5.1任意角和弧度制9题型分类讲义（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练（人教A版必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 5.1任意角和弧度制9题型分类 一、角的相关概念 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示 如图，①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”． (3)角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 二、角的相等与加减 (1)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. (2)角的加法 设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. (3)相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)角的减法 角的减法可以转化为角的加法，有α－β＝α＋(－β)． 三、平面直角坐标系中的任意角 条件 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 象限角 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 轴线角 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注：1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字 (1)要明确旋转方向； (2)要明确旋转的大小； (3)要明确射线未作旋转时的位置． 2．对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一； (4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 四、度量角的两种制度 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的为1度的角，记作1°. (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1_rad. 五、弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 六、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. (1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去． (3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度． (4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确． （一） 任意角的概念 1.引入任意角的概念后需要注意： （1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． （2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置． （3）角的范围不再限于． （4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等． （5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负． （6）角的记法：用一个希腊字母表示，如，，，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“”，中间的字母表示角的顶点，如，，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为“”． （7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化为．　　 2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 题型1：任意角的概念 1．（2025高一·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 2．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．小于的角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．钝角是第二象限角 D．经过4小时，时针转了 3．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．所有的正角都比负角大 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 4．（2025高一·全国·课后作业）若将时钟拨快30min，则分针转过的角度为 ；若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为 . 5．（2025高一·江西南昌·阶段练习）已知集合第一象限的角，锐角，小于90°的角，给出下列四个命题；①；②；③；④.其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （二） 终边相同的角 1．一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 2．象限角的分类及表示方法如下： 象限角 集合的表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3．设，显然，所有与角终边相同的角都是集合的元素；反过来，集合中的任何一个元素也都与角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 4．利用与角终边相同的角的集合，可把任意角转化成，，的形式；也可利用与角终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合． 如第一象限角，在~360范围内，第一象限角表示为，然后在两端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得． 若为象限界角，如终边落在轴的负半轴上，代表角为180，所以终边落在轴的负半轴上的角的集合为，．同理可得其他非象限角的集合． 5.寻求终边相同的角的方法与技巧 在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法： (1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．　 6．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤 (1)写出在[0°，360°)范围内相应的角； (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合； 题型2：终边相同的角 6．（2025高一·甘肃定西·期末）下列各角中，与角终边重合的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·广西北海·期末）下列各角中，与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一·全国·单元测试）下面与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一·全国·课后作业）下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 10．（2025高一·全国·课后作业）如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么角与角之间满足的等量关系是 . 11．（25-26高一·全国·课后作业）若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 12．（25-26高一·全国·课后作业）如图，（1）终边落在直线上的角的集合为 ； （2）角的终边与终边落在射线上的角的终边关于轴对称，则 ． （三） 区域角的表示 1、区域角的写法可分三步 (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合． 注：区域角的写法: (1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可. (2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写角的范围时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，然后在此区间角的两端分别加上“k ×180”，并注明“k ∈Z”即可. 题型3：区域角的表示 13．