专题三 圆中求阴影部分面积的方法（方法思路+题型分类解析+拓展应用）2025-2026学年人教版九年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题三 圆中求阴影部分面积的方法（方法思路+题型分类解析+拓展应用）(解析版) 求解圆中的阴影部分面积需要掌握一些核心方法和典型题型。下面为你梳理了四种主要方法、对应的典型例题及解题策略，希望能帮助你更系统地应对这类问题 方法名称 核心思路 适用场景 公式法 阴影部分是规则图形（如扇形、环形），直接代入面积公式计算。 扇形、半圆、四分之一圆等规则图形。 和差法 将不规则阴影面积视为几个规则图形面积的和或差。 图形由基本图形拼接或挖去一部分形成。 等积变换法 通过平移、旋转、对称将阴影部分等面积转换为规则图形。 图形分散，可通过移动拼合成规则形状。 容斥原理法 阴影由几个图形重叠形成，计算各部分面积之和减去重叠部分面积。 图形边界复杂，存在明显重叠区域。 1. 公式法 当阴影部分本身就是一个规则的几何图形时，这是最直接的方法。 关键：识别出阴影部分是扇形、环形或其一部分。 公式：扇形的面积S==lr 2. 和差法 这是解决阴影面积问题最常用的方法。它又分为两种： 直接和差法：阴影部分可以直接看作是由一个规则图形减去或加上另一个规则图形得到。 构造和差法：有时需要添加辅助线，将原图形分割或补全成规则图形，再进行和差计算。 3. 等积变换法 当阴影部分分散或不规则时，通过图形变换将其“移动”到一起，构成一个我们熟悉的规则图形。 常用技巧：旋转、平移、对称。 4. 容斥原理法 当阴影部分明显由两个或多个基本图形重叠而成时，此方法非常有效。 核心公式：S阴影=S图形1​+S图形2−S重叠部分。 1. 公式法 例1．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积等于弧长与半径乘积的一半即可判断求解，掌握扇形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为，则，， ∵，， ∴， 故选：． 针对训练1 1．如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及扇形面积公式，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先利用三角形外角性质求出，再由等腰三角形性质得出，进而求出圆心角，最后根据扇形面积公式计算扇形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的扇形面积， 故答案为：． 2．如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】， ， ． 故答案为：． 3．如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，与边相交于点，连接，且． (1)求证：为的切线； (2)若当点E为的中点时，的半径为1，求扇形的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，利用等角代换证明，从而得到，即证为的切线； （2）过点作，当点为的中点时，可证为等边三角形，从而得到，，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ∵矩形， ∴ ∴， ， ， ，又为的半径， 为的切线； （2）解：由题意，在中，当点为的中点时， ∴ ∵， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，掌握相关性质与判定是解题的关键． 4．如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长度是15厘米．求阴影部分的面积（取） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和扇形面积公式的综合应用，解题的关键是通过弧长求出扇形的半径，再利用两个扇形的面积差计算阴影部分的面积． 先根据弧的长度和圆心角求出扇形的半径再结合的长度求出扇形的半径最后分别计算扇形和扇形的面积，两者的差值即为阴影部分的面积． 【详解】解：设扇形的半径为r厘米（即则扇形的半径厘米． 已知扇形和扇形的圆心角均为（因点O、C、A共线，圆心角相同）． 根据弧长公式（其中l为弧长，n为圆心角，r为半径），弧的长度为厘米，代入得： 化简求解： 即 ∴ 即厘米． 厘米 阴影部分面积=扇形的面积-扇形的面积． 根据扇形面积公式，代入数据： 扇形的面积：平方厘米 扇形的面积：平方厘米 阴影部分面积：平方厘米 答：阴影部分的面积是平方厘米． 2. 和差法 例2．如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中扇形面积计算，弧长的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握圆中阴影面积的常见计算方法是解题的关键．连接，，，设半圆的半径为r，先证明和是等边三角形．得出，可得，则， 则，即可求出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，设半圆的半径为r， ∵C，D是以为直径的半圆上的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴和是等边三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长度为， 故选：C． 针对训练2 1．追本溯源 题（1）来自于课本中的练习，请你完成解答，并利用（1）中的结论完成题（2）． (1)如图1， 是的弦，半径 求 的面积． 结论应用 (2)如图2，点A，B，P在半径为的上， ，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积公式以及圆周角定理．解题关键是熟练掌握圆周角定理． （1）作垂线，将分两个直角三角形，利用直角三角形性质求、，再用面积公式计算． （2）由圆周角定理得，求扇形面积，减去（1）中面积的阴影面积． 【详解】（1）解：如图1，过点 O 作(于点 C， 由勾股定理得， ∴的面积 ． （2）如图2，点O 为的圆心，连接，， ∵， ∴， ， 由(1)可得的面积， ． 2．如图，已知的直径，内接于，且，延长至点G，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出相等的角，证明，得出对应角相等，根据垂径定理得出直角，即可得出结论； （2）根据圆周角和圆心角的关系求出，利用锐角三角函数求出，利用三角形的面积和扇形的面积差即可求解． 【详解】（1）证明：连接，连接交于点M， ， ， ， ， ， ， ， 于点M， ， 于点C， 又∵点C在上， ∴直线CG是的切线； （2）解：， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边对等角，平行线的判定和性质，切线的判定，圆周角和圆心角的关系，锐角三角函数，扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 3．如图，在中，， 的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线的性质，可证明，所以，即可判断及证明结论； （2）根据圆周角定理可证明，然后根据直角三角形的性质可证明，再根据勾股定理可求得，最后根据阴影部分的面积及扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切； 理由如下： 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 而为半径， 直线与相切； （2）解：， ， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， 阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积计算，熟练掌握圆的切线的判定及扇形的面积计算是解题的关键． 4．如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，根据等边三角形的性质得到，， ， ，得到，推出，根据扇形和三角形的面积公式可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    是的直径， ．     ， ． ．     ， ． 平分， ． ． ．     是的半径，               是的切线． （2）解：， ． ，即OD⊥BC， ∴CF＝BF．     ， ． ，． 是等边三角形．     ，，． ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键∶ 3. 等积变换法 例3．如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点E是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 针对训练3 1．如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，求出，，得出，所以． 【详解】解：如图，， ∵是直径， ∴， 又∵ ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴ 故选：D． 2．如图，是半圆的圆心，厘米，涂色部分的面积是( )厘米． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，扇形的面积，连接，可得，，即得，进而得到，再根据扇形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴(厘米)， 故答案为：． 3．如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，将不规则图形面积进行组合是解决问题的关键．根据图形得出，再由旋转的性质得出，确定，利用扇形公式求解即可． 【详解】解：直径的半圆，绕点顺时针旋转， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 4．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积 以为直径的半圆的面积扇形的面积”即可求解． 【详解】解： ． 故答案为． 4. 容斥原理法 例4．如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧；以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据题意和图形，可以分别计算出和的值，然后用即可得到的值，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图， 由，， ∴ ， 故选：． 针对训练4 1．如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 2．如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，阴影部分的面积为，结合已知代入计算即可． 本题考查了阴影面积计算，扇形面积公式，适当分割表示阴影面积是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故, 故阴影部分的面积为 ． 故答案为：或． 3．如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解． 利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解． 【详解】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为；两块空白分别为，连接，如图所示： 由已知得：三角形为等腰直角三角形，， ∵为直径， ∴，即， 故， ∴点为中点，由对称性可知与弦围成的面积与相等． 设，， 则， 其中， ， 故：， 即， 所以：（舍去）， 故答案为：． 4．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 1．如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 2．如图，为的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C作延长线的垂线，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由已知条件得出，由圆周角定理得出，证出，再由已知条件得出，即可证出是的切线； （2）由，得到，进而证到，得到 ，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，， C、D是半圆的三等分点， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的基本性质及切线的判定以及扇形面积的计算，熟知圆的性质是解题的关键． 3．如图为的直径，且，点C是弧上的一动点（不与A，B重合），过点B作的切线交的延长线于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）如图：连接，先由切线的性质得，由为的直径，得，因为点E是的中点，所以，可证明得，即可证明结论； （2）先由、求得，由圆周角定理得，再根据三角形的中位线定理证明得，由得，则，根据勾股定理求得，即可由求出图中阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：如图：连接， 与相切于点B， ， ， 是的直径， ， ， 点E是的中点， ， ，， ， ， 经过的半径的外端，且， 是的切线． （2）解：，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分面积 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．如图，四边形内接于，为的直径，，，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）延长至点，使，连接，根据圆内接四边形对角互补和邻补角的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，从而可得，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，设，，利用勾股定理可求的长度； （2）连接，可证是等腰直角三角形，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可求阴影的面积． 【详解】（1）解：如下图所示，延长至点，使，连接， 四边形是圆内接四边形，   ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 过点作于点，则， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：， ； （2）解：如下图所示，连接， ， ， 又，， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、圆内接四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质解决问题． 5．如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空： °； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2)与相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论； （2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：弦于，是的直径， ， ， 故答案为：30； （2）解：与相切， 理由如下： 连接，如图所示： 弦于，是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）解：是的直径， ， ，， ， ， 连接，如图所示： 点是的中点， ， ， 是的中位线， ，， ， ， ， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．如图1，的半径为，平行四边形的顶点A，B，C在上，． (1)求证：是的切线； (2)若也与相切，求证：四边形是菱形； (3)如图2，与相交于点E，连接于，当时，求平行四边形的对角线的长及阴影部分图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）如图1，连接延长交于点M，利用线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质可得，则结论得证明； （2）先根据切线的性质得，再证，由菱形的判定可得结论； （3）如图3，连接，过点C作于G，过点E作于N，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆内接四边形的性质可得：，再由含角的直角三角形的性质分别计算，，最后由阴影部分图形的面积可得结论． 【详解】（1）如图1，连接，延长交于点M， ∵， ∴是的垂直平分线，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）如图2，连接， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形； （3）如图3，连接，过点C作于G，过点E作于N， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 中，∵， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 中，∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积 ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；线段垂直平分线的性质，圆内接四边形的性质，扇形的面积，平行四边形的性质等知识，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 7．问题提出 （1）如图1，的半径为，弦，是弦所对的优弧上的一个动点，求图中阴影部分的面积之和的最小值． 问题解决 （2）如图2，这是某市的一个面积为的圆形宾馆示意图．点为圆心，宾馆设计图纸中有一个四边形区域，连接，其中等边为接待区域，为休息区域，当点在的什么位置上时，四边形区域的面积最大？并求出最大值． 【答案】（1）（2）当为的中点时，四边形区域的面积最大，最大值为 【分析】（1）连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，阴影部分的面积之和最小，由此进行计算即可得出答案； （2）连接，设相交于点，由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，由等边三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，结合为的中点，得出从而得到四边形是菱形，求出，，，，最后根据进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，阴影部分的面积之和最小， ， 的半径为，，， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积之和的最小值为； （2）如图2，连接，设相交于点， 由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大， 是等边三角形， ，， 是的直径， ， ， 为的中点， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 在中，，， ， ， 故当为的中点时，四边形区域的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查圆的综合运用，涉及扇形面积的计算、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8．在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；② (3)见解析 【分析】（1）①利用圆的面积公式计算，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积计算； ②利用参考数据计算近似值再比较即可； （2）①依题意补全方案3的示意图即可； ②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可； （3）作等边，首先让点B在上运动，点A在的延长线上，运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明． 【详解】（1）解：①由依题意得：， ， ∴ 又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长． ∴ 故答案是：，； ②∵，，， ∴； （2）①依题意补全方案3的示意图如下：    ②连接，M为切点，则的中点，    设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． （3）设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．    对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时， 又作，则 依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为， 则有，F为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型分类精析 拓展应用 解题思路梳理 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题三 圆中求阴影部分面积的方法（方法思路+题型分类解析+拓展应用） 求解圆中的阴影部分面积需要掌握一些核心方法和典型题型。下面为你梳理了四种主要方法、对应的典型例题及解题策略，希望能帮助你更系统地应对这类问题 方法名称 核心思路 适用场景 公式法 阴影部分是规则图形（如扇形、环形），直接代入面积公式计算。 扇形、半圆、四分之一圆等规则图形。 和差法 将不规则阴影面积视为几个规则图形面积的和或差。 图形由基本图形拼接或挖去一部分形成。 等积变换法 通过平移、旋转、对称将阴影部分等面积转换为规则图形。 图形分散，可通过移动拼合成规则形状。 容斥原理法 阴影由几个图形重叠形成，计算各部分面积之和减去重叠部分面积。 图形边界复杂，存在明显重叠区域。 1. 公式法 当阴影部分本身就是一个规则的几何图形时，这是最直接的方法。 关键：识别出阴影部分是扇形、环形或其一部分。 公式：扇形的面积S==lr 2. 和差法 这是解决阴影面积问题最常用的方法。它又分为两种： 直接和差法：阴影部分可以直接看作是由一个规则图形减去或加上另一个规则图形得到。 构造和差法：有时需要添加辅助线，将原图形分割或补全成规则图形，再进行和差计算。 3. 等积变换法 当阴影部分分散或不规则时，通过图形变换将其“移动”到一起，构成一个我们熟悉的规则图形。 常用技巧：旋转、平移、对称。 4. 容斥原理法 当阴影部分明显由两个或多个基本图形重叠而成时，此方法非常有效。 核心公式：S阴影=S图形1​+S图形2−S重叠部分。 1. 公式法 例1．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 针对训练1 1．如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ． 2．如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积为 ． 3．如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，与边相交于点，连接，且． (1)求证：为的切线； (2)若当点E为的中点时，的半径为1，求扇形的面积（结果保留）． 4．如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长度是15厘米．求阴影部分的面积（取） 2. 和差法 例2．如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（　　） A． B． C． D． 针对训练2 1．追本溯源 题（1）来自于课本中的练习，请你完成解答，并利用（1）中的结论完成题（2）． (1)如图1， 是的弦，半径 求 的面积． 结论应用 (2)如图2，点A，B，P在半径为的上， ，求图中阴影部分的面积． 2．如图，已知的直径，内接于，且，延长至点G，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 3．如图，在中，， 的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）． 4．如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 3. 等积变换法 例3．如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 针对训练3 1．如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 2．如图，是半圆的圆心，厘米，涂色部分的面积是( )厘米． 3．如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为 ． 4. 容斥原理法 例4．如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧；以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 针对训练4 1．如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 2．如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 3．如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则 ． 4．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 1．如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 2．如图，为的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C作延长线的垂线，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 3．如图为的直径，且，点C是弧上的一动点（不与A，B重合），过点B作的切线交的延长线于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分面积． 4．如图，四边形内接于，为的直径，，，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 5．如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空： °； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 6．如图1，的半径为，平行四边形的顶点A，B，C在上，． (1)求证：是的切线； (2)若也与相切，求证：四边形是菱形； (3)如图2，与相交于点E，连接于，当时，求平行四边形的对角线的长及阴影部分图形的面积． 7．问题提出 （1）如图1，的半径为，弦，是弦所对的优弧上的一个动点，求图中阴影部分的面积之和的最小值． 问题解决 （2）如图2，这是某市的一个面积为的圆形宾馆示意图．点为圆心，宾馆设计图纸中有一个四边形区域，连接，其中等边为接待区域，为休息区域，当点在的什么位置上时，四边形区域的面积最大？并求出最大值． 8．在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 题型分类精析 拓展应用 解题思路梳理 学科网（北京）股份有限公司 $