即∠BAC＝∠B+2∠E． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 【解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， 由条件可知∠2＝∠CGD， ∴CE∥BF， ∴∠C＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠BFD， ∴AB∥CD； 选择①③为题设，②为结论， 由条件可知∠2＝∠CGD， ∴CE∥BF， ∴∠C＝∠BFD， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∴∠B＝∠C； 选择②③为题设，①为结论， 由平行线性质可知∠B＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠C＝∠BFD， ∴CE∥BF， ∴∠2＝∠CGD， 又∵∠1＝∠CGD， ∴∠1＝∠2． 20.五年级有4个班，每个班有两个班长，每次召开班长会议时各班派一名班长参加，参加第一次会议的是A，B，C，D；参加第二次会议的是E，B，F，D；参加第三次会议的是A，E，B，G；而H三次会议都没参加．请问每个班的两位班长各是谁？ 【解答】解：因为B参加了三次，而H一次都没有参加， 所以B和H一定同班， 因为每次开会一个班只有一个班长参加，根据第一次会议可以判断出A、C不同班、A、D不同班， 所以A只能与E、F、G同班， 根据第三次会议可以判断出A与E、G不同班， 所以A与F一班； 剩下的C、D、E、G、中，根据第一次会议看出C、D不同班，第二次会议看出D、E不同班，第三次会议看出E、G不同班， 所以C与E一个班，D与G一个班． 综上所述，班长同班的情况是：B和H，A和F，C和E，D和G． 六、（本题满分12分） 21.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”． 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）． （1）∠ABO的度数为　 　 °，△AOB　 　 （填“是”或“不是”）灵动三角形； （2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”； （3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数． 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∵∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB为“灵动三角形”， 故答案为：30；是； （2）∵AB⊥OM， ∴∠BAO＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠OAC＝∠BAO﹣∠BAC＝30°， ∵∠MON＝60°， ∴∠ACO＝180°﹣∠OAC﹣∠MON＝90°， ∴∠ACO＝3∠OAC， ∴△AOC为“灵动三角形”； （3）设∠OAC＝x°则∠BAC＝90﹣x，∠ACB＝60+x，∠ABC＝30° ∵△ABC为“灵动三角形”， Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°， ∴30＝3（90﹣x）， ∴x＝80； Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时， ∴30＝3（60+x）∴x＝﹣50 （舍去） ∴此种情况不存在； Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时， ∴60+x＝3（90﹣x）， ∴x＝52.5°， Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时， ∴60+x＝90°， ∴x＝30°； Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时， ∴90﹣x＝90°， ∴x＝0°（舍去）； Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时， ∴90﹣x＝3（60+x）， ∴x＝﹣22.5（舍去）， ∴此种情况不存在， ∴综上所述：∠OAC＝80°或52.5°或30°． 七、（本题满分12分） 22.（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB． 同理可得，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）①解：由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 又∵∠B＝36°，∠D＝16°， ∴∠P． ②∠P，证明如下： 由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 八、（本题满分14分） 23.【问题再现】 （1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝50°，则∠P＝　115　 度； 【问题推广】 （2）如图②，在△ABC中，∠BAC的平分线与△ABC的外角∠CBM的平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数； （3）如图③，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠，使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC＝　110　 度． 【解答】解：【问题再现】 （1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P， ∴， ∴65°， 在△BCP中，∠BCP+∠CBP+∠P＝180°， ∴∠P＝180°﹣（∠BCP+∠CBP） ＝180°﹣65° ＝115°， 故答案为：115； 【问题推广】 （2）如图②， ∵∠CBM是△ABC的外角，∠ACB＝80°， ∴∠CBM＝∠BAC+∠C， 即∠CBM﹣∠BAC＝80°， ∵∠MBP是△ABP的外角， ∴∠MBP＝∠BAP+∠P， 即：∠MBC∠BAC+∠P， ∴（∠CBM﹣∠BAC）＝∠P， ∴∠P40°， ∵BH⊥AP， ∴∠BHP＝90°， 在Rt△BHP中，∠PBH+∠P＝90°， ∴∠PBH＝90°﹣∠P＝50°； （3）如图③， ∵将△ABC沿DE折叠，使得点A与点P重合， ∴， ∵∠AEP+∠1＝180°，∠ADP+∠2＝180°， ∴∠AEP+∠ADP+∠1+∠2＝360°，且∠1+∠2＝80°， ∴∠AEP+∠ADP＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣80°＝280°， ∴， ∴在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE）＝180°﹣140°＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°， ∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点P， ∴2∠PBC+2∠PCB＝140°， 即：∠PBC+∠PCB＝70°， ∴在△PBC中，∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝110°． 故答案为：110． 学科网（北京）股份有限公司 $