（2025高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 14．（2025高一·全国·课后作业）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 15．（2025高一·山东菏泽·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 16．（2025高一·浙江·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 17．（2025高一·全国·周测）（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来； （2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． （四） 象限角轴线角的判定 1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例如：由于图（1）中的角，，都是始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角． 2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，，，，等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参考书上称之为象限界角． 3.象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论． ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 题型4：象限角的判定 18．【多选】（25-26高二·吉林白城·开学考试）给出的下列四个命题中正确的有（   ） A．角是第一象限角 B．角是第三象限角 C．角是第二象限角 D．角是第四象限角 19．【多选】（2025高一·全国·周测）若，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（2025高二·全国·专题练习）若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 21．（2025高一·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 22．（25-26高一·全国·课后作业）若是第二象限角，试确定是第几象限角． 23．【多选】（2025高一·陕西渭南·期中）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （五） 角度与弧度的互化 1．将角度化为弧度 rad；rad；rad． 2．将弧度化为角度 ；；． 3．需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值 度 弧度 0 【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度为单位表示角时，度就不能省去． （2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把化成小数，如弧度，不必写成弧度． （3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便． （4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量也就不同了． （5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式rad是关键，由它可以得到：角度弧度，弧度角度． 题型5：弧度制的概念 24．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 25．（2025高一·河南新乡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 26．（25-26高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 27．（2025高一·安徽蚌埠·阶段练习）若角，则它是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 28．（25-26高一·全国·课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 题型6：角度与弧度的互化 29．（25-26高一·全国·课前预习）将化成角度为 ． 30．（2025高一·全国·专题练习）化为弧度是（    ） A． B． C． D． 31．（2025高一·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 32．【多选】（2025高一·全国·周测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（2025高三·全国·专题练习）将下列各弧度化成角度． (1)； (2)； (3)． 34．（25-26高一·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值） (1)； (2)； (3)1.2； (4)． 35．【多选】（2025高一·广西柳州·开学考试）以下说法正确的有（    ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为 （六） 利用弧度制表示角 1、弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域角． 用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并． 题型7：利用弧度制表示角 36．（2025高一·山东青岛·阶段练习）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（2025高一·北京·期中）角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 38．（2025高三·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 39．（2025高一·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 40．【多选】（2025高一·陕西渭南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在上角的集合 41．（2024高三·全国·专题练习）设，那么的取值范围是 ． （七） 弧长公式 1、弧长公式 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则，变形可得，此公式称为弧长公式，其中的是弧度角． 2、弧度制下有关扇形弧长问题的解题策略 ①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)． ②涉及扇形的周长、弧长、圆心角等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解． 题型8：弧长公式及应用 42．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知扇形的圆心角为，面积为24，则该扇形的弧长为（ ） A．6 B． C．12 D． 43．（2025高一·天津·阶段练习）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 44．（2026高三·全国·专题练习）扇形的圆心角为，弦长为，试求弧长. 45．（25-26高一·湖南娄底·开学考试）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，分别与所在圆相切于点．若该圆半径是，，则的长是 ． 46．（25-26高一·全国·课前预习）如图，矩形在圆外的面积为，其中圆的半径为整数，则矩形截圆所得的的长为 ． 47．（2025高三·全国·专题练习）设圆的半径为2，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上），现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为 ． 48．（2025高二·河北邯郸·期末）已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （八） 扇形的面积公式的应用 1、扇形面积公式 因为圆心角为1 rad的扇形面积为，而弧长为l的扇形的圆心角大小为rad，所以其面积为，将代入上式可得，此公式称为扇形面积公式． 2、扇形的面积公式的应用注意点 ①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负． ②看清角的度量制，选用相应的公式． ③扇形的周长等于弧长加两个半径长． 题型9：扇形的面积公式的应用 49．（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为 . 50．