专题05 一元二次方程的相关概念（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期北师大版

专题05 一元二次方程的相关概念 3大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 一元二次方程的一般形式 考点03 一元二次方程的解 地 城 考点01 一元二次方程的定义 1．(24-25九上·山东青岛崂山区实验学校·期中)下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东菏泽成武县·期中)下列方程中，一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)已知一元二次方程，则它的一次项系数是（   ） A．1 B．3 C． D．2 4．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)若一元二次方程的二次项系数是2，则常数项是（   ） A． B． C．5 D．4 5．(24-25九上·山东枣庄台儿庄区·期中)若方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·山东德州德城区·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·山东德州宁津县齐河三中教育集团·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 一元二次方程的一般形式 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛·期中)若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（   ） A． B．2 C． D．5 2．(23-24九上·山东青岛李沧区·期中)方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·山东德州天衢新区·期中)一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·山东临沂沂水县·期中)将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·山东菏泽成武县·期中)若关于的一元二次方程没有一次项，则的值等于（    ） A．或 B． C． D． 6．(23-24九上·山东临沂费县·期中)将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．2， B．2，0 C．2，3 D．2， 二、填空题 7．(24-25九上·山东德州禹城·期中)关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 8．(23-24九上·山东济宁邹城第十中学·期中)将一元二次方程化成一 般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ． 地 城 考点03 一元二次方程的解 一、单选题 1．(23-24九上·山东聊城莘县多校·期中)若m是一元二次方程的根，则代数式的值为（   ） A．1 B． C．2024 D．8026 2．(24-25九上·山东济宁·期中)已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．0 3．(23-24九上·山东济南东南片区·期中)已知关于x的方程，若方程的一个根为1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D．1 二、填空题 4．(24-25九上·山东济宁邹城郭里中学·期中)已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ． 5．(24-25九上·山东潍坊诸城·期中)若方程有一个根是a，则的值为 ． 6．(24-25九上·山东菏泽牡丹区联考·期中)若方程有整数根，则m的值可以是 ．（填一个可能的值） 7．(24-25九上·山东济宁曲阜·期中)若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 8．(24-25九上·山东枣庄滕州滕东中学·期中)已知关于x的方程的一个根是，则 ． 9．(23-24九上·山东济宁邹城第十中学·期中)设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 10．(23-24九上·山东滨州邹平·期中)若是一元二次方程的一个根，则 ． 11．(23-24九上·山东潍坊高密·期中)关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 三、解答题 12．(24-25九上·山东临沂河东区·期中)已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为6，求m的值； (2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 13．(24-25九上·山东青岛·期中)已知关于的一元二次方程． (1)方程的一个根是，求的值； (2)求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 14．(23-24九上·山东聊城莘县多校·期中)一元二次方程（）的一个根为1，且a，b满足等式，试判断是不是一元二次方程的根． 15．(23-24九上·山东济宁微山县·期中)已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)已知是方程的根，求证：是等腰三角形； (2)如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 16．(23-24九上·山东临沂沂南县·期中)（1）解方程：； （2）已知：关于x的方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 17．(23-24九上·山东青岛崂山区崂山区第四中学·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为，求方程另一个根的值． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程的相关概念 3大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 一元二次方程的一般形式 考点03 一元二次方程的解 地 城 考点01 一元二次方程的定义 1．(24-25九上·山东青岛崂山区实验学校·期中)下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：，含两个未知数x和y，不符合“一元”条件，排除； 选项B：，未明确，若则方程变为一次方程，无法确定是否为二次方程，排除； 选项C：，展开为，整理得，满足整式、一元且最高次数为2，符合定义； 选项D：，含分式，非整式方程，排除； 故选：C． 2．(24-25九上·山东菏泽成武县·期中)下列方程中，一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程”进行判定即可求解． 【详解】解：A、含有两个未知数，原选项不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，原选项不是一元二次方程，不符合题意； C、，原选项是一元二次方程，符合题意； D、不是整式，原选项不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C ． 3．(24-25九上·山东济宁微山县·期中)已知一元二次方程，则它的一次项系数是（   ） A．1 B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 先把原方程化为一般式，再根据定义可得答案． 【详解】将一元二次方程，整理为， ∴它的一次项系数为． 故选：C． 4．(24-25九上·山东青岛即墨区·期中)若一元二次方程的二次项系数是2，则常数项是（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义：形如的方程叫做一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程即的二次项系数是2， ∴常数项为， 故选：B． 5．(24-25九上·山东枣庄台儿庄区·期中)若方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得，，然后求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴， ∴ ∴a的值为． 故选：A． 6．(24-25九上·山东德州德城区·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程是只含有一个未知数，未知项的最高次数为的整式方程，本题根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程中只含有一个未知数且未知项的最高次数是，是整式方程，这是一个一元一次方程，故A选项不符合题意； B、、方程中只含有一个未知数且未知项的最高次数是，是整式方程，这是一个一元二次方程，故B选项符合题意； C、方程是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D、中含有两个未知数且未知项的最高次数是，这是一个二元一次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 7．(24-25九上·山东德州宁津县齐河三中教育集团·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为中（是常数，且）． 根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、含义两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； C、是分式方程，该选项不符合题意； D、是关于的一元二次方程，该选项符合题意； 故选： D． 8．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 地 城 考点02 一元二次方程的一般形式 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛·期中)若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴它的常数项是， 故选：A． 2．(23-24九上·山东青岛李沧区·期中)方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程一般形式的定义即可求解，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：方程的一般形式为， ∴一次项系数是， 故选：． 3．(23-24九上·山东德州天衢新区·期中)一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数定义，多项式的项的定义和一元二次方程的一般形式，根据多项式的项和单项式的系数定义得出答案即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是， 故选：C． 4．(23-24九上·山东临沂沂水县·期中)将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，把原方程化为形如的形式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选C． 5．(23-24九上·山东菏泽成武县·期中)若关于的一元二次方程没有一次项，则的值等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有一次项， ∴ ∴， 故选：C． 6．(23-24九上·山东临沂费县·期中)将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．2， B．2，0 C．2，3 D．2， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，形如叫一元二次方程的一般式，其中叫二次项系数，叫一次项系数，c是常数项．先化成一般形式，即可得出答案．注意：说项的系数带着前面的符号． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式是， ∴二次项的系数和一次项系数分别是2和， 故选：D． 二、填空题 7．(24-25九上·山东德州禹城·期中)关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 8．(23-24九上·山东济宁邹城第十中学·期中)将一元二次方程化成一 般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式：的三项系数分别为是解题的关键． 一般形式：的二次项系数，一次项系数，常数项分别为，根据定义解答即可． 【详解】解： 移项得： 二次项的系数为，一次项系数为； 故答案为：， 地 城 考点03 一元二次方程的解 一、单选题 1．(23-24九上·山东聊城莘县多校·期中)若m是一元二次方程的根，则代数式的值为（   ） A．1 B． C．2024 D．8026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念和整体代入的求值方法．由m是一元二次方程的根可得关于m的方程，结合所求、变形方程即得答案． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴，则， ∴． 故选：C． 2．(24-25九上·山东济宁·期中)已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，得出，，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：A． 3．(23-24九上·山东济南东南片区·期中)已知关于x的方程，若方程的一个根为1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．熟练逆用一元二次方程解的定义是解此题的关键． 把代入原方程，得到关于m一元一次方程, 解方程即可． 【详解】关于x的方程的一个根为1， 把，代入方程，得 解得： 故选：B 二、填空题 4．(24-25九上·山东济宁邹城郭里中学·期中)已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出，，再整体代入即可解答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ，， ∴， ∴． 故答案为：0． 5．(24-25九上·山东潍坊诸城·期中)若方程有一个根是a，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由方程有一个根是a，可得，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵方程有一个根是a， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 6．(24-25九上·山东菏泽牡丹区联考·期中)若方程有整数根，则m的值可以是 ．（填一个可能的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，将原方程变形为，根据方程有整数根，即可得出为完全平方数，即可得出答案，解题的关键是熟悉方程有根的条件． 【详解】解：， ∴， ∵方程有整数根， ∴为完全平方数， ∴可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 7．(24-25九上·山东济宁曲阜·期中)若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根与系数的关系，根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 8．(24-25九上·山东枣庄滕州滕东中学·期中)已知关于x的方程的一个根是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是， ∴， 解得， 故答案为：． 9．(23-24九上·山东济宁邹城第十中学·期中)设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知根与系数的关系．根据根与系数的关系得到，再根据解的定义得到，再代入原式即可求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：0 10．(23-24九上·山东滨州邹平·期中)若是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程解的含义，代入求值即可，解题的关键是将代入方程，变形为． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∵， ∴将代入，原式， 故答案为：． 11．(23-24九上·山东潍坊高密·期中)关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根，先把代入原方程，即可求出的值，解题的关键是理解根是能使等式成立的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是2， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 12．(24-25九上·山东临沂河东区·期中)已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为6，求m的值； (2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】(1)12 (2)，平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】（1）解：的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为6， 把代入， 得：， 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 13．(24-25九上·山东青岛·期中)已知关于的一元二次方程． (1)方程的一个根是，求的值； (2)求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程得， 解得， 即的值为； （2）证明：∵关于的一元二次方程， ∴ ． ∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 14．(23-24九上·山东聊城莘县多校·期中)一元二次方程（）的一个根为1，且a，b满足等式，试判断是不是一元二次方程的根． 【答案】是 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识． 先根据一元二次方程的解得定义得到，根据二次根式有意义的条件得到，，即可得到，则得到一元二次方程，解方程后即可得到结论． 【详解】解：∵一元二次方程（）的一个根为1， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴一元二次方程，即为， ∴， 解得， ∴是一元二次方程的根． 15．(23-24九上·山东济宁微山县·期中)已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)已知是方程的根，求证：是等腰三角形； (2)如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)方程有两个相等的实数根，理由见解析 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）代入，找出；（2）牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”． （1）将代入原方程，可得出，进而可证出是等腰三角形； （2）利用勾股定理，可得出，结合△，可得出△，进而可得出原方程有两个相等的实数根． 【详解】（1）证明：∵是一元二次方程的根， ∴． ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：方程有两个相等的实数根，理由如下： ∵是直角三角形，其中， ∴． ∴， ∴方程有两个相等的实数根 16．(23-24九上·山东临沂沂南县·期中)（1）解方程：； （2）已知：关于x的方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 【答案】（1）（2）k的值为，方程另一根为2 【分析】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程： （1）用公式法求解即可； （2）把代入即可求得k的值，再求其另一根即可． 【详解】解：（1） ∵， ∴， 即； （2）∵方程的一个根是2， ∴，解得， ∴方程为，解得或， 即k的值为，方程另一根为2． 17．(23-24九上·山东青岛崂山区崂山区第四中学·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为，求方程另一个根的值． 【答案】(1)且； (2)另一个根的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程． （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式，可得关于的不等式，解不等式即可得出的取值范围； （2）把代入方程，得出的值，再将的值代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即， 解得：且； （2）解：将代入方程有实数根， 即， 解得：． 将代入原方程，即， 整理得， 解得：． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $