第5节 空间直线、平面的平行 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第五节 空间直线、平面的平行 ▶▷ 核心基础导学 ◁◀ 1 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:平行线的传递性 基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c. ▍知识点2:等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ［对应练习:基础1、基础2］ ▍知识点3:直线和平面平行的判定与性质 判定定理 性质定理 自然语言 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 一条直线和一个平面平行,则过这直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 图形语言 符号语言 注意: （1）用该定理判断直线a与平面平行时,必须具备三个条件: ①直线a在平面外,即; ②直线b在平面内,即; ③直线a,b平行,即a∥b. 这三个条件缺一不可,缺少其中任何一个,结论就不一定成立. （2）性质定理可看作直线与直线平行的判定定理,用该定理判断直线a与b平行时,必须具备三个条件:①直线a和平面平行,即a∥; ②平面和相交,即; ③直线a在平面内,即.三个条件缺一不可,在应用这个定理时,要防止出现“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内一切直线”的错误. ［对应练习:基础3、题型1—题型3］ ▍知识点4:平面和平面平行的判定与性质 判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 推论 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线, 那么这两个平面平行. 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 其他性质: （1）如果两个平面平行, 则其中一个平面内的任意直线都平行另一个平面. （2）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （3）两条直线被三个平面所截,截得的对应线段成比例. （4）如果两个平面分别平行于三个平面,那么这两个平面相互平行. 注意:（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的. （2）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理. （3）已知两个平面平行,虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面,但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线,但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）. ［对应练习:基础4、题型4—题型6］ ▶练基础 基本事实4的应用 1 【典例▪1】已知三条不同的直线l,m,n,且,则“”是“”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【典例▪2】空间四边形中,,,, ,分别是边,,, 的中点,顺次连接各边中点,,,,所得四边形的形状是（    ） A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 【变式▪3】如图,在空间四面体中,、分别是、的中点,、分别是、上的点,且,.求证:、、、四点共面. 【变式▪4】如图,P是△ABC所在平面外一点,D, E分别是△PAB和△PBC的重心.求证:D,E,A,C四点共面且. ▶练基础 等角定理 2 【典例▪5】若,且,与方向相同,则下列结论正确的有（    ） A.且方向相同 B.,方向可能不同 C.与不平行 D.与不一定平行 【练习▪6】已知,,,则_________. 【练习▪7】如图,在正方体中,E,F, ,分别为棱AD,AB,,的中点.求证: . 【练习▪8】（2016·全国高一作业）如图所示,和的对应顶点的连线,,交于同一点O,且. （1）证明:,,. （2）求的值. ▶练基础 线面平行判定定理的理解 3 【典例▪9】设表示空间的两条直线,表示平面,给出下列结论: ①若且,则; ②若且,则; ③若且,则; ④若且,则. 其中不正确的个数是（    ） A.1 B.2个 C.3个 D.4个 【练习▪10】已知直线和平面,则“”是“”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【练习▪11】已知直线和平面,且,则“直线直线”是“直线平面”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【练习▪12】下列命题中,正确命题的个数是（    ） ①如果,是两条平行直线,那么平行于经过的任何一个平面; ②若直线和平面满足,那么与平面内的任何一条直线平行; ③若直线,满足,,则; ④若直线,和平面满足,,,那么; ⑤如果平面的同侧有两点,到平面的距离相等,则. A.0 B.1 C.2 D.3 ▶练基础 面面平行判定定理的理解 4 【典例▪13】设,为两个平面,则的充要条件是（    ） A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.,平行于同一条直线 D.以上答案都不对 【典例▪14】下列条件能推出平面平面的是（    ） A.存在一条直线,, B.存在一条直线, , C.存在两条平行直线,,,,, D.存在两条异面直线,,,,, 【练习▪15】已知两个不同的平面,两条不同的直线,,,则“,”是“”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【练习▪16】设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（    ） A.若,,则 B.若,,,则 C.若,,,则 D.若,则 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 线面平行的判定 1 ▷方法1:中位线法结合判定定理 【典例▪17】已知长方体中,是矩形的中心,是矩形的中心.证明:平面. 【典例▪18】如图,正四棱锥, E为中点.求证:平面. 【变式▪19】（2022·北京海淀高一练习）如图,在正方体中,是的中点,是的中点,求证:平面. 【变式▪20】（2023·哈尔滨高三练习）如图,在三棱柱中,点D是AB的中点,求证:∥平面. 【练习▪21】如图,在直三棱柱中,点是的中点,证明:平面; 【练习▪22】如图,四棱锥中,为梯形, ,AB=2CD,设平面PAD与PBC的交线为l,PA,PB的中点分别为E,F,证明:平面DEF. ▷方法2:平行四边形法结合判定定理 【典例▪23】如图,边长是2的正方体中,E、F分别为AB、的中点.求证:平面. 【变式▪24】（2024·海南高二）直三棱柱中,为的中点,为的中点,求证:平面. 【练习▪25】如图,正方体中,点N在BD上,点M在上,且,求证:平面. 【练习▪26】如图,在四面体ABCD中,平面BCD,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且.求证:平面BCD. ▷方法3:线段成比例结合判定定理 【典例▪27】如图,在五面体中,,底面ABCD是菱形,且,点M是AB的中点, .求证:平面EMC. 【变式▪28】（2024·全国）如图,在三棱锥中,点是的重心,点是上的点,且满足,求证:平面. 【练习▪29】（2024·内蒙古高三上期末）如图,在四棱锥中,,,为棱上的一点,且,证明:平面. 【练习▪30】如图,在正方体中,点是的中点,,设直线、相交于点.求证:∥平面. ▍练题型 线面平行的性质的应用 2 ▷角度1:利用线面平行证明线线平行 1.运用线面平行的性质定理证线线平行时,要能够从图形中熟练地确定和直线平行的平面,再寻找过此直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. 2.当观察图形发现不易直接用线面平行性质定理时,要善于利用平行的传递性进行转化,通过第三条直线并运用线面平行性质定理来证明. 【典例▪31】四面体被一平面所截,截面是一个平行四边形.求证:平面. 【变式▪32】如图,两异面直线与平面都平行,且点分别在线段,上.求证:四边形是平行四边形. 【练习▪33】（2023·全国高三专题）如图,在三棱锥中,分别为的中点,平面与底面的交线为.证明:平面.    【练习▪34】如图,三棱锥中,分别是中点,平面平面.求证:. ▷角度2:线面平行性质有关的计算问题 利用性质计算需明确的三个关键点: （1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系; （2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系; （3）利用所得关系计算求值. 【典例▪35】如图所示,直线平面,点A在另一侧,点B,C,,线段AB, AC,AD分别交于点E,F,G.若BD＝4,CF＝4,AF＝5,则EG的长为_________. 【练习▪36】（2024·全国高一专题）如图,是棱长为正方体的棱上的一点,且平面,则线段的长为_________. 【练习▪37】正四棱锥的底面边长为1,侧棱长为2,点,分别在和上,且, 平面,则线段的长为 . ▍练题型 确定线面平行的点的位置 3 【典例▪38】如图,四边形为正方形,为等腰直角三角形,,是线段的中点,在直线上是否存在一点,使得平面？若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由. 【练习▪39】如图,已知四棱锥的底面是平行四边形,交于点,为中点,在上,,平面,求的值. 【练习▪40】如图,在三棱柱中,点, 分别是棱,上的点,点是棱上的动点,,当点在什么位置时,平面？ 【练习▪41】如图,四棱锥中,底面为菱形,,Q为的中点,点M在侧棱上且.若平面,试确定实数t的值.    【练习▪42】如图所示,在平行四边形中,是上靠近点的三等分点,将沿折起至.若在线段上,当为何位置时,平面. ▍练题型 面面平行的判定 4 面面平行判定的方法: （1）面面平行的定义. （2）面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行. （3）两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行. 【典例▪43】如图,在四棱锥V－ABCD中,底面ABCD是矩形,E、F、G分别为VA、VB、BC的中点,求证:平面平面VCD. 【变式▪44】如图所示,为所在平面外一点, 、、分别为、、的重心.求证:平面平面. 【练习▪45】如图,正方体中,、、、分别是相应棱的中点,证明:平面平面. 【练习▪46】如图,三棱柱中,分别为棱的中点.求证:平面平面. 【练习▪47】如图,在多面体中,四边形是正方形,,,M是的中点,求证:平面平面. ▍练题型 面面平行性质的应用 5 ▷角度1:利用面面平行证明线面平行 【典例▪48】（2024·湖南长沙开学考试）如图,在四棱锥中,为矩形,分别是, 的中点,求证:平面. 【练习▪49】如图,直三棱柱中,,分别是和的中点,求证:平面. 【练习▪50】已知正四棱锥,点,分别在线段,上,且,,为的中点,求证:平面. 【练习▪51】如图所示,两条异面直线与两平行平面α,β分别交于点B,A和D,C,点M,N分别是的中点,求证:平面α.    ▷角度2:利用面面平行证明线线平行 利用面面平行证明线线平行步骤: （1）找面面:确定（或寻找）两个互相平行的平面 （2）找交面:确定（或寻找）与两个平行平面相交的平面 （3）定交线:确定交线 （4）定结论:由定理得出结论 【典例▪52】如图,在四棱柱中,底面为梯形,,平面与交于点,求证:. 【练习▪53】（2023·高一专题）如图,四边形为矩形,且,平面与棱交于点G,求证:. 【练习▪54】如图,正方体,为底面的中心,,分别为,的中点,平面与底面交于直线,求证:. 【练习▪55】（2023·河北）如图,四棱锥, ,,,平面平面,平面平面,点为线段中点,求证:. ▷角度3:面面平行有关的计算 由平面几何中的平行线分线段成比例定理及其推论,立体几何中的“夹在两个平行平面间的平行线段长度相等”“两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例”,我们可以解决立体几何中的计算问题. 【典例▪56】已知平面,两条直线l,m分别与平面相交于和,若, ,则=（    ） A.10 B.15 C.18 D.21 【练习▪57】（2022·全国高一课时）已知平面平面,点A,,点B,,直线交于点S.已知. （1）若点S在平面之间,则 ; （2）若点S不在平面之间,则 . ▍练题型 确定面面平行的点的位置 6 【典例▪58】如图,在三棱柱中,分别是棱的中点.在棱上找一点,使得平面平面,并证明你的结论. 【练习▪59】如图,正方体中,为底面的中心,是的中点,设是上的点,当点在什么位置时,平面平面?    【练习▪60】如图1,梯形中,,, ,,,线段的垂直平分线与交于点E,与交于点F,将四边形沿折起,使C,D分别到点G,H的位置,得到几何体,如图2所示,判断线段上是否存在点P,使得平面平面,若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由. 【练习▪61】（2023·全国高三专题练习）如图,在直棱柱中,点E,F分别为,BC的中点,点G是线段AF上的动点.确定点G的位置,使得平面平面,并给予证明. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.设是两条相交直线, 是两个互相平行的平面,且,则“”是“”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知正方体的棱长为1,点是平面的中心,点是平面的对角线上一点,且平面,则线段的长为（    ） A. B. C. D. 3.在底面为等边三角形的三棱柱中,已知平面ABC,,,D是棱的中点,M是四边形内的动点,若平面ABD,则线段长度的最小值为（    ） A. B.2 C. D. 4.正三棱锥的各棱长均为2,D为的中点,M为的中点,E为上一点,且,平面交于点Q,则截面的面积为（    ）    A. B. C. D. 二、多选题 5.如图所示,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列满足平面ABC的是（    ） A. B. C. D. 6.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中（ ） A.平面AEND; B.平面ABFE; C.平面平面AFN; D.平面平面 三、填空题 7.如图,已知,,,四点不共面,且AB∥α, CD∥α,α,,, ,则四边形的形状是 . 8.如图,在棱长为1的正方体中,设分别是线段、上的动点,若平面,则线段长的最小值为 . 四、解答题 9.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M､N分别是AB､PC的中点 （1）求证:MN平面PAD; （2）在PB上确定一个点Q,使平面MNQ平面PAD. 10.如图,在正四面体中,,E,F,R分别是,,的中点,取,的中点M,N,Q为平面内一点.     （1）求证:平面平面; （2）若平面,求线段的最小值. 11.如图所示,正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13, M为PA上的点,且PM∶MA=5∶8. （1）在线段BD上是否存在一点N,使直线MN平面PBC？如果存在,求出BN∶ND的值,如果不存在,请说明理由; （2）假设存在满足条件（1）的N点,求线段MN的长. 12.如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形. （1）求证:AB∥平面EFGH; （2）若AB＝4,CD＝6,求四边形EFGH周长的取值范围. $第五节空间直线、平面的平行 核心基础导学 【1】c 解析：若m∥n,又1什m,则1∥n,故充分性成立， 反之，若1∥n,又1∥m,则m∥n,故必要性成立. 故“m∥n”是“l∥n的充要条件.故选：C. 【2】D 解析：如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC,BD可得一个三棱锥， 将四个中点连接，得到四边形EFG丑 由中位线的性质及基本性质4知，EH∥FG,EF∥HG: ∴.四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD, Hi0=AC=号BD=时， ∴，四边形EFGH是菱形.故选：D 【3】证明见解析 解析：连接EF,GH,因为E、F分别是AB、AD的中点， 所以EFBD, 又0、H分别是8c、CD上的点，且c0=Bc,c阳=pc E、F、G、H四点共面 【4】证明见解析 解析：证明：如图，连接PD,PE并延长，分别交AB,BC于点M,W 因为D,E分别是△PAB,△PBC的重心，所以M,N分别是AB,BC的中点， 连接M则MN∥AC且MW=2AC 在△PMW中，因为PD=E=2 PM PN 3 所以DE/N且DE=号a 所DEc且D=号x4C=4C 21 则D,E,A,C四点共面 【5】D 解析：如图 B1 B 0 01 A01 B 当∠AOB=∠A,OB,时，且QA∥OA,OA与OA的方向相同，OB与OB 是不一定平行.故选：D 【6】40°或140° 解析：利用等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那 么这两个角相等或互补， 故AB∥A'B',ACA'C' 则有∠BA'C'=∠BAC或∠BA'C'+∠BAC=180° 又∠B4C=40°，所以∠BAC'=40°或140°，故答案为：40°或140 【7】见解析 解析：证明：如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，取AB的中点M,连接 BM.FM 由题意得8F=4M-AB 又BF∥AM ∴.四边形ABM为平行四边形 ∴.AF∥BM 又耳，M分别为CD,AB,的中点，则FM∥CB,且FM=CB, 而C,B∥BC且C,B,=BC ∴.FM∥BC且EM=BC ∴.四边形EBC为平行四边形 .∴BM//F.C 又BM∥A,F .AF∥FC 同理可得AE∥CE, ∴.∠E4,F与∠E,CF的两边分别平行，且方向都相反 ∴，∠EAF=∠ECF. 【】()证明见解析：(2)号 解析：(1)因为A4'与BB'相交于点O,所以A4'与BB'共面， 在△ABO和△A'B'O中，可得∠AOB=∠A'OB', 烟为品 ·,所以△ABO-△A'B'O, 所以、2 48=,∠BA0=∠Bao, 所以ABMA'B' 同理ACA'C',BCIB'C (2)因为ABA'B',ACMA'C',且AB和A'B',AC和A'C'的方向相反， ,∠BAC=∠BAC 同理∠ABC=∠A'B'C',因此△ABC-△A'B'C 又铝品号所以号 【9】D 解析：若a1b且bca,则a1la或aca,故命题错误： 若a/1a且bc&,则a/仍或a,b为异面直线，故命题错误： 若a/仍且a/la,则b/1a或bca,故命题错误： 若a/1a且b1/a,则a/仍或a,b相交或异面，故命题错误 故选：D 【10】A 解析：因为b∥a,则存在cca使得b∥c且bcu 若a∥b且a文a,则a/e, 又a正a且cca,所以a∥a,充分性成立： 设B11u,bCB,aCB,anb=P,则有a∥u,但a,b不平行，即必要性不 成立.故选：A 【11】D 解析：根据题意可得，如下图所示： 若“直线a∥直线b”,则直线a可以在平面内：即充分不成立： 若“直线a∥平面a”,如下图所示： 直线a和直线b可以异面，即必要性不成立： 所以可知“直线a∥直线b”是“直线a∥平面u”的既不充分也不必要 条件，故选：D 【12】C 解析：如图，在正方体ACBD-A'B'CD'中，AA/1BB,AA'在过BB的 平面ABBA内，故命题①不正确： AA/1平面BCCB,BCC平面BCCB',但AA'不平行于BC,故命题 ②不正确： AA/1平面BCCB,AD11平面BCC'B',但A4'与A'D相交，所以③ 不正确： ④中，假设直线b与&相交，因为a/b,所以a与a相交，这与a/1a矛 盾，故b11a,即④正确： ⑤显然正确.故答案为C.故选：C 【13】B 解析：A选项，若这些无数条直线均平行，此时无法推出心∥B,A错误： B选项，由面面平行的判定定理得到B正确，故D错误. C选项，如图，心，B平行于同一条直线m,但，B不平行，C错误： B 故选：B 【14】D 解析：A如图所示： a 存在一条直线a,a11a,a/1p,但平面a与平面B相交，故错误： B.如图所示： B 存在一条直线a,aCa,a1IP,但平面a与平面P相交，故错误： C.如图所示： a a 6 存在两条平行直线a,b,ac,bCB,a/1B,b∥a,但平面a与平面 阝相交，故错误： D.如图所示： a a h B下 在平面B内过b上一点P作cla,则clla,又bla,且b∩e=P,所以 ap,故正确：故选：D 【15】B 解析：因为aca,bca, 当a11p,b//B时，若a1仍，则a,B有可能相交，故充分性不成立： 当a11p时，由于aca,bca,所以a11B,b/1B,故必要性成立： 所以“a/1P,b/1B”是“a11P的必要不充分条件.故选：B. 【16】D 解析：A选项，如图1，满足a11a,bca,但a,b不平行，A错误 b 图1 B错误，如图2，满足a11a,b//P,LI1P,但a,b不平行，B错误： 图2 C选项，如图3，满足aCa,bCP,a/b,但a,B不平行，C错误： 图3 D选项，若aca,bCa,a/B,由线面平行的判断定理可得a/la,D正确 故选：D 重点题型专练 【17】证明见详解 D. 解析： 证明：连结C,D、CB、BD 由已知可得，点M是CB的中点，点W是CD的中点， 所以，MW是△CDB的中位线， 所以NHBD 又NE平面ABCD,BDC平面ABCD,所以N∥平面ABCD 【18】证明见解析： 解析：连接AC,交BD于点O,连接OE 因为四棱锥S-ABCD为正四棱锥， 所以四边形ABCD为正方形，即O为AC中点， 因为E为SC中点，所以OE为aS4C的中位线，所以OE1/SA, 因为OEC平面BDE,S4t平面BDE,SA∥平面BDE. 【19】证明见解析 解析：(1) 依题意，连接AC,AD,CD 由题意可知MW是△AD,C底边AC上的中位线， :MN //AC ACC平面ABCD,MWC平面ABCD, .MN//平面ABCD: 【20】证明见解析： 解析：连接BC,交B,C于点E,连接ED ,ABC-A,B,C,是三棱柱，∴.四边形BCCB,为平行四边形，∴.E是BC 的中点. ,点D是AB的中点，.ED是△ABC,的中位线，.ED∥AC, 又EDC平面CDB,AC,文平面CDB,.AC∥平面CDB 【21】证明见解析 解析：连接AB交AB于点F,连接DF, 在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB∥A,B,且AB=A,B,, 所以四边形ABB,A是平行四边形， 所以F是AB,的中点， 又因为点D是AC的中点， 所以DF∥B,C， 又DFC平面ABD,B,C丈平面ABD,所以B,C∥平面ABD 【22】证明见解析 解析：证明：延长AD,BC交于点M,因为CD∥AB,AB=2CD, 所以D为AM的中点，因为PA的中点为E,所以DE∥PM, 因为DEC平面DER,PM文平面DER,所以PM/平面DEF 又P,M∈平面PAD,P,M∈平面PBC, 所以平面PADO平面PBC一PM,即直线I为直线PM. 所以111平面DER 【23】证明见解析 解析：如图，连结ADOAD=G,连结GF 因为在正方体ABCD-AB,CD,中，面ADD4是正方形，所以 AG⊥AD,G是AD的中点， 又因为F是4C的中点，所以GF1CD且GF=,CD=1, 因为E是48的中点，所以AB=A8=L,又A81CD,所以 GF //AE,GF=AE 所以四边形AEFG是平行四边形，故EF1AG, 又EF文面AAD,D,AGC面AAD,D,所以EF∥平面AAD,D: D 【24】证明见解析 解析：如图： 连接A,B与AB,交于点O,连接EO,DO 又因为E为4码，的中点，所以0114,80=4， 因为D为cC,的中点所以cD/4,CD=4, 故EO/1CD,EO=C,D,则四边形EODC是平行四边形，故C,E/DO, 又CE工平面AB,D,DOC平面AB,D,所以C,E/1平面AB,D 【25】证明见解析 解析：如图所示，作MEBC,交BB,于点E,作WFAD,交AB于点R,连 接ER, 州Ec懂4，且答装品器 :在正方体ABCD-A,B,CD中，BC=BD,CM=DN .'BM=NB BC BD AD BC=AD,∴ME=WF 又MEI∥BC∥ADIINF, ∴.四边形NFE为平行四边形，∴.MNIIEF :MWZ平面ABB,A,EFc平面ABBA, ∴.N∥平面ABB,A 【26】证明见解析 解析：证明：如图所示，取BD中点O,且P是BM中点， ∴POMD且PO=2MD, 取CD的四等分点H,使DH=3CH,且AQ=3OC, .PO/QH且Po=QH, ∴，四边形OPOH为平行四边形， ∴.PQllOH,PQ在平面BCD外，且OHC平面BCD, .PQ/平面BCD. 【27】证明见解析 解析：证明：连接BD,交MC于F,连接EF,在菱形ABCD中， 三角形BMP与三角形FCD相似，且相似比为1：2所以D三D BF 1 PE 故BP∥EF,而BP是平面EMC外的直线，EFC平面EMC,所以BP∥ 平面EMC. M 【28】证明见解析： 解析：在三棱锥A-BCD中，连接DG,延长DG交AB于点E,连接CE, 由点G是△ABD的重心，得DG=2GE,而MD=2CM,即 DG =D4=2,则GM11EC, GE MC 又GM在平面ABC,ECC平面ABC,所以GM/平面ABC 【29】证明见解析 解析：连接AC交DB于点O,连接OP. 在底面ABCD中，因为AB/1CD,AB=2CD, 由aA8OaCD0,可得A0=A CO CD =2, 因为AP=2PS,即42=2， PS 所以在△CAS中， AO AP OC PS =2,故OP11CS 因为OPC平面DPB,SC丈平面DPB,所以SC/平面DPB: 【30】证明见解析 解析：连接BD,AD, 因为在正方体ABCD-A,B,C,D,中，BB,∥DD, 所以∠EBG=∠DD,G,∠DDG=∠BEG 所以△BEG∽△DDG, 所以器器 因为点E是BB,的中点，BB,=DD, 所似品器片 因为AF=2FB 所器器片 所以FG∥AD, 因为G文平面AAD,D,AD,C平面AAD,D, 所以GF∥平面AA,D,D D 【31】证明见解析 解析：证明：因为截面EFG班是一个平行四边形，所以EH∥FG 因为EHC平面ACD,FGE平面ACD,所以FG∥平面ACD 因为FGC平面BCD,平面ACD∩平面BCD=CD,所以CDllFG 因为FGC平面EFGH,平面EFCH,所以CDM平面EFGH 【32】见解析 解析：证明：：AB∥平面WPQ,且过AB的平面ABC交平面MWP9于 N,.AB∥MN 又过AB的平面ABD交平面PQ于P2,.AB∥P9 .W∥PQ同理，可证NPIIMO ∴.四边形PQ是平行四边形 【33】证明见解析 解析：因为E,F分别为P℃，PB的中点，所以，EF11BC 又BCC平面ABC,EF位平面ABC, 所以EF//平面ABC 又EFC平面AEF,平面AEF与底面ABC的交线为I, 所以EF11儿，从而，111BC 而BCC平面PBC,I:平面PBC,所以1/平面PBC 【34】证明见解析 解析：因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，所以 EF II AB,DC∥AB,所以EF/1DC. 又EF丈平面PCD,DCC平面PCD,所以EF11平面PCD. 因为EFc平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF/1GH 又EF/1AB,所以AB/1GH 【3s19 解析：因为AEa,所以点A与直线a可以确定一个平面，即平面ABD 因为a/Ia,且u∩平面ABD=EG,BDc平面ABD, 所以a1/EG,即BD11aG,所以4-C AC BD 于是G=AF,8D=5x420 AC5+49 【36】5 解析：连接BC,交B,C于点O,连接EO,则O为BC,的中点 D BD∥平面B,CE,BD,c平面B,CE,平面BDC,O平面B,CE=EO, 80Bn,又0为BC中点，E为C0中点，CB=号 则在aCcs中，cg+cF-付- 【37】6 解析：如图所示：连接并延长CP与DA交于点E,连接SE,H为AD中 点，连接SH, D R BP:PD=1:2,PC:EP=1:2,ED=2BC=2, PQ∥平面SAD,平面ESC∩平面S4D=ES,PQC平面ESC,故 PQ∥ES, AD 故P=时，时AD,故o∠nA=24 1 SD 4 ES=DE+DS-2DE.DSC0sL8DA=4+4-2x2x2x1=6,ES=6 4 故P阳=5.故答案为：6 【38】存在，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE 解析：存在点M,当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE,利用 如下： 如图，取BE的中点W,连接CW,W, 则MNIIAB且Mw=二AB, 2 又PCAB且PC=AB,所以MNIIPC且MW=PC 所以四边形WCP为平行四边形， 所以PMI/CN 因为PMt平面BCE,CNC平面BCE,所以PM∥平面BCE 【39】2=3 解析：设AO交BE于点G,连接FG,如图所示： 、 O,日分别是BD,AD的中点△ABG-△GBC,则C=} 则40、1 AC 3 PCII平面BEF,PCC面PAC,平面BEF∩平面PAC=GF, 故o1C,故架铝故3 【40】当M是AC的中点时，MB∥平面AEF 解析：证明：过F,B,M作平面FBMW交AE于点N,连接MW,WF 易知BF∥平面A4,CC,又BFC平面FBMW 平面FBMN∩平面AA,CC=MW,所以BF∥MN 又B∥平面AEF,MBc平面FBMW, 平面FBNr∩平面AEF=W,所以MB∥FN， 所以四边形BFM是平行四边形， 所以N=BF=1 而EC∥FB,EC=2FB=2, 所以w∥C,aw=8C。 故W是△ACE的中位线. 所以当M是AC的中点时，B∥平面AEF. 【41月 解析：如图，连接BD,AC,AC交BQ于点N,交BD于点O,连接MW， 易知O为BD的中点. 因为BQ,AO分别为正三角形ABD的边AD,BD上的中线， 所以N为正三角形ABD的中心. 设菱形ABCD的边长为a, a-3 ,4C=2A0=2x a=√3a 因为PA1/平面MQB,PAc平面PAC,平面PAC∩平面MQB=W 所以PA/IMN 所以M=AW= a 1 PCAC√3a3 即M=PC,所以实数t的值为号 【42】当L是DF上靠近点D的三等分点时，CZ∥平面AEF 解析：当L是DF上靠近点D的三等分点时，CL1/平面AEF.理由如 下： 延长AE,DC交于点M,连接FM CM CE 易知△ABE~aMCE,∴， =2 AB BE 48=00,0-1 当L是DF上靠近点D的三等分点时 CD DL ,∴.LC/1FM, ,FMC平面AEF,LCt平面AEF,,LC/1平面AEF 【43】证明见详解 解析：如图所示： 因为E、F、G分别为A、VB、BC的中点，所以EF∥AB,且FG∥AC 底面ABCD是矩形，所以EF∥DC,又因为EF:平面VCD,DCC平 面CD 所以EF∥平面VCD,同理：FG∥平面CD,又因为FG∩EF=F FGC平面EFG,EFC平面EFG,所以平面EFG∥平面VCD 【44】证明见解析 解析：如图 记AC,CD,AD的中点分别为E,F,H:连接EF,FH,HE:连接 BE,BF,BH 因为M,G分别为△ABC、△BCD的重心， 所器品号所以g1E 因为MG￠平面ACD,EFC平面ACD 所以MG//平面ACD 同理GN/平面ACD 又MG∩GW=G,MG,GWc平面MvG 所以平面MWG1/平面ACD 【45】证明见解析 解析：证明：连接E,D,B,MF,由题得MWWB,D, 又BB,∥DD1,BB,=DD, 所以四边形BDDB,是平行四边形，所以BDWB,D, 所以NI/DB, WC平面EFDB,BDC平面EFDB, .MN/1平面EFDB, :在正方形AB,CD,中，M,F分别是棱AB,,D,C的中点， .MF11A,D,且MF=A,D 又A,D/1AD且AD=AD MF N AD且MF=AD ∴.四边形AMFD是平行四边形 .AM//DF 又：AME平面EFDB,DFC平面EFDB .AM11平面EFDB, :AMc平面AW,MWc平面AN,且AM∩MW=M, .平面AMN11平面EFDB 【46】证明见解析 解析：证明：连接B,C交BC,于点E,连接DE.由三棱柱ABC-AB,C 的性质可知四边形BCCB,ACCA,均为平行四边形，∴.E为B,C的中点 2-方 -R :D为AC的中点，DE为△AB,C的中位线，.DE/1AB, 又DEC平面BCD,AB文平面BC,D,∴AB,I1平面BC,D 在平行四边形ACCA中，D,D,分别为棱AC,AC的中点，则四边形 ADC,D,为平行四边形，AD,∥DC 又：DGC平面BC,D,ADC平面BC,D,∴AD/1平面BCD. ABOAD=A,AB,ADC平面ABD, .平面ABD,/1平面BCD. 【47】证明见解析 解析：因为B=D,BF1/DE,所以四边形BDEF为平行四边形，故 BD//EF, 又BDE平面CEF,EFC平面CEF,所以BD//平面CEF: 连接AC交BD于N,连接MN,因为四边形ABCD是正方形，故W为 AC中点， M是AE的中点，在△ACE中，有MW/EC,MWc平面CEF,ECc平 面CEF 所以W11平面CEF,且BDc平面BDM,WC平面 BDM,BDOMN=N, 所以平面BDM/平面CEF 【48】证明见解析 解析：如图所示：取AB的中点G,连接MG,WG G 因为M,G分别是PB,AB的中点，所以MC∥PA· 而MG位平面PAD,PAC平面PAD,故MG∥面PAD 因为N,G分别是CD,AB的中点，且ABCD为矩形，所以WG∥AD, 同理G∥面PAD 因为MG⌒G=G,MG,WGC平面MG,所以平面MG∥平面PAD 因为MNc平面NG,所以N∥平面PAD. 【49】证明见解析 解析：取BC中点D,连接WD、MD, 则有NDlB,C,MDAB,又WDt平面A,B,C,B,Cc平面AB,C,所以 ND∥平面A,B,C: 因为A,B,lAB,所以有MDA,B1,又MDt平面A,B,C,4BC平面 A,B,C,所以有MD∥平面A,B,C,又ND∩MD=D,所以平面MWD∥平 面A,B,C;Nc平面MWD,所以MWM平面A,B,C B C 【50】证明见解析 解析：在线段CD上取点F,使得CF=2DF,连接EF、BF,如图 因为P℃=4PM,E为PC的中点，所以CE=2ME,所以EF/1DM 又EF文平面DMW,DMc平面DN,所以EF/平面DMW, 在平行四边形ABCD中，因为AN=2B,CF=2DF,所以DF=NB,且 DF //NB 所以四边形DFBW是平行四边形，所以DN/1FB 又BF文平面DMW,DWC平面DMW,所以BF//平面DN 又BF,EFc平面EFB,且BEOEE=F,所以平面EFB/1平面DMW 又BFC平面EFB,所以BE1I平面DW 【51】证明见解析 解析：如图，过点A作AE11CD交L于点E,取AE的中点P,连接 MP,PN,BE,ED,AC 因为AE/ICD,所以AE,CD确定平面AEDC 则平面AEDC∩a=DE,平面AEDC∩B=AC 因为a11B,所以AC11DE 又P,N分别为AB,CD的中点， 所以PN/1DE 因为PWta,DEcu 所以PW/1a. 又M,P分别为AB,AE的中点， 所以MP/1BE,且PMtL,BECL 所以PM11u 因为PM∩PN=P,PM,PWc面PW 所以平面PMW1la 又Mc平面PN,所以N1/平面a 【52】证明见解析 解析：由四棱柱ABCD-AB,CD可知，BEAA,A4C平面 AAD,BE文平面AAD 所以BE∥平面A4,D: 又ADIIBC,ADC平面A4D,BC位平面AAD, 所以BC∥平面A4,D: 又BC∩BE=B,BEC平面BCE,BCC平面BCE: 所以平面BCE∥平面AAD, 又平面A DCEO平面BCE=EC,平面A,DCEO平面AAD=AD, 所以ECIlA,D 【53】证明见解析 解析：证明：：矩形ACFE .AE∥CF, 又AEC平面AEB,CFC平面CFD, ∴AE∥平面CFD ,AB∥CD, 又ABC平面AEB,CDC平面CFD, :AB∥平面CFD 又AEAB=A, 所以平面AEB∥平面CFD :平面ADF与棱BE交于点G,且BEC平面AEB :平面ADFO平面AEB=AG,平面ADFO平面CFD=DF,平面 AEB∥平面CFD, 故AG∥DF,得证： 【54】证明见解析 解析：如图所示， B P 连接PQ、BD, ,O为正方形ABCD的中心，，O为BD中点， 又，P为DD的中点，∴，PO为△BDD的中位线，∴.PO1IBD 又，BD,C面BQD,POc面BQD,∴.PO1I面BQD, 因为PD11OC,且PD=QC,∴.PDOC为平行四边形， ,Pe11DC,且P9=DC, 又：DC11AB,且DC=AB,.PQI1AB,且PQ=AB ∴.ABQP为平行四边形，所以AP11BQ. 又，'BOC面BQD,APt面BQD,.API/面BQD 又，PO11面BQD,且AP∩PO=P,∴面APO11面BQD 又，面APO∩面ABCD=AO,面BQD∩面ABCD=1, .A011儿. 【55】证明见解析 解析：取AC中点F,连接MF,BF, AB=AD=√5，CD=CB=1,AC=2, △ABC≌△ADC且 AC2=AB2+BC2=AD2+DC2,:AB⊥BC,AD⊥DC, .∠ACB=∠ACD=60°， :F为AC中点，.△BFC为正三角形，即 ∠BFC=∠ACD=60°，.BFIICD, BFt平面CDE,CDC平面CDE,.BF∥平面CDE: 在△ACE中，MF为中位线，.MFIIEC 又MFt平面CDE,ECc平面CDE,∴.MF∥平面CDE 又BF∩MF=F,BF,MFC平面BMF,:平面BMF∥平面CDE 又BMC平面BMF,.BMI∥平面CDE 又平面ABEn平面CDE=L,BMC平面ABE,.BMM. 【56】B 解析：如图，若AC与DF不平行，则过A作AW∥DF交B于M,交平 面y于N,连接AD,EM,FW,MB,wC .AN∥DF,所以AW,DF共面， 平面ANFD∩a=AD,平面ANFD∩B=EM,平面 ANFD∩y=FN,u11B11?, DE AM AD∥EMMW,心DF=AN 同理相交直线AN,AC确定平面AWC与平面B,y分别交于BM,CV 因此BM/ICN ANAC 所以3Dg ,AC=15, 若AC11DF,上面的M就是B,N就是C,同理可得。 故选：B. 【57】4:20 解析：(1)如图①所示， ABOCD=S,则AB,CD确定一个平面，设为y,a∩y=AC,B∩y=BD, 因为&1IP,所以AC1/BD 8D,即6℃ 则兰e 910-SG 解得SC=4」 (2)如图②所示，由第(1)问知AC1/BD 所以兰器脚号0 解得S℃=20. 故答案为：4,20. 【58】存在F为棱B,B的中点，证明见解析 解析： 存在F为棱B,B的中点，使平面DEF11平面AB,C。 证明如下：如图连接EF,DF」 因为E,F分别是棱AA,BB,的中点，所以AB,EF 因为EF位平面AB,C,AB,c平面AB,C,所以EF1/平面A,B,C 因为D,F分别是棱BC,BB,的中点，所以DFIB,C, 因为DF文平面A,B,C,B,Cc平面AB,C,所以DF//平面AB,C. 因为EF∩DF=F,EF,DFC平面DEF,所以平面DEF1/平面A,B,C, 得证 【59】证明见解析 解析：当Q为CC的中点时，平面DBQ11平面AO,理由如下： 连接PQ D 因为2为CC,的中点，P为DD,的中点，所以PO //DC,PQ=DC 又正方体ABCD-A,B,CD中，AB11DC,AB=DC,所以 PO//AB,PO=AB 则四边形PQBA为平行四边形，所以AP/1BQ 因为QBT平面PAO,PAC平面PAO,所以QB//平面PAO 因为P,O分别为DD,DB的中点，所以PO为△DBD的中位线。 所以DB/1/PO.因为DB文平面PAO,POC平面PAO, 所以D,B//平面PAO 又DBOOB=B,DB,QBC平面DBQ,所以平面D,BQ11平面PAO 【60】存在点P,点P为线段EH的中点 解析：当点P为线段EH的中点时，平面PAF∥平面BGH 证明如下：由题易知EH=4,GF=2,EH1GF,因为点P为线段EH的 中点， 所以HP=GF=2,HPIIGF,所以四边形HPFG是平行四边形，所以 HGI/PF, 因为PFC平面PAF,HG位平面PAF,所以HG∥平面PAF 连接PG,因为PEGF,PE=GF=2,所以四边形PEFG是平行四边 形 所以PG∥EF,且PG=EF,又EFAB,EF=AB,所以 PG∥AB,PG=AB, 所以四边形ABGP是平行四边形，所以PAllBG, 因为PAC平面PAF,BG文平面PAF,所以BG∥平面PAF 因为HGC平面BGH,BGC平面BGH,HGn BG=G, 所以平面PAF∥平面BGH. 【61】G为△4BC的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时， 平面ACE//平面B,CG,证明见解析 解析：证明：如图所示： 取AB中点D,连接CD交AF于G,即G为△ABC的重心（或G为线段 AF靠近F的三等分点等)时，平面AC,E/1平面B,CG 证明：连接DE. 因为在三棱柱ABC-A,B,C,中，D,E分别为AB,AB的中点， 所以DE/ICC,且DE=CC,则四边形DEC,C是平行四边形， 故EC,1IDC. 又DCC平面B,CD,EC位平面B,CD 所以EC/1平面B,CD 因为在三棱柱ABC-A,B,C,中，D,E分别是AB,A,B的中点， 则BE/1AD且B,E=AD,四边形B,EAD是平行四边形 所以EA//DB,.又DB,C平面B,CD,EA位平面B,CD， 所以EA/1平面BCD 又EAC平面ACE,ECC平面AC,E,EA EC,=E, 所以平面ACE/1平面B,CG. 综合巩固提升 1.【答案】A 解析：若，n是两条相交直线，a/1P,且n11P,m/1a,由m/1a,则存在 过直线m的平面y与a相交， 令交线为a,于是a11m,显然y与P也相交，令交线为b,则b11a,因 此b/1m, 由m,n是两条相交直线，n/1P,知m口P,否则n与阝有公共点，所以 m11B,即充分性成立： 若m,n是两条相交直线，a/1P,且n1IP,m/IP,则m/1a或者mca 即必要性不成立， 所以“m/1a”是“m/1P的充分不必要条件.故选：A 2.【答案】B 解析：连接AD,AB,则AD过点P.如图所示 ,PQ∥平面A4BB,平面ABD∩平面AABB=AB,PQC平面 AB,D PQ∥AB,DP=PA, 0分=春作T-要选B 2 3.【答案】D A 解析： 取线段AA,BB,的中点为E,F,连接CE,C,F,EF, 因为侧面ACCA为矩形，D是棱CC,的中点， 所以CEIlAD, 因为CE位平面ABD,ADC平面ABD,所以CE∥平面ABD 同理CF∥平面ABD,因为GEOGR=C,所以平面C,EF∥平面ABD, 因为M是四边形ABBA内的动点，C,M∥平面ABD, 所以点M的轨迹是线段EF, 因为AB=2,A4=4,所以C,E=C,F=2N2,EF=2, 所以线段CM长度的最小值为，-1=万，故选：D 4.【答案】D 解析：因为M,D分别为AB,BC的中点，故MDIIAC,又MDc平面 MDEQ,AC立平面MDEQ,所以AC∥平面MDEQ, 由于ACc平面PAC,平面MDEOn平面PAC=QE,故ACIIQEIIMD 又西-}元，故顶=历.在等腰梯形MD0 3 3 中，MD=1,g=4C=2 3 3 4 在△DcE中，cB=号PC 3 ,CD=1,则 D8-(合)+P-21w60号枚榜形的高为 3 9 6 6 36 故选：D. 5.【答案】BC 解析：解：对于A,如图所示，点E,F为正方体的两个顶点，则 MN /EF /AC, 所以N、M、C、A四点共面， 同理可证AMIIBC,即B、C、M、A四点共面 NC平面ABC,故A错误： 对于B,如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC/MD,BC//WD, ACC平面ABC,DME平面ABC,所以DM∥平面ABC,同理可证 DWH平面ABC 又MD∩WD=D,MD、NDc平面DMW, ∴.平面ABC//平面DMW, 又Nc平面DMN, .N/平面ABC,故B正确： N 选项C,如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC11平面GN, ·Nc平面GMW, .MN1/平面ABC,故C正确 对于D,连接CV,则AB/1CW A,B,C,V四点共面， :N∩平面ABC=W,与MW11平面ABC相矛盾，故D错误 故选：BC, 6.【答案】ABCD 解析：把正方体的平面展开图还原成正方体ABC4A-EFW,如图所示： 对于A,因为BM1IAN,BM正平面AEND.ANC平面AEND,所以 BM//平面AEWD,A正确： 对于B,CN1/BE,CW￠平面ABFE,BEC平面ABFE,所以CWI1平 面ABFE,B正确： 对于C,BD//FN,BDE面AFN,NC面AFN,BM/IAN,BM工面 AFN,ANC面AFN, 所以BD/1面AFW,BM/面AFN,又BD∩BM=B,BD、BMc平面 BDN. 所以平面BDM//平面AFW,C正确： 对于D,BD1IFV,BD立面NCR,FWC面NCR,BE/ICN,BE文面 CF,CNC面WCF 所以BD/面WCF,BE//面NCR,又BDO BE=B,BD、BEC平面 RDE 所以平面BDE//平面WCF,D正确. 故答案为：ABCD. 7.【答案】平行四边形 解析：因为AD∩L=F,BDOa=H,则由AD,BD确定的平面ADBO 面a=FH, 又AB∥C,ABC面ABD,则AB∥F时： 又ACOa=E,BCnu=G,则由AC,BC确定的平面ABC⌒面 &=EG, 又AB∥&，ABC面ABC,则AB//EG 故FH∥EG: 同理可得：EF∥G班，故四边形EFG班为平行四边形 故答案为：平行四边形 8.【答案】② 2 解析：过点M,N分别作MG/1AD,交DD,于点G,NP11AD交CD,于 点P,连接PG, 要想MN1/平面CC,D,D,则四边形MCPW为平行四边形，故 NP=MG 设DG=m∈(0,1)，则PC=m,故PD,=1-m, 由勾股定理得W=PG=VD,G2+D,P2=Vn2+1-m广， 当且仅当m=，时，等号成立， 故wV② D G 故答案为：迈 2 9.【答案】(1)证明见解析：(2)当Q在PB的中点时，平面MQ1平 面PAD· 解析：(1)证明：取PB中点Q,连接MQ,W9, M M,N分别是AB,PC的中点， .NO//BC .AD//BC,..NO//AD, 又WQt面PAD,ADc面PAD, .W91I面PAD. 同理可证：MQ//面PAD 又pc面g,Mgc面Mwp,NonMo=Q 平面0Q11平面PAD, :MWc平面MwQ, :.MN11平面PAD (2)解：假设第一问的Q即为所求 ,Q在PB的中点， :MN分别是AB、PC的中点，Q为PB的中点 .MQ11PA,且WQ/1AD 则MQ11平面PAD,9/平面PAD 且vonMo=g 所以平面MQ/I平面PAD。 所以第一问的Q点即为所求，当9在PB的中点时，平面MQ/1平面 PAD. 10.【答案】(1)证明见解析(2)面 解析：(1)证明：因为R,M,V分别是S4,SE,SF的中点， 所以N∥EF,MWC平面AEF,EFC平面AEF, 所以MW∥平面AEF, 同理，MR∥平面AEF,又因为MR∩MN=M, 所以平面R∥平面AEF. (2)解：由(1)可得平面R∥平面AEF,若RQM平面AEF,则点Q 在线段N上移动， 在aw中，RM=4E=5,RW=号4=5，aW=L,Re的最小值 为R到线段MW的距离， 因为△RW是等腰三角形，故R肥的最小值为， M 11.【答案】详见解析 解析：(1)存在，BW:WD=5:8:理由如下： 连接AW并延长，交BC于E,连接PE 因为正方形ABCD中，AD11BC,所以别-BN=三 NA ND 8 又因为4-5 a3,所以w11PE； PEc平面PBC,MW口平面PBC,所以MW1/平面PBC. (2)由(1)得8E:AD=5:8,所以B-6的 8 △PBE中，PE2=PB2+BE2-2PB.BEc0s60 13+5} '(8 -2×13×65x18281 8264 所以P3-9 89 因为W/1PE,所以MW:PE=8:13 所以w=Lx8=7. 813 12.【答案】详见解析 解析：(1)，四边形EFGH为平行四边形， .EF∥HG. ,HGC平面ABD,EF平面ABD, ∴，EF∥平面ABD. 又，∵EFC平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB, ∴，EF∥AB,又，ABC平面EFGH,EFC平面EFGH, ,∴，AB∥平面EFGH (2)设EF=x(0<x<4) g那MAaR阳/ca器 6 ==CC1-G=6- 3 BC ,四边形EFG丑为平行四边形 :四边形EGH的周长1=2(+6-号)=12一x 2 又0<4，.8<<12， 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)