（25-26高三·浙江温州·阶段练习）已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 51．（25-26高二·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 52．（2025高一·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 53．（25-26高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，，，则扇形AOB的面积为 cm2. 54．（25-26高一·河北石家庄·开学考试）如图，是圆的直径，弦交于点，，.    (1)求的度数； (2)若，求扇形的面积. 55．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 56．（25-26高三·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 57．（2025高一·山西吕梁·阶段练习）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角 ． 58．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知扇形的周长为，当扇形的圆心角为多大时，它的面积达到最大值？ 59．（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的面积为，当扇形的圆心角为多大时，它的周长达到最小值？ 60．（2025高一·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 61．（2025高一·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 62．（2025高一·贵州遵义·阶段练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 1．（2025高一·全国·课后作业）下面各组角中，终边相同的是（     ） A．390，690 B．，750 C．480， D．3000， 2．（2025高一·全国·课后作业）若角与角的终边相同，则 A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·课后作业）若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是 A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·课后作业）集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（   ） A． B． C． D． 5．【多选】（2025高一·全国·课后作业）如果角与角的终边重合，角与角的终边重合，那么的可能值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·广东珠海·阶段练习）下列转化结果错误的是（    ） A．化成弧度是rad B．化成度是﹣600度 C．化成弧度是rad D．化成度是15度 7．（2025高三·全国·专题练习）若＝2kπ＋ (k∈Z)，则的终边在(　　) A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 8．（2025高一·广西南宁·阶段练习）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为，则 A． B． C． D．1 9．（2025高一·全国·假期作业）把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是（    ） A．－π B．－2π C．π D．－π 10．（2025高一·全国·课后作业）如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，那么该弧所对的圆心角是原来的（    ） A． B．2倍 C． D．3倍 11．（2025·湖南郴州·模拟预测）达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·全国·课后作业）若角，把角逆时针旋转得到角，则 ． 13．（2025高一·全国·课后作业）集合，，则 ． 14．（2025高一·上海黄浦·期末）已知，，则 . 15．（2025高一·全国·课后作业）角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝ ． 16．（2025高一·全国·课后作业）已知角，都是锐角，且角的终边与角的终边相同，角的终边与角的终边相同，则 ， ． 17．（2025高一·云南玉溪·期中）我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么300密位等于 ； 18．（2025高一·全国·课后作业）如果圆心角为的扇形所对的弦长为，则扇形的面积为 . 19．（2025高一·全国·课后作业）勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积为 . 20．（2025高一·全国·课前预习）已知，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)之间的角． 21．（2025高一·全国·课后作业）已知如图． （1）写出终边落在射线、上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合． 22．（2025高一·全国·课后作业）如图，点在半径为且圆心在原点的圆上，且，点从点处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点在秒内转过的角度为，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点，求，并判断所在的象限． 23．（2025高一·全国·课后作业）如图，已知长为，宽为的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为，求点走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 5.1任意角和弧度制9题型分类 一、角的相关概念 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示 如图，①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”． (3)角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 二、角的相等与加减 (1)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. (2)角的加法 设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. (3)相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)角的减法 角的减法可以转化为角的加法，有α－β＝α＋(－β)． 三、平面直角坐标系中的任意角 条件 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 象限角 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 轴线角 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注：1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字 (1)要明确旋转方向； (2)要明确旋转的大小； (3)要明确射线未作旋转时的位置． 2．对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一； (4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 四、度量角的两种制度 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的为1度的角，记作1°. (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1_rad. 五、弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 六、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. (1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去． (3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度． (4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确． （一） 任意角的概念 1.引入任意角的概念后需要注意： （1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． （2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置． （3）角的范围不再限于． （4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等． （5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负． （6）角的记法：用一个希腊字母表示，如，，，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“”，中间的字母表示角的顶点，如，，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为“”． （7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化为．　　 2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 题型1：任意角的概念 1．（2025高一·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据角的定义和象限角的概念得到答案. 【详解】①终边相同的角不一定相等，比如终边相同，①正确； ②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如，，②错误； ③若，则是第一象限的角，③正确； ④不妨考虑，小于，但不是锐角，④错误. 故选：②④ 2．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．小于的角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．钝角是第二象限角 D．经过4小时，时针转了 【答案】CD 【分析】根据角的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】小于的角还包括零角和负角，锐角是大于小于的角，故A错误； 若，，则角和角的终边相同，但，B错误； 因为大于且小于的角为钝角，所以钝角是第二象限角，C正确； 因为时针旋转为顺时针，所以形成的角为负角，故经过4小时，时针转了，D正确． 故选：CD 3．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．所有的正角都比负角大 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 【答案】AD 【分析】利用正角和负角的定义判断A，利用零角的定义判断B，举反例判断C，利用锐角，钝角，第一象限角，第二象限角的定义判断D即可. 【详解】对于A，由正角和负角的定义得，所有的正角都比负角大，故A正确， 对于B，只有始边与终边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才是零角，故B错误， 对于C，令第三象限的角是，第二象限的角是， 则，可得第三象限的角不一定大于第二象限的角，故C错误， 对于D，设为锐角，为钝角，由锐角的定义得，， 由第一象限角的定义得一定是第一象限角， 由第二象限角的定义得一定是第二象限角， 即锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角，故D正确. 故选：AD 4．（2025高一·全国·课后作业）若将时钟拨快30min，则分针转过的角度为 ；若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为 . 【答案】 【分析】根据角的定义即可按比例求解. 【详解】若将时钟拨快30min，则分针转过的角度为， 若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为. 故答案为：；. 5．（2025高一·江西南昌·阶段练习）已知集合第一象限的角，锐角，小于90°的角，给出下列四个命题；①；②；③；④.其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据任意角的定义和集合的基本关系求解. 【详解】{第一象限角}，只需要终边落在第一象限的都是属于第一象限角． {锐角}，是指大于而小于的角． {小于的角}，小于的角包括锐角，零角和负角． 根据集合的含义和基本运算判断：①，①错误； ②，比如，，但，②错误； ③，比如，但，③错误； ④，④错误； 正确命题个数为0个． 故选：A． （二） 终边相同的角 1．一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 2．象限角的分类及表示方法如下： 象限角 集合的表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3．设，显然，所有与角终边相同的角都是集合的元素；反过来，集合中的任何一个元素也都与角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 4．利用与角终边相同的角的集合，可把任意角转化成，，的形式；也可利用与角终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合． 如第一象限角，在~360范围内，第一象限角表示为，然后在两端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得． 若为象限界角，如终边落在轴的负半轴上，代表角为180，所以终边落在轴的负半轴上的角的集合为，．同理可得其他非象限角的集合． 5.寻求终边相同的角的方法与技巧 在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法： (1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．　 6．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤 (1)写出在[0°，360°)范围内相应的角； (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合； 题型2：终边相同的角 6．（2025高一·甘肃定西·期末）下列各角中，与角终边重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的终边相同的集合判断选择即可. 【详解】与角终边重合的角为：，则当时，，故C正确. 经检验，其他选项都不正确. 故选：C. 7．（2025高一·广西北海·期末）下列各角中，与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据若两角的终边相同，则两角相差为的整数倍，即可判断各选项. 【详解】对于B，因为，所以角与角的终边相同，B正确； 对于A，因为不是的整数倍，所以它们的终边不同，A错误； 对于C，因为不是的整数倍，所以它们的终边不同，C错误； 对于D，因为不是的整数倍，所以它们的终边不同，D错误. 故选：B. 8．（25-26高一·全国·单元测试）下面与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由终边相同的角求出最小正角和最大负角即可求解. 【详解】与终边相同的角可以表示为， 当时，为与终边相同的最小正角； 当时，为与终边相同的最大负角， 故ABD错误，C正确. 故选：C 9．（25-26高一·全国·课后作业）下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】根据终边相同的角的概念依次判断即可. 【详解】与角的终边相同的角的集合为． 当时，，解得， 角与角的终边不相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同． 故答案为：②③④. 10．（2025高一·全国·课后作业）如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么角与角之间满足的等量关系是 . 【答案】， 【分析】利用终边相同的角的表示方法表示出，，进而求解. 【详解】因为角与具有相同的终边， 所以，， 又角与具有相同的终边， 所以，， 所以，， 令，， 则，. 故答案为：，. 11．（25-26高一·全国·课后作业）若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断. 【详解】由角的终边相同，则，即， 所以的终边在轴的非负半轴上. 故选：A 12．（25-26高一·全国·课后作业）如图，（1）终边落在直线上的角的集合为 ； （2）角的终边与终边落在射线上的角的终边关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】（1）设终边落在直线上的角为，先确定当时，的大小，再根据终边相等的角的集合的结论求结果； （2）先确定当时，的大小，再根据终边相等的角的集合的结论求结果； 【详解】（1）设终边落在直线上的角为， 角的终边是射线，则角的终边落在直线上时有两种情况：终边为射线和终边为 当终边为，且时，则， 当的终边为，且时，则， 所以当的终边在第一象限时，； 当终边在第三象限时，． 所以角的集合为． （2）因为大小为的角的终边落在射线上， 大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以． 故答案为：，. （三） 区域角的表示 1、区域角的写法可分三步 (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合． 注：区域角的写法: (1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可. (2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写角的范围时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，然后在此区间角的两端分别加上“k ×180”，并注明“k ∈Z”即可. 题型3：区域角的表示 13．（2025高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 【答案】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 14．（2025高一·全国·课后作业）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 【答案】 【分析】写出两个对顶角的阴影区域对应角的集合表示，再求出并集即可. 【详解】依题意，角的集合为 ， 所以所求的集合为. 15．（2025高一·山东菏泽·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据阴影部分的边界，写出角的集合. 【详解】阴影部分表示的集合是. 故选：C 16．（2025高一·浙江·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出在间阴影部分区域表示的角的范围，再写出终边落在阴影部分的区域内的任意角的集合. 【详解】在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和， 所以阴影部分的区域在间的范围是， 所以终边在阴影部分区域的角的集合为. 故选：C. 17．（2025高一·全国·周测）（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来； （2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 【答案】（1）答案见解析； （2）①；②；③； （3） 【分析】根据终边相同的角的定义和集合表示即可得出． 【详解】（1）与终边相同的角的集合为． 取；取；取，． （2）①； ②； ③ 即 . （3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为. （四） 象限角轴线角的判定 1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例如：由于图（1）中的角，，都是始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角． 2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，，，，等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参考书上称之为象限界角． 3.象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论． ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 题型4：象限角的判定 18．【多选】（25-26高二·吉林白城·开学考试）给出的下列四个命题中正确的有（   ） A．角是第一象限角 B．角是第三象限角 C．角是第二象限角 D．角是第四象限角 【答案】ABC 【分析】根据各象限角的范围，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，在第一象限内，故A正确； 选项B：因为，在第三象限内，故B正确； 选项C：因为，在第二象限内，故C正确； 选项D：因为，在第一象限内，故D错误； 故选：ABC 19．【多选】（2025高一·全国·周测）若，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 【分析】对分奇数、偶数两种情况讨论，结合象限角的定义可得结果. 【详解】当为偶数时，设，则， 此时与角终边相同，为第二象限角； 当为奇数时，设，则， 时，与角终边相同，为第四象限角． 故选：BD． 20．（2025高二·全国·专题练习）若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据已知有，变形即可得对应象限. 【详解】因为与角的终边相同，所以， 则，所以是第三象限角． 故选：C 21．（2025高一·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 22．（25-26高一·全国·课后作业）若是第二象限角，试确定是第几象限角． 【答案】可能是第一象限角、第二象限角或终边在轴非负半轴上的角，第一象限角、第二象限角或第四象限角 【分析】利用第二象限角的定义判断的位置，法一作出图形，结合图形判断的位置，法二根据是第二象限角，求得的范围，分别令，，可判断终边所在象限，得到答案即可． 【详解】因为是第二象限角，所以， 可得， 则， 所以可能是第一象限角、第二象限角或终边在轴非负半轴上的角． 法一：要判断终边所在的象限，可以把各象限三等分， 从轴非负半轴起，按逆时针方向， 依次将各区域标号一、二、三、四，一、二、…，如图所示，    由于是第二象限角，则由图可知，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 法二：因为， 所以， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 23．【多选】（2025高一·陕西渭南·期中）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BCD 【分析】根据角的终边在第四象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断. 【详解】由为第四象限角，得， 得， 令，时，，，得的终边在第四象限； 令，时，，，得的终边在第二象限， 令，时，，，得的终边在第三象限， 故选：BCD. （五） 角度与弧度的互化 1．将角度化为弧度 rad；rad；rad． 2．将弧度化为角度 ；；． 3．需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值 度 弧度 0 【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度为单位表示角时，度就不能省去． （2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把化成小数，如弧度，不必写成弧度． （3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便． （4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量也就不同了． （5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式rad是关键，由它可以得到：角度弧度，弧度角度． 题型5：弧度制的概念 24．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 【答案】AC 【分析】根据弧度制的概念逐项判断即可. 【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确； 无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误； 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确； 用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误， 故选：AC 25．（2025高一·河南新乡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 【答案】D 【分析】根据象限角的定义判定A、B，由弧度和弧长得定义及相关公式判断C、D. 【详解】A，第一象限角指终边落在第一象限的角的集合，有正有负， 而锐角仅指大于小于的角，故A错误； B，为第二象限的角，为第一象限的角，显然不满足，故B错误； C，圆心角为1弧度的扇形的弧长为，与半径有关， 半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误； D，由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故D正确. 故选：D 26．（25-26高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】B 【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A，根据弧度制定义可知A错误； 对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确； 对于C，经过5分钟分针转了，故C错误； 对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误. 故选：B． 27．（2025高一·安徽蚌埠·阶段练习）若角，则它是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据象限角和弧度制判断. 【详解】因为，所以角是第三象限角. 故选：C. 28．（25-26高一·全国·课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由弧度与角度的关系即可得解. 【详解】根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为，即弧度数为． 故选：D． 题型6：角度与弧度的互化 29．（25-26高一·全国·课前预习）将化成角度为 ． 【答案】 【分析】根据角度与弧度的换算公式即可求解. 【详解】． 故答案为： 30．（2025高一·全国·专题练习）化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角度制与弧度制的互相转化. 【详解】,故选：B. 【点睛】 31．（2025高一·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 【答案】D 【分析】根据角度制和弧度制换算关系即可得到答案. 【详解】因为，所以弧度, 因此“720度”即弧度. 故选：D． 32．【多选】（2025高一·全国·周测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】弧度与角度之间的互化是，利用公式分别计算A、B、C、D四个选项可得答案. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确； 故选：ABD． 33．（2025高三·全国·专题练习）将下列各弧度化成角度． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)135°； (3)210°． 【分析】根据弧度制的定义，可得答案． 【详解】（1） （2） （3） 34．（25-26高一·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值） (1)； (2)； (3)1.2； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的关系进行转化即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 35．【多选】（2025高一·广西柳州·开学考试）以下说法正确的有（    ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为 【答案】AD 【分析】根据弧度制与角度制的转化判断A、B；由正负角的概念判断C；根据弧长公式判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，,故B错误； 对于C，分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，即分针转过的角的弧度数为，故C错误； 对于D，由弧长公式可得半径为2，弧长为的弧所对圆心角为，故D正确； 故选：AD. （六） 利用弧度制表示角 1、弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域角． 用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并． 题型7：利用弧度制表示角 36．（2025高一·山东青岛·阶段练习）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可. 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 37．（2025高一·北京·期中）角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 【答案】D 【分析】利用角度与弧度的互化以及象限角的定义判断即可. 【详解】因为，且， 因为为第二象限角，故为第二象限角， 故选：D. 38．（2025高三·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度制表达出，进而表达出与角的终边相同的角的集合. 【详解】因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用， 故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D 39．（2025高一·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为， 终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为 ， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为 . 40．【多选】（2025高一·陕西渭南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在上角的集合 【答案】ABC 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】A. 终边在轴上的角的集合是，故正确； B.终边在轴上的角的集合是，故正确； C.终边在坐标轴上的角的集合是，故正确； D.终边在上角的集合，故错误； 故选：ABC 41．（2024高三·全国·专题练习）设，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用线性关系及不等式性质求取值范围即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： （七） 弧长公式 1、弧长公式 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则，变形可得，此公式称为弧长公式，其中的是弧度角． 2、弧度制下有关扇形弧长问题的解题策略 ①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)． ②涉及扇形的周长、弧长、圆心角等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解． 题型8：弧长公式及应用 42．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知扇形的圆心角为，面积为24，则该扇形的弧长为（ ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用扇形面积及弧长公式列式求解. 【详解】设扇形半径为，由扇形的圆心角为，面积为24，得，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：C 43．（2025高一·天津·阶段练习）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 44．（2026高三·全国·专题练习）扇形的圆心角为，弦长为，试求弧长. 【答案】 【分析】由已知扇形的圆心角，弦长，可得半径，利用弧长公式即可得出 【详解】画出图形，如图所示. ， 设半径为.则由，，. 故答案为：. 45．（25-26高一·湖南娄底·开学考试）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，分别与所在圆相切于点．若该圆半径是，，则的长是 ． 【答案】 【分析】设圆心为，连接,先由相切得，再由四边形内角和求出，则优弧对应的圆心角为，进而求得优弧的长. 【详解】如图，设圆心为，连接, 因为分别与所在圆相切于点．所以, 因为，所以, 优弧对应的圆心角为， 所以优弧的长是 故答案为： 46．（25-26高一·全国·课前预习）如图，矩形在圆外的面积为，其中圆的半径为整数，则矩形截圆所得的的长为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式以及弧长公式即可求解. 【详解】设圆的半径为，所以， 所以矩形在圆外的面积，解得， 故的长为． 故答案为： 47．（2025高三·全国·专题练习）设圆的半径为2，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上），现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出正方形旋转的过程中顶点落在圆上的次序，由图，首次回到的位置时，正方形滚动了3圈共12次，计算每次的路程求和即可. 【详解】由题设，以正方形的边为弦时所对圆心角为，其在圆上滚动时点的顺序依次如下图示， （图中各点字母，从左到右表示第一次、第二次、到达该点的正方形顶点字母）， 当首次回到的位置时，正方形滚动了3圈，共12次， 设第次滚动，的路程为，则，，，， 所以点所走过的路径的长度为. 故答案为： 48．（2025高二·河北邯郸·期末）已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据弧长和扇形的面积公式，将转化为关于的函数，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为扇形的圆心角为2，扇形所在圆的半径为， 所以弧长，面积， 所以， 当且仅当时取等号， 故选：B. （八） 扇形的面积公式的应用 1、扇形面积公式 因为圆心角为1 rad的扇形面积为，而弧长为l的扇形的圆心角大小为rad，所以其面积为，将代入上式可得，此公式称为扇形面积公式． 2、扇形的面积公式的应用注意点 ①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负． ②看清角的度量制，选用相应的公式． ③扇形的周长等于弧长加两个半径长． 题型9：扇形的面积公式的应用 49．（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为 . 【答案】4 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解圆心角即可. 【详解】设扇形的圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 50．（25-26高三·浙江温州·阶段练习）已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由题可得扇形圆心角，然后由扇形面积公式可得答案. 【详解】设扇形半径为r，周长为C，扇形圆心角为，面积为S. 由题有. 则. 故选：B 51．（25-26高二·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式计算即得. 【详解】因为圆心角为，半径为4， 所以弧长为，该扇形的面积为． 故答案为： 52．（2025高一·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据条件求出半径，再分别求出、扇形和的面积即可. 【详解】连接，设和的交点为， 因点是以为直径的半圆的三等分点，则， 因，则，即为等边三角形， 因，则， 因，则四边形为平行四边形， 因，则四边形为菱形，则， 设圆的半径为，则，， 则， 扇形的面积为，， 则图中阴影部分的面积为， 因弧的长为，，则，则图中阴影部分的面积为. 故选：A      53．（25-26高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，，，则扇形AOB的面积为 cm2. 【答案】 【分析】设扇形的圆心角为，扇形的半径为，根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】在扇形AOB中，因为，， 所以由扇形面积公式可知. 故答案为： 54．（25-26高一·河北石家庄·开学考试）如图，是圆的直径，弦交于点，，.    (1)求的度数； (2)若，求扇形的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）运用圆周角定理及其推论，结合几何关系即可求解； （2）连接，结合几何关系求得，，再结合扇形面积公式即可求解. 【详解】（1）连接，如图，根据题意，可得， 又是圆的直径，所以，所以， 又，， 所以.    （2）连接，则，    又，，所以， 所以， 又，， 所以，， 所以扇形的面积. 55．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 【答案】 【分析】取优弧所在圆的圆心，连接，易得，进而结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该“水滴”的面积为． 故答案为：. 56．（25-26高三·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 57．（2025高一·山西吕梁·阶段练习）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角 ． 【答案】2 【分析】由扇形的面积公式，结合二次函数最值即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则周长为， 所以扇形面积， 当且仅当时取等号，此时，所以圆心角， 故答案为：2 58．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知扇形的周长为，当扇形的圆心角为多大时，它的面积达到最大值？ 【答案】2 【分析】设出弧长和半径，由周长得到弧长和半径的关系，再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式，再结合基本不等式从而可求出面积的最大值． 【详解】由题意知，， ， 当且仅当，即，时，达最大值， 此时． 当扇形的圆心角时，它的面积达到最大值. 59．（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的面积为，当扇形的圆心角为多大时，它的周长达到最小值？ 【答案】 【分析】扇形的面积公式，弧长公式以及周长的概念，利用均值不等式（，当且仅当时等号成立）来求解周长的最小值. 【详解】由题意知， ， 当且仅当，即时，周长达最小值，此时． 60．（2025高一·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 61．（2025高一·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 62．（2025高一·贵州遵义·阶段练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可； （2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 1．（2025高一·全国·课后作业）下面各组角中，终边相同的是（     ） A．390，690 B．，750 C．480， D．3000， 【答案】B 【分析】根据终边相同的角相差的整数倍可依次判断各个选项得到结果. 【详解】，    与终边不同，错误 ，    与终边相同，正确 ，    与终边不同，错误 ，    与终边不同，错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查终边相同的角的判定，属于基础题. 2．（2025高一·全国·课后作业）若角与角的终边相同，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得出，由此可计算出角的表达式. 【详解】因为角与角的终边相同，所以， 则，. 故选B. 【点睛】本题考查终边相同的角之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 3．（2025高一·全国·课后作业）若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果. 详解：若是第一象限角，则： 位于第一象限， 位于第二象限， 位于第四象限， 位于第三象限， 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度. 4．（2025高一·全国·课后作业）集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法来求得正确答案. 【详解】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z； 当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z. 故选：C 5．【多选】（2025高一·全国·课后作业）如果角与角的终边重合，角与角的终边重合，那么的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据终边相同的角的概念先表示出，然后可表示出，通过对赋值确定出的可能值. 【详解】由条件知，， 将以上两式相减消去，得， 当时，；当时，；当时，， 故选：ACD. 6．（2025高一·广东珠海·阶段练习）下列转化结果错误的是（    ） A．化成弧度是rad B．化成度是﹣600度 C．化成弧度是rad D．化成度是15度 【答案】C 【分析】根据弧度与角度之间的转化关系进行转化，判断选项即可． 【详解】，对于A，，A正确． 对于B，，B正确． 对于C:，C错误． 对于D:，故D正确． 故选：C. 7．（2025高三·全国·专题练习）若＝2kπ＋ (k∈Z)，则的终边在(　　) A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 【答案】D 【分析】由题意，求得，得出，分类讨论，即可求得的终边，得到答案． 【详解】由题意，可得，∴，∴， 当为奇数时，的终边在轴的非正半轴上， 当为偶数时，的终边在轴的非负半轴上，综上可知，终边在轴上，故选D． 【点睛】本题主要考查了角的终边的判定，其中解答中正确求解，分类讨论判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．（2025高一·广西南宁·阶段练习）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为，则 A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】：∵正八边形的内角和为（8-2）×180°=6×180°=1080°， 正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8-1080°=2880°-1080°=1800°， ∴ 故选B． 点睛：本题根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和，根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和，再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即得解，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求． 9．（2025高一·全国·假期作业）把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是（    ） A．－π B．－2π C．π D．－π 【答案】A 【分析】根据题意，进行书写，即可容易求得结果. 【详解】∵－π＝－2π＋ ＝2×(－1)π＋， ∴θ＝－π. 故选：. 【点睛】本题考查终边相同的角度的表示，属简单题. 10．（2025高一·全国·课后作业）如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，那么该弧所对的圆心角是原来的（    ） A． B．2倍 C． D．3倍 【答案】D 【分析】由弧长比半径等于圆心角的弧度数求解即可； 【详解】设圆原来的半径为r，弧长为l，则圆心角的弧度数为， 将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为，即弧度数变为原来的3倍． 故选：D. 11．（2025·湖南郴州·模拟预测）达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论． 【详解】解：依题意，设． 则． ，． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为． 则， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（2025高一·全国·课后作业）若角，把角逆时针旋转得到角，则 ． 【答案】 【分析】逆时针旋转得到的是正角，由此得到角，再求出即可. 【详解】∵角是由角逆时针旋转所得 ∴， ∴. 故答案为：. 13．（2025高一·全国·课后作业）集合，，则 ． 【答案】 【分析】解不等式，求出符合条件的整数的值，代入集合可得出中的元素，由此可得出集合. 【详解】由，得，即，又，所以的取值有、、、，因此，． 故答案为. 【点睛】本题考查两个角所表示的集合的交集运算，解题的关键就是要列出不等式求出整数的值，考查计算能力，属于基础题. 14．（2025高一·上海黄浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】分别考虑k取整数时集合A的情况，分类讨论求解. 【详解】当时， 当时，，当时，， 当时，， 综上所述：. 故答案为： 【点睛】此题考查求两个集合的交集，关键在于准确求出两个集合内的元素特征，分别讨论求解交集. 15．（2025高一·全国·课后作业）角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝ ． 【答案】150°＋k·360°，k∈Z 【解析】由α，β的终边关于y轴对称，结合α＝30°，得到β的终边与150°角的终边相同求解. 【详解】∵30°与150°的终边关于y轴对称， ∴β的终边与150°角的终边相同． ∴β＝150°＋k·360°，k∈Z． 故答案为：150°＋k·360°，k∈Z 16．（2025高一·全国·课后作业）已知角，都是锐角，且角的终边与角的终边相同，角的终边与角的终边相同，则 ， ． 【答案】 【分析】根据角，都是锐角，可得，，进而结合终边相同的角的特点求解即可. 【详解】因为角，都是锐角，所以，， 则，， 由题意可知，，， ，， 则，， 解得，. 故答案为：；. 17．（2025高一·云南玉溪·期中）我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么300密位等于 ； 【答案】 【分析】根据一个圆周分为6000等份，对应，列出等式，即可求得答案. 【详解】设300密位等于x，由题意得：， 解得， 故答案为： 18．（2025高一·全国·课后作业）如果圆心角为的扇形所对的弦长为，则扇形的面积为 . 【答案】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】如下图所示，作，已，，则，， 设扇形的半径为，则， 因此，该扇形的面积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查扇形面积的计算，求出扇形的半径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 19．（2025高一·全国·课后作业）勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积为 . 【答案】 【分析】勒洛三角形的面积为个圆心角为的扇形面积减去个正三角形面积，即可得解. 【详解】因为，，所以，是边长为的等边三角形， 所以，， 易知勒洛三角形的面积为个圆心角为的扇形面积减去个正三角形面积， 故勒洛三角形的面积为. 故答案为：. 20．（2025高一·全国·课前预习）已知，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)之间的角． 【答案】(1) (2) (3)、、 【分析】（1）写出与角终边相同的角为，取可得出在与终边相同的角中最小的正角； （2）取可得出在与终边相同的角中最大的负角； （3）分别取、、，可得出在与终边相同的角中，在之间的角． 【详解】（1）解：与角终边相同的角为， 当时，，当时，， 故在与终边相同的角中，最小正角为. （2）解：由（1）可知，在与终边相同的角中，最大的负角为. （3）解：与角终边相同的角为， 当时，；当时，，当时，； 当时，；当时，. 因此，在与终边相同的角中，在之间的角为、、. 21．（2025高一·全国·课后作业）已知如图． （1）写出终边落在射线、上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合． 【答案】（1）终边落在射线上的角的集合为，终边落在射线上的角的集合为； （2）. 【解析】（1）利用终边相同的角的定义可分别写出终边落在射线、上的角的集合； （2）利用终边落在射线、上的角的集合可写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合. 【详解】（1）终边落在射线上的角的集合是， 终边落在射线上的角的集合； （2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是. 【点睛】本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用． 22．（2025高一·全国·课后作业）如图，点在半径为且圆心在原点的圆上，且，点从点处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点在秒内转过的角度为，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点，求，并判断所在的象限． 【答案】θ的值为或，θ在第一象限或第二象限． 【解析】根据题意可知，,且 即可解得的值，确定所在的象限. 【详解】根据题意知， 秒钟后，点在角的终边上，所以， 又， 即， 所以. 又，所以或， ∴所求的的值为或. ∵0°<<90°，90°<<180°， ∴在第一象限或第二象限． 【点睛】本题主要考查终边相同的角，以及角的象限的确定，属于基础题. 23．（2025高一·全国·课后作业）如图，已知长为，宽为的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为，求点走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积. 【答案】，. 【分析】由弧长、面积公式计算各段弧长、面积，相加可得． 【详解】解：由题意可得，第一段弧长，面积； 第二段弧长，面积， 第三段弧长，面积， 点走过的弧的总长为，走过的弧所对应的扇形的总面积． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $