4.5函数的应用（二）12题型分类讲义（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练（人教A版必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.5函数的应用（二）12题型分类 1、函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. 2、方程的解与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. 3、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f(－1)f(1)＝－1×1<0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c. (3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (4)函数零点存在定理是不可逆的，由f(a)f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0. (5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解． 4、二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 注：（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法． （2）用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量． （3）二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值． （4）由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，常取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间为[1.25,1.34]，若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34. （5）在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)f(b)<0. （6）由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解． 6、函数模型的应用 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 7．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． 8．有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据求出的值回答其实际意义． 9．数据拟合 (1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2)数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验． （一） 求函数的零点 求函数零点的方法 函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常用以下两种方法： (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　　　 题型1：求函数的零点 1．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 2．（2025高二·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025高二·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025高一·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （二） 判断函数零点的个数 判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法 (1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数． (2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． (3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．　 题型2：判断函数零点的个数 6．（2025高三·四川·学业考试）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三·四川广元·阶段练习）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（25-26高三·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（25-26高一·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26高三·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 11．（2025高二·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象和函数的图象的交点个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （三） 判断零点所在的区间 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 注：函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 题型3：判断零点所在的区间 13．（25-26高三·陕西·阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）方程在下列哪个区间内有实数解（　　） A． B． C． D． 15．（25-26高二·山西·开学考试）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三·河北保定·开学考试）下列区间中，函数存在零点的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 18．（2025高一·山东潍坊·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 19．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． （四） 函数零点性质的应用 1、已知函数有零点(方程有根)，求参数值常用的方法和思路 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数取值范围; (2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解. 2、一元二次方程根的分布问题关注三个方面：①判别式；②对称轴的范围；③区间端点的函数值的正负.　 题型4：已知零点个数求参数的取值范围 20．（25-26高三·宁夏银川·阶段练习）函数有且只有一个零点的充要条件是（　　） A． B．或 C． D． 21．（2025高一·浙江杭州·期中）若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知函数 为偶函数，且 ，若方程 有六个不同的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高三·重庆·开学考试）已知函数 若关于x的方程 有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 （    ）. A． B．（0，1] C． D．[1，+∞） 26．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5：已知零点所在区间求参数的取值范围 27．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程的两根都是正数，则实数的取值范围是（    ）． A．或 B． C． D． 28．（25-26高一·全国·单元测试）若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（2025高一·辽宁盘锦·期中）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 30．（2025高一·吉林·阶段练习）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 31．（2025高三·重庆·期中）已知实数，且，若函数在上存在零点，则（   ） A． B． C． D． 32．（2025高一·内蒙古赤峰·期中）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6：比较零点的大小 33．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则正实数（    ） A． B． C． D． 34．（2025高三·全国·专题练习）已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 35．（2025高二·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 36．（2025高一·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 37．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 38．（2025高一·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 题型7：求零点之和 39．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 40．（2025高一·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 41．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 42．（2025高二·安徽合肥·期末）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．（2025高一·山西·阶段练习）已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 44．（2025高一·甘肃兰州·期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（   ） A．1 B． C． D．0 （五） 二分法的概念 1、二分法的概念 判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 2、二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　 题型8：二分法的概念的应用 46．（2025高三·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   47．（2025高一·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 48．（2025高一·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 49．（2025高一·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 50．（2025高一·全国·课后作业）下列函数不宜用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． （六） 用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 1、利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 2、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　 题型9：用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 51．（2025高一·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 52．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 53．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 54．（辽宁省部分示范性高中2025届高三学期4月模拟联合调研数学试题）已知函数，用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 55．（2025高一·上海·阶段练习）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 56．（2025高一·福建漳州·期末）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 （七） 指数型模型的应用 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 注；函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． 题型10：指数型模型的应用 57．（2025高一·陕西西安·期中）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为（    ） A．16小时 B．24小时 C．36小时 D．72小时 58．（2025高一·河南南阳·期末）Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ） A．35 B．36 C．40 D．60 （八） 对数函数模型的应用 (1)形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)对于对数型函数模型问题，关键在于熟练掌握对数函数的性质，在认真审题的基础上，分析清楚底数a与1的大小关系，要关注自变量的取值范围． 借助于数学模型解决数学问题的同时，实际问题也得以顺利解决，这就是函数模型的作用． 注：对数函数应用题的基本类型和求解策略： (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　　　 题型11：对数函数模型的应用 59．（2025高二·北京密云·期末）单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：.其中，分别为火箭结构质量和推进剂的质量.是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为.则火箭发动机的喷气速度约为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 60．（2025高二·广西河池·阶段练习）燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（    ） A．30 B．60 C．40 D．80 61．（2025·陕西咸阳·模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：（其中为样本距今年代，为现代活体中碳14放射性丰度，为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度，该人类骨骼碳14放射性丰度，则该骨骼化石距今的年份大约为（    ）（附：，，） A．3353 B．3997 C．4125 D．4387 62．（2025高一·上海静安·期中）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度y (单位：km/min) 和候鸟每分钟耗氧量的单位数x，满足关系式其中常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差. (1)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位?(答案四舍五入到整数) (2)若雄鸟的飞行速度为1.5km/ min，雄鸟的飞行速度为1km/ min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍? ， （九） 建立拟合函数模型解决实际问题 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤如下： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 题型12：建立拟合函数模型解决实际问题 63．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一套机器人，包括三个：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.已知每套吉祥物的进价为元，其中与进货量成反比，当进货1万套时，为9元，据市场调查，当每套吉祥物的售价定为元时，销售量可达到万套，若展销的其他费用为1万元，且所有进货都销售完. (1)每套吉祥物售价定为70元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)当为多少时，每套吉祥物的净利润最大？ 64．（2025高一·福建漳州·期中）购买某种机器时可同时购买维修服务，购买次维修服务的总费用为元，．购买1次维修服务的总费用为150元，购买2次维修服务的总费用为250元，当时，的图象上所有点都在同一条直线上；当时，的图象上所有点都在函数的图象上． (1)求的解析式； (2)问：购买几次维修服务能使平均每次的维修费用最少？ 65．（2025高一·全国·随堂练习）试根据下面的“某水库蓄水量与水深的对照表”，分析水库的蓄水量y（单位：m3）随水深x（单位：m）变化的趋势，并用图象表示出来，据此估计蓄水量为2000000 m3时的水深． 水深/m 0 5 10 15 20 25 30 35 蓄水量/ m3 0 200000 400000 900000 1600000 2750000 4375000 6500000   当从变到时，存水量关于的平均变化率为： ， 实际意义是水深为之间，水深每增加，则蓄水量增加， 则，解得， 所以当蓄水量为时，水库的水深大约是． 66．（2025高一·浙江台州·期末）某工厂需要制作1200套桌椅（每套桌椅由1张桌子和2张椅子组成）．工厂准备安排100个工人来完成，现将这100个工人分成两组，一组只制作桌子，另一组只制作椅子．已知每张桌子和每张椅子制作的工程量分别为7人1天和2人1天若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？ 1．（2025高一·全国·单元测试）若函数 (a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 2．（2025高三·江苏·阶段练习）关于函数，其中，，给出下列四个结论： 甲：6是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点； 丙：该函数的零点之积为0； 丁：方程有两个根. 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2025高一·天津宁河·阶段练习）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·课后作业）若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·课后作业）用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间内,当(ε为精确度)时,函数零点的近似值与真实零点的误差最大不超过 A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·课后作业）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（    ） A． B． C． D． 7．【多选】（2025高一·全国·课后作业）（多选题）下列关于函数，的说法错误的是（　　） A．若且满足，则是的一个零点 B．若是在上的零点，则可用二分法求的近似值 C．函数的零点是方程的根，但的根不一定是函数的零点 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 8．（2025高一·湖南·阶段练习）是我们熟悉的无理数，在用二分法求的近似值的过程中，可以构造函数，我们知道，所以，要使的近似值满足精确度为0.1，则对区间至少二等分的次数为 A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025高一·江苏连云港·期中）设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（    ）内 A． B． C． D．不能确定 10．（2025·福建）若函数的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 A． B． C． D． 11．【多选】（2025高一·全国·课后作业）若函数图象是连续不断的，且，，则下列命题不正确的是（    ） A．函数在区间内有零点 B．函数在区间内有零点 C．函数在区间内有零点 D．函数在区间内有零点 12．（2025高一·全国·课后作业）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．36万件 B．22万件 C．18万件 D．9万件 13．（2025高一·辽宁大连·期中）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时 14．（2025高三·陕西西安·期中）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于　　 A．16 B．20 C．32 D．90 15．（2025·全国III卷）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 16．（2025高一·全国·课后作业）某工厂12年来某产品总产量S与时间t（年）的函数关系如图所示 ①前三年总产量增长的速度越来越快 ②前三年总产量增长的速度越来越慢 ③第3年后至第8年这种产品停止生产了 ④第8年后至第12年间总产量匀速增加 其中正确的说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2025高一·全国·课后作业）2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生，采取宏观调控，对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价（单位：元/斤）与时间x（单位：月）的数据如下： x 8 9 10 11 22．00 23．99 24．00 25．02 现有三种函数模型：；；，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为（　　） A．28元/斤 B．25元/斤 C．23元/斤 D．21元/斤 26．（2025高一·山东青岛·期中）专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ） (参考数据：) A． B． C． D． 27．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点为 . 28．（2025高一·全国·课后作业）方程的根，，则 ． 29．（2025高一·全国·课后作业）若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是 ． 30．（2025高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x2－bx＋3． （1）若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为 ． （2）若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为 ． 31．（2025高一·全国·课后作业）函数有零点，但不能用二分法求出，则的关系是 . 32．（2025高一·北京·期中）用二分法求的近似解，，，，，下一个求，则 ． 33．（2025·四川雅安·模拟预测）若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为 ． 34．（2025高三·湖北武汉·期中）已知函数，则函数的零点个数为 . 35．（2025高一·全国·课后作业）如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子. （1）求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域； （2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确度为0.1 cm)? 40．（2025高一·全国·课后作业）已知函数为上的连续函数． （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． （2）若，判断在上是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由． 41．（2025高一·四川乐山·期末）为推动治理交通拥堵、停车难等城市病，不断提升城市道路交通治理能力现代化水平，乐山市政府决定从2021年6月1日起实施“差别化停车收费”，收费标准讨论稿如下：A方案：首小时内3元，2-4小时为每小时1元(不足1小时按1小时计)，以后每半小时1元(不足半小时按半小时计)；单日最高收费不超过18元．B方案：每小时1.6元 (1)分别求两个方案中，停车费y(元)与停车时间(小时)之间的函数关系式； (2)假如你的停车时间不超过4小时，方案A与方案B如何选择？并说明理由． (定义：大于或等于实数x的最小整数称为x的向上取整部分，记作，比如：，) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.5函数的应用（二）12题型分类 1、函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. 2、方程的解与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. 3、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f(－1)f(1)＝－1×1<0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c. (3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (4)函数零点存在定理是不可逆的，由f(a)f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0. (5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解． 4、二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 注：（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法． （2）用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量． （3）二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值． （4）由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，常取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间为[1.25,1.34]，若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34. （5）在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)f(b)<0. （6）由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解． 6、函数模型的应用 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 7．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． 8．有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据求出的值回答其实际意义． 9．数据拟合 (1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2)数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验． （一） 求函数的零点 求函数零点的方法 函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常用以下两种方法： (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　　　 题型1：求函数的零点 1．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【分析】直接解方程即得函数的零点. 【详解】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D 2．（2025高二·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】令，结合对数解方程即可得结果. 【详解】令，即， 可得，即， 所以函数的零点是0. 故选：A. 3．（2025高二·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 4．（2025高一·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据指对数转化计算求解. 【详解】由题意可得，即， 则，故. 故选：D. 5．（2025高一·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将两函数的零点分别转化为函数与交点A的横坐标以及函数与交点B的横坐标，再由函数与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称得关于直线对称即可得解. 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为A， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与 的图象关于直线对称， 所以关于直线对称， 所以. 故选：B. （二） 判断函数零点的个数 判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法 (1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数． (2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． (3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．　 题型2：判断函数零点的个数 6．（2025高三·四川·学业考试）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【详解】因为，，且函数在上单调递增，令，解得，所以函数只有一个零点. 故选：B. 7．（25-26高三·四川广元·阶段练习）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数，分别画出函数图象即可判断. 【详解】， 令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数. 画出函数图象， 如图可知两个函数的图象的交点个数为1个， 即方程的实根个数为1个. 故选：B. 8．（25-26高三·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【详解】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C 9．（25-26高一·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【详解】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 10．（25-26高三·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 11．（2025高二·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 12．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象和函数的图象的交点个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】作出函数和的图象，结合图象可得答案. 【详解】作出函数和函数的图象， 而，故当时，的图像没有交点， 结合图象可得此时交点个数为2个. 故选：C. （三） 判断零点所在的区间 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 注：函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 题型3：判断零点所在的区间 13．（25-26高三·陕西·阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在区间是. 故选：B 14．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）方程在下列哪个区间内有实数解（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 且，， 因此在内有零点， 故方程在内有实数解， 故选：B 15．（25-26高二·山西·开学考试）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，再结合函数的零点存在定理进行求解． 【详解】函数在区间上单调递增， ， ，得， 所以函数的零点在区间内． 故选：B 16．（25-26高三·河北保定·开学考试）下列区间中，函数存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段讨论，通过求函数值的范围和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【详解】当时，，不存在零点. 当时，，由，可得. 因为，所以的零点在区间内. 故选：A. 17．（25-26高一·全国·课前预习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理即可判断. 【详解】的定义域为． 因为和均在上单调递减，所以也在单调递减． 又，，，则，故零点位于区间内． 故选：B 18．（2025高一·山东潍坊·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而， 则，由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为. 故选：C 19．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的性质判断函数在内单调递增，最多有一个零点，分别计算选项中涉及区间的函数值，根据判断区间内存在零点. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 在单调递增，即最多有一个零点. 的零点位于区间 故选：C. （四） 函数零点性质的应用 1、已知函数有零点(方程有根)，求参数值常用的方法和思路 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数取值范围; (2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解. 2、一元二次方程根的分布问题关注三个方面：①判别式；②对称轴的范围；③区间端点的函数值的正负.　 题型4：已知零点个数求参数的取值范围 20．（25-26高三·宁夏银川·阶段练习）函数有且只有一个零点的充要条件是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为当时，无零点，再分和两种情况讨论即可. 【详解】当时，得； 因有且只有一个零点， 故时，无零点，即在上无实根， 当时，方程显然无实根； 当时，，得， 综上，有且只有一个零点的充要条件是或. 故选：B 21．（2025高一·浙江杭州·期中）若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】令，则，结合对勾函数的性质求区间值域，再由交点情况，即自变量个数确定参数范围，即可得. 【详解】由，令，则， 由在上单调递减且值域为，在上单调递增且值域为， 所以在上值域为，在上的值域为， 则时，有2个不同的对应值，此时有3或4个不同值， 时，有1个对应值，此时有2个不同值， 要使函数的图象与直线有两个交点，则，最小. 故选：B 22．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知函数 为偶函数，且 ，若方程 有六个不同的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，再作出函数图象，数形结合即可得到范围. 【详解】当时，；当时，, 则当时，， 令，则，方程有6个不同实根， 即直线与函数的图象有6个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得当且仅当时直线与函数的图象有6个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A 23．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得， 故选：D. 24．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案. 【详解】令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，，其在定义域内单调递减，令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和， 由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求， 此时，故，令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为，，1，2，4， 所以最大整数解和最小整数解之积为． 故选：A． 25．（25-26高三·重庆·开学考试）已知函数 若关于x的方程 有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 （    ）. A． B．（0，1] C． D．[1，+∞） 【答案】C 【分析】由得：.所以或.作出函数 的简图，结合图象判断即可.特别注意:要单独分析当时的情形. 【详解】   函数 的简图如上. 由得：. 当 时，.如图所示，函数图象与直线有3个交点，说明此时方程有3个不相等的实数根.不合题意.所以不等于0. 所以或. 因为关于x的方程 有7个不相等的实数根，方程有3个不相等的实数根，所以方程有4个不相等的实数根，即函数图象与直线有4个不同的交点. 结合函数的简图，可得，所以.所以实数a的取值范围是. 故选：C. 26．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知研究、的性质并画出它们的大致图象，应用数形结合研究交点个数求参数范围即可. 【详解】由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而在、上单调递减，在、上单调递增， 当直线与曲线相切时，联立得， 令，得， 依题意，作出与的图象，如图所示， 由图知， ①当时，且， 函数的图象与的图象无交点，不满足题意， ②当时，且， 函数的图象与的图象仅交于点，不满足题意， ③当时，若时， 若时， 要使方程恰有2个不同的实数根，则的图象与轴的交点在点左侧，只需，， 而时有3个不同实根，时有4个不同实根， ④当时，由上函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意， ⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意， 综上，的取值范围为． 故选：D 题型5：已知零点所在区间求参数的取值范围 27．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程的两根都是正数，则实数的取值范围是（    ）． A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，结合函数图象，从对称轴、判别式、特殊点的函数值三个角度列不等式求解即可得. 【详解】设， 根据题意，作出的图象(如图). 则，即， 解得或．    故选：A. 28．（25-26高一·全国·单元测试）若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】令，方程的一个根小于1，另一个根大于1， ，解得， 实数的取值范围是． 故选：D. 29．（2025高一·辽宁盘锦·期中）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据函数的零点个数分类讨论，再结合零点存在性定理，解不等式组确定参数取值范围. 方法二：对解析式变形，在统一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合法求解. 【详解】解法一： 当函数只有一个零点且在区间内时， ； 当函数有两个零点时，，解得或， 当时，显然在上恒成立，此时无内的零点， 当时，又在内只有一个零点，则或或， 即或或， 解得或或． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C. 解法二： 由，得，又，所以， 所以， 令，，，要使在区间内只有一个零点， 只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示， 由图可知或，解得或， 所以的取值范围是． 故选：C. 30．（2025高一·吉林·阶段练习）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，分别根据没有零点，结合指数函数与对数函数的性质求出的范围，再求交集可得答案． 【详解】因为， 时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 因为函数在上没有零点， 所以． 故选：D． 31．（2025高三·重庆·期中）已知实数，且，若函数在上存在零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、进行讨论，结合的单调性与零点的存在性定理可判断A，亦可得，由结合对数函数性质进行分析可判断B、C、D. 【详解】当时，易得在上单调递增， 则需，与矛盾，故舍去， 当时，易得在上单调递减， 则需，，故A正确； 由，则，故B错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 32．（2025高一·内蒙古赤峰·期中）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在上的单调性，判断唯一零点，得到不等式组，求解参数范围. 【详解】由，可知在上单调递增， 因为在上存在零点， 所以在上存在唯一零点， 所以，即， 解得. 故选：A 题型6：比较零点的大小 33．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则正实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数图象的交点，画出图象数形结合即可. 【详解】分别作出函数，，，的图象如图所示， 其中是和图象交点的横坐标， 是和图象交点的横坐标， 是和图象交点的横坐标，由图可得．    故选：B 34．（2025高三·全国·专题练习）已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一直角坐标系中作出函数的图象，将方程实根转化为 “函数图象交点的横坐标”，即可得到答案. 【详解】由已知，即， 在同一坐标系中作出函数的图象，如下：    观察图象，易得. 故选：A． 35．（2025高二·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【详解】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 36．（2025高一·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． 37．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图像交点的横坐标，最后通过比较函数图像交点的位置来确定、、的大小关系. 【详解】设，由此， 分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像， 分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为， 由图可知. 故选：A. 38．（2025高一·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 题型7：求零点之和 39．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】先求解方程的根，再求和即可求解. 【详解】当时，由，得 当时，由，得或， 所以四个零点和为， 故选：D 40．（2025高一·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 41．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【详解】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 42．（2025高二·安徽合肥·期末）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得，，和，方程的解，进而得到答案. 【详解】当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得， 如图所示，所以方程只有两个根，分别为和，所以两根之和为 故选：A.    43．（2025高一·山西·阶段练习）已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据已知有或，数形结合确定零点个数及其数量关系，进而求零点的和，最后求函数值. 【详解】关于的方程，解得或， 由函数图象如下， 当时，原方程有三个实根，其中一个根为，另两个根关于直线对称，则； 当时，原方程有两个实根，设为，，这两个根关于直线对称，则． 所以原方程一共有5个不同的实根， 所以， 故选：B 44．（2025高一·甘肃兰州·期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象，结合图象知：且，，再由，利用对勾函数的性质求出的范围，即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，令，即，解得或， 方程的解的个数即为的图象与的图象的交点个数， 在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象， 结合两函数图象可知，方程的四个互不相等的解时，的取值范围是. 不妨设， 结合图象知：且，， 由，即，所以，又， ， 故的取值范围是. 故选：C 45．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】分析出函数的图象关于直线对称，分析可知为关于的方程的一根，求出的值，即可得解. 【详解】令，作出函数的大致图象， 当时，， 故函数的图象关于直线对称， 因为关于的方程恰有个不同的实数根， 则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， 设方程的两根分别为、，且，则， 令，解得或，又因为，不妨设， 所以，则， 因此，. 故选：B. （五） 二分法的概念 1、二分法的概念 判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 2、二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　 题型8：二分法的概念的应用 46．（2025高三·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 47．（2025高一·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 48．（2025高一·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 49．（2025高一·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 50．（2025高一·全国·课后作业）下列函数不宜用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二分法求零点的充分条件来作出判断. 【详解】对于A：在上单调递增，， ， 所以存在，使得，A宜用二分法求零点； 对于B：，存在，使得，B宜用二分法求零点； 对于C：，存在，使得，C宜用二分法求零点； 对于D：，函数零点为， 但不存在区间，使得，即的零点不宜用二分法来求， 故选：D． （六） 用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 1、利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 2、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　 题型9：用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 51．（2025高一·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法即可判断. 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 52．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【详解】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 53．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 54．（辽宁省部分示范性高中2025届高三学期4月模拟联合调研数学试题）已知函数，用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二分法分析运算可得答案. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于，每经过二分法的一次操作， 区间长度变为原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为， 令，即，计算中点函数值的次数最少为7. 故选：C． 55．（2025高一·上海·阶段练习）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，结合“二分法”的概念，可得答案. 【详解】令，则，， 由，，， 则方程在区间内有实根. 故选：C. 56．（2025高一·福建漳州·期末）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过n次操作后，区间的长度为，据此可得，可得n的取值范围，即可得答案． 【详解】区间的长度等于1 ，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01， ，因为，，所以， 即所需二分区间的次数最少为 故选：C. （七） 指数型模型的应用 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 注；函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． 题型10：指数型模型的应用 57．（2025高一·陕西西安·期中）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为（    ） A．16小时 B．24小时 C．36小时 D．72小时 【答案】D 【分析】根据给定条件求出解析式，再将代入求值即可. 【详解】由题设，， 所以时，，此时小时. 故选：D 58．（2025高一·河南南阳·期末）Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ） A．35 B．36 C．40 D．60 【答案】B 【分析】得到方程，整理后两边取对数，求出. 【详解】，故， 两边取对数，，解得， 故约为. 故选：B （八） 对数函数模型的应用 (1)形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)对于对数型函数模型问题，关键在于熟练掌握对数函数的性质，在认真审题的基础上，分析清楚底数a与1的大小关系，要关注自变量的取值范围． 借助于数学模型解决数学问题的同时，实际问题也得以顺利解决，这就是函数模型的作用． 注：对数函数应用题的基本类型和求解策略： (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　　　 题型11：对数函数模型的应用 59．（2025高二·北京密云·期末）单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：.其中，分别为火箭结构质量和推进剂的质量.是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为.则火箭发动机的喷气速度约为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，其中， 则 ，求得. 故选：B 60．（2025高二·广西河池·阶段练习）燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（    ） A．30 B．60 C．40 D．80 【答案】C 【分析】根据题意将代入可求出即可. 【详解】因为，将代入，则， 则，所以， 所以， 故选：C 61．（2025·陕西咸阳·模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：（其中为样本距今年代，为现代活体中碳14放射性丰度，为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度，该人类骨骼碳14放射性丰度，则该骨骼化石距今的年份大约为（    ）（附：，，） A．3353 B．3997 C．4125 D．4387 【答案】B 【分析】首先求出再代入公式，利用参考数据计算可得. 【详解】由题知，， ∴. 故选：B. 62．（2025高一·上海静安·期中）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度y (单位：km/min) 和候鸟每分钟耗氧量的单位数x，满足关系式其中常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差. (1)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位?(答案四舍五入到整数) (2)若雄鸟的飞行速度为1.5km/ min，雄鸟的飞行速度为1km/ min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍? ， 【答案】(1)466 (2)3 【分析】（1）将代入解析式，令求出，得到答案； （2）设出未知数，得到方程组，两式相减得到，得到答案 【详解】（1）由题意得函数，令得，， 即所以所以， 所以候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位； （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为， 由题意可得， 两式相减可得所以，解得， 所以此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍. （九） 建立拟合函数模型解决实际问题 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤如下： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 题型12：建立拟合函数模型解决实际问题 63．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一套机器人，包括三个：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.已知每套吉祥物的进价为元，其中与进货量成反比，当进货1万套时，为9元，据市场调查，当每套吉祥物的售价定为元时，销售量可达到万套，若展销的其他费用为1万元，且所有进货都销售完. (1)每套吉祥物售价定为70元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)当为多少时，每套吉祥物的净利润最大？ 【答案】(1)50 (2)90 【分析】（1）先根据题目条件得到进货量与的关系式，根据吉祥物售价定为70元时求出销售量，并求出进货单价，求出总利润； （2）求出每套吉祥物的利润，结合基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）设共进货万套，则， 因为当时，，故，解得，即. 每套吉祥物售价为70元时，销售量为（万套）， 此时进货单价为（元）， 故总利润为（万元）； （2）根据题意得，进价为（元）， 所以每套吉祥物的利润为 当且仅当，即时取等号， 所以当时，每套吉祥物的净利润最大. 64．（2025高一·福建漳州·期中）购买某种机器时可同时购买维修服务，购买次维修服务的总费用为元，．购买1次维修服务的总费用为150元，购买2次维修服务的总费用为250元，当时，的图象上所有点都在同一条直线上；当时，的图象上所有点都在函数的图象上． (1)求的解析式； (2)问：购买几次维修服务能使平均每次的维修费用最少？ 【答案】(1) (2)次 【分析】（1）当且时设，根据、代入求出、的值，即可求出解析式； （2）设平均每次的维修费用为，则，分和两种情况讨论，结合幂函数与二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）当且时设，则，解得， 所以（且）， 当时， 综上可得. （2）设平均每次的维修费用为， 当且时，函数在上单调递减， 当时； 当时， 所以当，即时取得最小值，即， 综上可得购买次维修服务能使平均每次的维修费用最少. 65．（2025高一·全国·随堂练习）试根据下面的“某水库蓄水量与水深的对照表”，分析水库的蓄水量y（单位：m3）随水深x（单位：m）变化的趋势，并用图象表示出来，据此估计蓄水量为2000000 m3时的水深． 水深/m 0 5 10 15 20 25 30 35 蓄水量/ m3 0 200000 400000 900000 1600000 2750000 4375000 6500000 【答案】图象见解析，蓄水量为2000000 m3时的水深为 【分析】根据表中数据作出图象即可；求出变到时，存水量关于的平均变化率为230000，从而得，求解即可． 【详解】表中数据可得图象，如图所示：   当从变到时，存水量关于的平均变化率为： ， 实际意义是水深为之间，水深每增加，则蓄水量增加， 则，解得， 所以当蓄水量为时，水库的水深大约是． 66．（2025高一·浙江台州·期末）某工厂需要制作1200套桌椅（每套桌椅由1张桌子和2张椅子组成）．工厂准备安排100个工人来完成，现将这100个工人分成两组，一组只制作桌子，另一组只制作椅子．已知每张桌子和每张椅子制作的工程量分别为7人1天和2人1天若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？ 【答案】安排63或64人制作桌子工期最短 【分析】设x人制作桌子，则人制作椅子，分别得到完成桌子和完成椅子的时间，再得到全部桌椅完成时间的函数表达式，求出桌子和椅子完成时间相同时的值，从而得到分段函数表达式，再求出其最小值即可. 【详解】设x人制作桌子，则人制作椅子． 由已知，完成桌子时间为，完成椅子时间为， 全部桌椅完成时间为 由，得， ∴且，因为， 当，单调递减，最小值为， 当，因为在上单调递减，且， 所以在单调递增， 最小值为，则， 所以安排63或64人制作桌子工期最短． 1．（2025高一·全国·单元测试）若函数 (a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案. 【详解】函数的图象在上是连续不断的，逐个选项代入验证，当时，，.故在区间上有零点，同理，其他选项不符合， 故选A. 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，属于基础题． 2．（2025高三·江苏·阶段练习）关于函数，其中，，给出下列四个结论： 甲：6是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点； 丙：该函数的零点之积为0； 丁：方程有两个根. 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】由已知函数的单调性判断甲､乙中有一个错误，由其中一个正确，结合丙正确求得与的值，得到函数解析式，再判断丁是否正确，则答案可求. 【详解】当，时，为增函数， 当，时，为减函数，故6和4只有一个是函数的零点， 即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙､丁均正确. 由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则，得， 若甲正确，则，即，， 可得，由， 可得或，解得或，方程有两个根，故丁正确. 故甲正确，乙错误. 若乙正确，甲错误，则，则，， 可得，由， 可得或，解得或（舍去），方程只有一个根，则丁错误，不合题意．. 故选：B. 3．（2025高一·天津宁河·阶段练习）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用零点存在定理及函数的单调性确定与的零点所在区间，再利用直接法求得的零点，从而得解. 【详解】因为，易得在上单调递增， 又，，即， 所以在在存在唯一零点，即， 因为，易得在上单调递增， 又，，即， 所以在在存在唯一零点，即， 令，即，即，解得，即， 综上：. 故选：A. 4．（2025高一·全国·课后作业）若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数，，的图象，数形结合，得到，，再结合对数的运算法则，求的取值范围. 【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象， 如图所示：    可以发现，，. 又，， 则，所以. 故选：A 5．（2025高一·全国·课后作业）用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间内,当(ε为精确度)时,函数零点的近似值与真实零点的误差最大不超过 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据用“二分法”求函数近似零点的步骤，结合真实零点离近似值最远即靠近或，由此即可得到结论． 【详解】解：真实零点离近似值最远即靠近或, 而,因此误差最大不超过. 故选： 【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 6．（2025高一·全国·课后作业）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合零点存在性定理及二分法即可求解. 【详解】， 则，即初始区间可选． 故选：C. 7．【多选】（2025高一·全国·课后作业）（多选题）下列关于函数，的说法错误的是（　　） A．若且满足，则是的一个零点 B．若是在上的零点，则可用二分法求的近似值 C．函数的零点是方程的根，但的根不一定是函数的零点 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 【答案】BCD 【分析】根据函数与方程之间的关系进行判断即可． 【详解】对A．若且满足，则是的一个零点；故A正确； 对B．因为函数不一定连续，故B错误； 对C．函数的零点是方程的根，的根是函数的零点，故C错误； 对D．用二分法求方程的根时，得到的根可以是准确值，故D错误， 故选：BCD 8．（2025高一·湖南·阶段练习）是我们熟悉的无理数，在用二分法求的近似值的过程中，可以构造函数，我们知道，所以，要使的近似值满足精确度为0.1，则对区间至少二等分的次数为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足＜0.1，即可得出结论． 【详解】设对区间（1，2）至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，则第n次二等分后区间长为，依题意得＜0.1，即2n＞10∴n≥4，即n=4为所求． 故选B． 【点睛】本题考查了二分法求方程的近似解，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个． 9．（2025高一·江苏连云港·期中）设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（    ）内 A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，，且的图象在上连续， 所以在上至少存在一个零点， 因为，所以在上存在零点， 因为，所以在上存在零点， 所以方程的根落在区间内， 故选：B 10．（2025·福建）若函数的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：因为函数g(x)＝4x＋2x－2在R上连续，且，，设函数的g(x)＝4x＋2x－2的零点为，根据零点存在性定理，有，则，所以，又因为f (x)＝4x－1的零点为，函数f (x)＝(x－1)2的零点为x=1，f (x)＝ex－1的零点为，f (x)＝ln(x－0．5)的零点为，符合为，所以选A． 考点： 零点的概念，零点存在性定理． 11．【多选】（2025高一·全国·课后作业）若函数图象是连续不断的，且，，则下列命题不正确的是（    ） A．函数在区间内有零点 B．函数在区间内有零点 C．函数在区间内有零点 D．函数在区间内有零点 【答案】ABC 【分析】根据零点存在定理分析判断. 【详解】因为，则中有一个小于0，另两个大于0，或三个都小于0. 若，又， 则，所以函数在区间内有零点； 若，又， 则，，所以函数在区间，内有零点； 若，又， 则，所以函数在区间内有零点； 若，又， 则，所以函数在区间内有零点， 综上，函数在区间内必有零点，因此ABC错误，D正确. 故选：ABC. 12．（2025高一·全国·课后作业）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．36万件 B．22万件 C．18万件 D．9万件 【答案】C 【分析】设利润为y万元，根据题意得到y=20x- C(x)＝-x2＋18x-20，再利用二次函数的性质求解. 【详解】设利润为y万元， 由题意得：y=20x- C(x) ＝-x2＋18x-20 =. 故为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题. 13．（2025高一·辽宁大连·期中）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时 【答案】B 【分析】根据保鲜时间与储藏温度满足函数关系：，并结合食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，可求出，然后再将代入，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，保鲜时间与储藏温度满足函数关系：， 则，即，所以， 于是当时，＝18(小时). 故选：B. 14．（2025高三·陕西西安·期中）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于　　 A．16 B．20 C．32 D．90 【答案】C 【分析】由题意可得分别代值计算，比较即可 【详解】， 当时，， 当时，， 故选 【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题． 15．（2025·全国III卷）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【分析】将代入函数结合求得即可得解. 【详解】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 16．（2025高一·全国·课后作业）某工厂12年来某产品总产量S与时间t（年）的函数关系如图所示 ①前三年总产量增长的速度越来越快 ②前三年总产量增长的速度越来越慢 ③第3年后至第8年这种产品停止生产了 ④第8年后至第12年间总产量匀速增加 其中正确的说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据折线图数据及对应的函数图象，依次判断各个各个命题即可. 【详解】观察图象知，前三年是由快变慢，即①错误，②正确； 第3～8年总产量未发生变化，即停止生产，③正确； 第8～12年体现为匀速增长（直线模型），④正确， 所以正确命题的序号是②③④. 故选：C 17．（2025高一·全国·课后作业）2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生，采取宏观调控，对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价（单位：元/斤）与时间x（单位：月）的数据如下： x 8 9 10 11 22．00 23．99 24．00 25．02 现有三种函数模型：；；，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为（　　） A．28元/斤 B．25元/斤 C．23元/斤 D．21元/斤 【答案】A 【分析】根据函数的单调性进行选择，并由此进行估计. 【详解】第二组数据近似为，第四组数据近似为， 根据四组数据， 可得的图象先增后减，而和都是单调函数， 故不符合要求，所以选. 由第二组数据和第四组数据， 可得的图象关于直线对称，故时，. 故选：A 26．（2025高一·山东青岛·期中）专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ） (参考数据：) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据列式求解即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即， 所以，由于，故， 所以，所以，解得. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题. 27．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点为 . 【答案】和 【分析】分和两种情况讨论，通过解方程或结合函数单调性处理零点问题. 【详解】当时，令，解得； 当时，则在上单调递增，且， 故在内有且仅有一个零点2； 综上所述：函数的零点为和. 故答案为：和. 28．（2025高一·全国·课后作业）方程的根，，则 ． 【答案】 【分析】令，首先判断函数的单调性，再由零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】令，因为与在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且函数在上连续， 因为，，，， 所以，函数零点所在的区间是，所以. 故答案为： 29．（2025高一·全国·课后作业）若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况求解即可 【详解】解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，解得x＝2， 所以函数只有一个零点2，符合题意； 当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝． 综上a＝或a＝0． 故答案为： 30．（2025高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x2－bx＋3． （1）若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为 ． （2）若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为 ． 【答案】 1和3 (4，＋∞) 【分析】（1）由f(0)＝f(4)求出，从而可求出函数解析式，再令f(x)＝0解方程可求得答案， （2）由题意可得f(1)<0，从而可求得答案 【详解】解析：（1）由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1． 所以f(x)的零点是1和3． （2）因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图． 需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4． 故b的取值范围为(4，＋∞)． 故答案为：（1）1和3　（2）(4，＋∞) 31．（2025高一·全国·课后作业）函数有零点，但不能用二分法求出，则的关系是 . 【答案】 【分析】根据题设条件可知抛物线与轴相切，从而可得的关系. 【详解】∵函数有零点，但不能用二分法， ∴函数的图象与x轴相切， ∴，∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查二分法，根据根据题设条件确定函数的图象性质，本题属于基础题. 32．（2025高一·北京·期中）用二分法求的近似解，，，，，下一个求，则 ． 【答案】 【分析】由零点存在性定理：零点所在区间满足,确定零点所在的区间为;利用二分法取的中点即可. 【详解】由题意，方程的根应在区间上，故． 故答案为 【点睛】本题考查零点存在性定理和利用二分法的思想求方程近似解;属于基础题; 33．（2025·四川雅安·模拟预测）若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为 ． 【答案】2或或2 【分析】根据题意，可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，分类讨论当时，能用二分法求零点，不符合题意；当，再根据二次函数的图象与性质，可知二次函数的图象与轴有1个交点，由即可求出的值. 【详解】解：由题意得，函数有零点，但不能用二分法求其零点， 可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点， 当，即时，，能用二分法求零点，不符合题意； 当，即时，此时为二次函数， 而有零点，但不能用二分法求其零点， 可知函数的图象与轴有1个交点， 即有两个相等实根， 所以，解得：或. 故答案为：2或. 34．（2025高三·湖北武汉·期中）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【解析】先由可求得的值，再由和两种情况结合的值，可求得的值，即可得解. 【详解】下面先解方程得出的值. （1）当时，可得，可得； （2）当时，可得，可得或. 下面解方程、和. ①当时，由可得，由可得（舍去），由可得； ②当时，由可得，由可得或，由可得或. 综上所述，函数的零点个数为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 35．（2025高一·全国·课后作业）如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子. （1）求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域； （2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确度为0.1 cm)? 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）由题意，截去的小正方形的边长为，底面的边长为的正方形，结合体积公式，即可求解； （2）要做成容积是的无盖盒子，得到，令，结合二分法求得内的近似解，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，截去的小正方形的边长为， 折成的无盖合作的底面的边长为的正方形，高为， 所以盒子的体积为. （2）如果要做成一个容积是的无盖盒子，即， 令 下面用二分法来求方程在内的近似解， 因为f(0)＝0－150＜0， f(1)＝(15－2)2×1－150＞0，f(2)＝(15－4)2×2－150＞0， f(3)＝(15－6)2×3－150＞0，f(4)＝(15－8)2×4－150＞0， f(5)＝(15－10)2×5－150＜0，f(6)＝(15－12)2×6－150＜0， f(7)＝(15－14)2×7－150＜0，f(7.5)＝0－150＜0， 又在内连续，故函数在定义域内分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个解， 下面用二分法求方程的近似解. 取区间(0，1)的中点x1＝0.5，用计算器可算得f(0.5)＝－52. 因为f(0.5)·f(1)<0，所以x0∈(0.5，1). 再取(0.5，1)的中点x2＝0.75，用计算器可算得f(0.75)≈－13.31. 因为f(0.75)·f(1)<0，所以x0∈(0.75，1). 同理可得x0∈(0.75，0.875)，x0∈(0.75，0.812 5)，此时区间的长度小于0.1， 所以方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.8. 同理可得方程在区间(4，5)内的近似解可取为4.7. 所以要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是或. 【点睛】利用二分法求函数零点的近似值的策略： 1、确定区间，验证，给定精确度； 2、求区间的中点； 3、计算， 若，则就是函数的零点； 若，则令，此时零点； 若，则令，此时零点. 39．，若，则得到零点的近似解为（或）， 否则重复第2、3、4步. 40．（2025高一·全国·课后作业）已知函数为上的连续函数． （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． （2）若，判断在上是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，区间为 【分析】(1)根据函数在区间内单调且有零点,则零点必唯一,由此可列式解得; (2)根据零点存在性定理以及单调性可知有唯一零点,根据二分法的步骤可得. 【详解】(1)易知函数在区间 上单调递减， 在区间上存在零点，， 即，， 实数的取值范围是 ． (2)当时， ， 易求出 ， ． ，在区间 上单调递减， 函数在上存在唯一零点． ， ， ．此时0-(-1)=1>0.2, ，, ．此时, ， ， ．此时, ， ， ．此时，满足精确度,停止二分, 所求区间为 ． 【点睛】本题考查了零点存在性定理以及二分法求函数零点的近似值,属于中档题. 41．（2025高一·四川乐山·期末）为推动治理交通拥堵、停车难等城市病，不断提升城市道路交通治理能力现代化水平，乐山市政府决定从2021年6月1日起实施“差别化停车收费”，收费标准讨论稿如下：A方案：首小时内3元，2-4小时为每小时1元(不足1小时按1小时计)，以后每半小时1元(不足半小时按半小时计)；单日最高收费不超过18元．B方案：每小时1.6元 (1)分别求两个方案中，停车费y(元)与停车时间(小时)之间的函数关系式； (2)假如你的停车时间不超过4小时，方案A与方案B如何选择？并说明理由． (定义：大于或等于实数x的最小整数称为x的向上取整部分，记作，比如：，) 【答案】(1)， (2)当停车时间不超过3.75小时，选B方案；当停车时间大于3.75小时不超过4小时，选A方案，理由见解析. 【分析】（1）根据题意可得答案； （2）根据（1）的答案分析即可. 【详解】（1）根据题意可得： A方案：当，；当时， 当时，；当， 所以 B方案：． （2）显然当时，； 又因为，， 所以存在，使得， 即，解得 故当停车时间不超过3.75小时，选B方案；当停车时间大于3.75小时不超过4小时，选A方案． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $