4.4对数函数14题型分类讲义（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练（人教A版必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.4对数函数14题型分类 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是不等于1的正数； (3)logax的真数仅含自变量x. 二、对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 三、反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域. 四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． （一） 对数函数的概念 判断一个函数是对数函数的方法 题型1：对数函数的概念 1．（2025高一·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 4．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． （二） 对数型函数的定义域 （1）求对数型函数定义域的原则 ①分母不能为0. ②根指数为偶数时，被开方数非负． ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. ④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． (2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下: ①分母不为0; ②偶次方根下非负; ③中x≠0; ④对数的真数大于0; ⑤对数、指数的底a满足a>0且a≠1. (3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式.　 题型2：对数型函数的定义域 5．（25-26高三·重庆·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·黑龙江·阶段练习）函数的定义域为（    ） A．或 B． C． D． 8．（25-26高一·全国·单元测试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （三） 与对数有关的函数的值域与最值问题 (1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围． (2)对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 题型3：与对数有关的函数的值域与最值问题 10．（2025高二·北京·阶段练习）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·全国·课后作业）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 13．（2025高一·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 14．（2025高三·全国·专题练习）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·湖南·模拟预测）若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（    ） A．3 B． C． D．e （四） 对数函数的图象及应用 1．对数型函数的图象过定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 　　　 题型4：对数型函数的图象过定点问题 17．（25-26高一·全国·课前预习）函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 18．（2025高一·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一·全国·单元测试）若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一·全国·单元测试）若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 21．（2025高一·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型5：对数型函数的图象的判断 22．（2025高一·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 23．（2025高二·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（   ） A．  B．   C．  D．   24．（2025高二·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A．B． C．D． 26．（25-26高三·黑龙江·阶段练习）已知对，（，且）均有意义，则函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   27．（2025高一·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 28．（2025高一·全国·课前预习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．   C．  D．   29．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型6：对数型函数的图象及应用 30．（2025高一·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 31．（2025高三·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 32．（2025高一·上海·阶段练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高三·四川泸州·开学考试）已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 34．（25-26高三·北京平谷·开学考试）已知函数 ，实数满足.若对任意的，总有不等式成立， 则的最大值为（   ） A． B． C． D． 35．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （五） 对数型函数的单调性 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 题型7：对数型函数的单调性问题 36．（2025高三·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高三·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 39．（2025高二·北京丰台·期末）设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 （六） 比较对数值的大小 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不相同时，找中间量． 提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与0或1的大小． 题型8：比较对数值的大小 40．（25-26高三·天津东丽·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高三·天津红桥·开学考试）若 则a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 42．（2025高二·湖南·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高三·黑龙江·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高三·陕西商洛·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高三·天津西青·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高三·天津河北·开学考试）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． （七） 求解对数不等式 常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 题型9：求解对数不等式 47．（25-26高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 48．（25-26高三·北京顺义·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高三·北京延庆·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26高三·山东日照·开学考试）若定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 51．（25-26高三·山西朔州·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，若函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （八） 根据对数型函数的单调性求参数 已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． 题型10：根据对数型函数的单调性求参数 52．（25-26高三·福建·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 53．（2025高二·江西赣州·阶段练习）若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 54．（2025高一·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 56．（2025高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （九） 与对数函数有关的函数的奇偶性 要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便． 题型11：与对数函数有关的函数的奇偶性问题 57．（2025高一·全国·课后作业） 是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 58．（2025高二·山东德州·期末）“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 59．（2025高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是 ． 60．（2025高一·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性． 题型12：对数函数性质的综合 61．【多选】（25-26高三·河北保定·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 62．【多选】（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 63．【多选】（25-26高三·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 64．【多选】（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 题型13：对数函数的实际应用 65．（2025高一·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：） 66．（2025高一·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 67．（2025高二·云南昆明·期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 68．（2025高一·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 69．（2025高三·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 70．（2025高一·天津·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． （十） 反函数的应用 1、求反函数的步骤 (1)求出函数y＝f(x)的值域； (2)仅解x，即由y＝f(x)解出x＝f－1(y)； (3)把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)． 2、(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 题型14：反函数的应用 71．（25-26高三·四川绵阳·阶段练习）已知函数（且）的反函数图像经过点，则 ． 72．（25-26高一·上海·期中）函数 的反函数为（    ） A．B． C． D． 73．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）若函数与（且）互为反函数，且的图象过点，则 ． 74．（25-26高一·全国·课后作业）若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是 ． 75．（2025·河北衡水·模拟预测）已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 1．（2025高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）函数是以a为底数的对数函数，则等于 A．3 B． C． D． 3．（2025高一·全国·课后作业）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·课后作业）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·课后作业）若函数的定义域为，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．无法确定 6．（2025高一·浙江杭州·期中）满足“对定义域内任意实数，都有”的函数可以是（ ） A． B． C． D． 7．（2008·湖南）下面不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·福建宁德·期中）当a＞0，且a≠1时，f（x）=loga（x+2）+3的图象恒过定点P，则点P坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（2025高一·全国·专题练习）函数（，且）的反函数的图象过点，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．3 10．（2025高一·全国·课后作业）若点在函数的图象上，则下列点不在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·陕西汉中·期中）已知，则函数与函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·四川成都·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高二·山东泰安·期末）当时， 恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 14．（2025·全国II卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是 A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 15．（2025高一·河北保定·期中）函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．【多选】（2025高一·全国·课后作业）函数在（0，1）上是减函数，那么（    ） A．在上递增且无最大值 B．在上递减且无最小值 C．在定义域内是偶函数 D．的图像关于直线对称 17．（2025高一·安徽合肥·期中）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为（    ）． A． B． C． D． 18．（2025高三·山东济宁·阶段练习）函数的最小值为 . 19．（2025高一·宁夏银川·期中）已知函数与函数的图象关于直线对称，则不等式的解集为 . 20．（2025高一·全国·课后作业）若（，且），则a的取值范围为 ． 21．（2025高一·广西梧州·期中）（1）函数的图象是由的图象如何变化得到的？ （2）在坐标系中作出的图象（不要求写作法）； （3）设函数与函数的图象的两个交点的横坐标分别为，设，请判断的符号． 22．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数（且），且函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 23．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数且． (1)若函数在区间上恒有意义，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.4对数函数14题型分类 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是不等于1的正数； (3)logax的真数仅含自变量x. 二、对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 三、反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域. 四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． （一） 对数函数的概念 判断一个函数是对数函数的方法 题型1：对数函数的概念 1．（2025高一·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 2．（2025高一·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 4．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【详解】由条件可知，，得， 所以. 故选：B （二） 对数型函数的定义域 （1）求对数型函数定义域的原则 ①分母不能为0. ②根指数为偶数时，被开方数非负． ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. ④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． (2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下: ①分母不为0; ②偶次方根下非负; ③中x≠0; ④对数的真数大于0; ⑤对数、指数的底a满足a>0且a≠1. (3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式.　 题型2：对数型函数的定义域 5．（25-26高三·重庆·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的真数大于0和二次根式被开方数大于等于0，直接求解即可. 【详解】由 解得，所以函数的定义域为. 故选：A. 6．（2025高二·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 7．（25-26高三·黑龙江·阶段练习）函数的定义域为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，解出即可得. 【详解】由，得，解得， 故的定义域为 故选：D． 8．（25-26高一·全国·单元测试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域及指数函数定义域计算求解. 【详解】由题意得，即得，解得． 故选：A. 9．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. （三） 与对数有关的函数的值域与最值问题 (1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围． (2)对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 题型3：与对数有关的函数的值域与最值问题 10．（2025高二·北京·阶段练习）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式型函数、对数函数、二次函数、指数型函数的性质，分别求出函数的值域即可判断. 【详解】对A，函数的值域为，故A不正确； 对B，函数的值域为，故B不正确； 对C，函数的值域为，故C不正确； 对D，因为，故函数值域为，故D正确. 故选：D. 11．（2025高一·全国·课后作业）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 12．（2025高一·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 13．（2025高一·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 14．（2025高三·全国·专题练习）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出时，，从而得到当时，的值域包含，得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，又的值域为R， 故当时，的值域包含． 故，解得． 故选：C 16．（2025·湖南·模拟预测）若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（    ） A．3 B． C． D．e 【答案】B 【分析】令，问题转化为函数在上的最大值为3，结合函数的对称性，讨论求最大值得解. 【详解】设，则问题转化为函数在上的最大值为3， 因为函数的对称轴为， 当时，，不合题意； 当时，，合题意， 综上，的最大值为. 故选：B. （四） 对数函数的图象及应用 1．对数型函数的图象过定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 　　　 题型4：对数型函数的图象过定点问题 17．（25-26高一·全国·课前预习）函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用即可求解. 【详解】令，则，解得， 则函数（，且）恒过点． 故选：C. 18．（2025高一·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】令，得，此时，故定点坐标为. 故选：A 19．（25-26高一·全国·单元测试）若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数恒过定点分析得出点坐标，再设指数函数，代入点即可得出结果． 【详解】由对数函数恒过定点得函数恒过定点，设指数函数（且），则，故． 故选：A． 20．（25-26高一·全国·单元测试）若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求得的图象所过定点的坐标得的值，再代入计算即可. 【详解】令，得，， 所以（且）的图象过定点， 即. 所以． 故选：C. 21．（2025高一·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数型函数恒过定点求出，代入幂函数解析式得，进而可得图象. 【详解】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. 题型5：对数型函数的图象的判断 22．（2025高一·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用，在图象上画出直线，与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数. 【详解】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 23．（2025高二·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（   ） A．  B．   C．  D．   【答案】D 【分析】利用排除法，根据对数函数单调性分析判断即可. 【详解】由题意可知：函数在定义域内单调递增，且， 结合选项可知：ABC错误，D正确. 故选：D. 24．（2025高二·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数为偶函数，图象关于轴对称，当时，，结合对数函数的性质，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 故选：D. 25．（2025高一·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解. 【详解】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确. 故选：D. 26．（25-26高三·黑龙江·阶段练习）已知对，（，且）均有意义，则函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由条件先证明 ，结合对数函数性质判断 在 (0,+∞) 上的单调性，再判断函数的奇偶性即可判断结论. 【详解】由题意知，即对恒成立． 当时，； 当时，，又， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 设，则， 所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 且当时，单调递增． 故选：B． 27．（2025高一·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【详解】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 28．（2025高一·全国·课前预习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．   C．  D．   【答案】C 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 29．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 题型6：对数型函数的图象及应用 30．（2025高一·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性可得，由，可求得. 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 31．（2025高三·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 32．（2025高一·上海·阶段练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案. 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 33．（25-26高三·四川泸州·开学考试）已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】分类讨论a的取值范围，结合函数图象的平移变换，即可求得答案. 【详解】对于，当时，， 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时的图象过第二、三、四象限； 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时图象过第一、三、四象限； 综合可知函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C 34．（25-26高三·北京平谷·开学考试）已知函数 ，实数满足.若对任意的，总有不等式成立， 则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，对任意的，总有不等式成立，即成立，作出函数与直线的图像，求出交点坐标即可求解. 【详解】因为对任意的，总有不等式成立，即成立，即的图像在直线的下方（包括交点）， 作出图像，如图所示， 当时，， 令，解得；令，解得. 当时，，令，解得. 所以的图像与直线的交点为和， 所以，又， 所以，即的最大值为. 故选：C. 35．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出的图象，结合对数函数的性质得到，再结合图象得到，进而求出，最后得到的范围即可. 【详解】令，解得，令，解得， 则，如图，作出的图象， 而，则，得到， 即，解得，由图象得， 则，解得，得到，故C正确. 故选：C （五） 对数型函数的单调性 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 题型7：对数型函数的单调性问题 36．（2025高三·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解. 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 37．（25-26高三·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【详解】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 38．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义先求定义域，结合复合函数的单调性计算即可. 【详解】由题意知，即或， 令，而单调递增，要求的单调递增区间， 即求的单调递增区间，根据二次函数的单调性可知其单调递增区间为. 故选：B 39．（2025高二·北京丰台·期末）设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，再根据不同区间去绝对值，化简函数，判断函数的单调性. 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为，关于原点对称， 而， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 当时，， 则函数在上单调递增，故B错误； 当时，， 则函数在上单调递减，故D正确. 故选：D. （六） 比较对数值的大小 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不相同时，找中间量． 提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与0或1的大小． 题型8：比较对数值的大小 40．（25-26高三·天津东丽·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助对数函数与指数函数单调性计算即可得． 【详解】，，则， ，故. 故选：A. 41．（25-26高三·天津红桥·开学考试）若 则a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由指数函数以及指数函数的单调性，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】因为，即， ，即， ，即， 所以. 故选：B 42．（2025高二·湖南·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 43．（25-26高三·黑龙江·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数单调性可分别求得的范围大小，即可比较得出结果. 【详解】因为， ， 又，所以. 所以． 故选：D 44．（25-26高三·陕西商洛·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合指数与对数的运算性质即可判断. 【详解】由可得，故， 由于，所以，故， 由于，所以，故， 故 故选：D 45．（25-26高三·天津西青·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数单调性与对数函数单调性计算即可得. 【详解】，由， 故，则，故， 又，， 故，故. 故选：B. 46．（25-26高三·天津河北·开学考试）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】易知， 所以，， 即. 故选：C （七） 求解对数不等式 常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 题型9：求解对数不等式 47．（25-26高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及对数函数单调性求解不等式. 【详解】不等式， 因此，解得， 所以原不等式的解集是. 故选：A 48．（25-26高三·北京顺义·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数的单调性进行求解． 【详解】因为函数在定义域内均单调递增， 所以函数在定义域单调递增， 又， 所以不等式,即不等式的解集为． 故选：A 49．（25-26高三·北京延庆·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析函数的单调性，再结合特殊点的函数值，通过函数单调性来确定不等式的解集. 【详解】依题意，得 ， 由，观察可得方程组的解为或， 画出的图像    由图可知，不等式的解集是. 故选： 50．（25-26高三·山东日照·开学考试）若定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质可将不等式转化为，求出的表达式，分段讨论解不等式即可求解. 【详解】因为是定义在的奇函数，所以， 则由，可得，即， 当时，由，解得； 当时，由奇函数的性质可得,不满足； 当时，，则， 由奇函数的性质，可得, 由，解得，故. 综上，不等式的解集为. 故选：D 51．（25-26高三·山西朔州·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，若函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数在上单调递减，得到在上单调增，从而将不等式转化为 ，再结合求得解集即可． 【详解】∵偶函数在区间上单调递减， ∴在区间上单调递增， ∵ ∴不等式等价于， ∴， 即或， 解得或． 故选：C． （八） 根据对数型函数的单调性求参数 已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． 题型10：根据对数型函数的单调性求参数 52．（25-26高三·福建·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 53．（2025高二·江西赣州·阶段练习）若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，则函数在上单调递减以及函数值总大于零，由此联立不等式组求解． 【详解】令，其对称轴方程为，对数函数是增函数， 要使函数在上递减，则， 解得，实数的取值范围是． 故选：B. 54．（2025高一·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B 55．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】令，得对称轴方程为：，分和利用复合函数的单调性求解. 【详解】令，对称轴方程为：， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得，而，故， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得不存在， 综上知，的取值范围是：， 故选：D 56．（2025高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数和对数函数的图像和性质，由已知中当时，通过讨论的范围，结合函数的取值情况，可求解出参数. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以当时， ①当时，函数为增函数， 要使不等式在恒成立， 则须满足，即，解得； ②当时，函数为减函数，当时值域为负数，不满足题意， 综上，的取值范围是. 故选：C． （九） 与对数函数有关的函数的奇偶性 要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便． 题型11：与对数函数有关的函数的奇偶性问题 57．（2025高一·全国·课后作业） 是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性列式，结合对数运算律求参，最后代入检验即可判断. 【详解】因为是奇函数,所以 所以 所以所以或; 当时, 无意义不成立; 当时, ,是奇函数成立; 故选:A. 58．（2025高二·山东德州·期末）“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】为奇函数， 此式子对于定义域内的任意皆成立，必有 则 故“”是“为奇函数”的充分不必要条件,正确. 故选： 59．（2025高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【分析】先求函数的定义域，再判断即可. 【详解】由， 函数的定义域为，关于原点对称， 又 所以函数是奇函数， 故答案为：奇函数. 60．（2025高一·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)偶函数 【分析】（1）根据对数型函数真数大于0，即可求解， （2）根据奇偶性的定义即可判断. 【详解】（1）由题意可知：， 故函数的定义域为， （2）由（1）知定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数， 题型12：对数函数性质的综合 61．【多选】（25-26高三·河北保定·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】根据对数函数的性质即可求解AB，根据复合函数单调性法则即可求解C，利用即可求解D. 【详解】由可得，故的定义域为，值域为，A错误，B正确， 由于函数在单调递增，在单调递减，而为上的单调递增函数，因此在上单调递增，C正确， 由于的定义域为关于对称，且，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 62．【多选】（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】对A，由真数大于0，解不等式组求定义域；对B和C，通过复合函数单调性判断；对D，由与关系判断. 【详解】对于A：令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ， 所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 故选：ABD. 63．【多选】（25-26高三·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据函数的定义域为，可得在上恒成立，分情况讨论计算即可；对于B，根据对数型函数的值域为，可得取遍一切正数，数形结合得不等式组，求解即得；对于C，由函数的定义域为，可转化成不等式的解集为，利用三个“二次”的关系计算即得；对于D，根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域，列出不等式组求解即可. 【详解】对于A，的定义域为等价于在恒成立， 当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得. 综上即得当的定义域为时，，故A正确； 对于B，由的值域为,可得可以取遍一切正数， 故需使，解得，故B错误； 对于C，的定义域为，即不等式的解集为， 故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确； 对于D，对于函数在上单调递增，显然， 设，因在定义域上为增函数， 故依题意，需满足，解得，故D错误. 故选：AC. 64．【多选】（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据函数的定义域为，可得在上恒成立，分情况讨论计算即可；对于B，根据对数型函数的值域为，可得取遍一切正数，数形结合得不等式组，求解即得；对于C，由函数的定义域为，可转化成不等式的解集为，利用三个二次的关系计算即得；对于D，根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域，列出不等式组求解即可. 【详解】对于A，的定义域为等价于在上恒成立， 当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得. 综上即得当的定义域为时，，故A正确； 对于B，由的值域为，可得可以取遍一切正数， 故需使，解得，故B错误； 对于C，的定义域为，即不等式的解集为， 故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确； 对于D，对于函数在上单调递增，显然， 设，因在定义域上为增函数， 故依题意，需满足，解得，故D错误. 故选：AC. 题型13：对数函数的实际应用 65．（2025高一·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 66．（2025高一·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的值. 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 67．（2025高二·云南昆明·期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，代入，结合对数的运算性质求出的值，即为所求. 【详解】两颗星的星等与亮度满足， 令，，，， 因此，太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为. 故选：B. 68．（2025高一·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、，利用对数的运算可求得的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 69．（2025高三·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解. 【详解】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 70．（2025高一·天津·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得半衰期，然后再计算可得． 【详解】由题意，即，，， 设降温到35℃大约需要，则， 即，， ， 所以， 故选：B． （十） 反函数的应用 1、求反函数的步骤 (1)求出函数y＝f(x)的值域； (2)仅解x，即由y＝f(x)解出x＝f－1(y)； (3)把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)． 2、(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 题型14：反函数的应用 71．（25-26高三·四川绵阳·阶段练习）已知函数（且）的反函数图像经过点，则 ． 【答案】1 【分析】由反函数的定义可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由函数（且）的反函数图像经过点， 可得原函数的图像经过点， 代入可得，且，即， 则. 故答案为： 72．（25-26高一·上海·期中）函数 的反函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由原函数可求，交换后可得原函数的反函数. 【详解】由已知，得，再将两边平方，得，即； 将、对换，得，其定义域为； 故选：A. 73．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）若函数与（且）互为反函数，且的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，进而得到的解析式，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】因为函数的图象过点，可得，解得，即， 又因为函数与互为反函数，可得， 所以. 故答案为：. 74．（25-26高一·全国·课后作业）若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是 ． 【答案】（或） 【分析】依题意，函数与函数的图象关于直线对称，则互为反函数，所以，求出，根据复合函数求单调性求解即可. 【详解】因为函数，且函数与函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 令，解得，所以的定义域为， 又在上单调递增，在上单调递减， 而在定义域上单调递增， 所以的单调递减区间为（或， 故答案为：（或）． 75．（2025·河北衡水·模拟预测）已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用同构互为反函数的图象对称性和数形结合法来求解即可. 【详解】由可得：， 又由可得：。 而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称， 下面作出函数，，，的图象： 由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标， 方程的根为，即为如图交点的横坐标， 由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：， 根据同构方程思想可得：满足和的根必有：， 所以， 故选：A. 1．（2025高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的概念即得. 【详解】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数. 故选：D. 2．（2025高一·全国·专题练习）函数是以a为底数的对数函数，则等于 A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】可以先根据对数函数的性质来确定的取值范围，再带入得出结果． 【详解】因为函数 为对数函数， 所以函数系数为1，即即或， 因为对数函数底数大于0， 所以，， 所以． 【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1． 3．（2025高一·全国·课后作业）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的真数大于得到不等式组，解得即可. 【详解】由题意得，解得，所以的定义域是． 故选：D． 4．（2025高一·全国·课后作业）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的真数大于，偶次方根的被开方数非负及分母不为得到不等式组，解得即可. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以函数的定义域为． 故选：D 5．（2025高一·全国·课后作业）若函数的定义域为，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据定义域确定的解为，再确定，且，即解得结果. 【详解】函数的定义域为，则的解集为， 即，且的根，故. 故选：B. 6．（2025高一·浙江杭州·期中）满足“对定义域内任意实数，都有”的函数可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为定义域内， 所以，若，则，符合题意， 故选C. 7．（2008·湖南）下面不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数在单调递增，以及临界值1，判断即可. 【详解】由题意，对数函数在单调递增， 故，， 即. 故选：A 8．（2025高一·福建宁德·期中）当a＞0，且a≠1时，f（x）=loga（x+2）+3的图象恒过定点P，则点P坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令真数等于1，求出x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 【详解】当a＞0，且a≠1时，对于函数f（x）＝loga（x+2）+3， 令x+2＝1，求得x＝﹣1，y＝3，可得函数的图象经过定点（﹣1，3）． 再根据它的图象恒过定点P，则点P坐标为（﹣1，3）， 故选D． 【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 9．（2025高一·全国·专题练习）函数（，且）的反函数的图象过点，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．3 【答案】B 【分析】法一：求出反函数，将点代入反函数即可求解；法二：根据反函数的性质可得函数的图象过点，代入求解即可. 【详解】法一：函数（，且）的反函数为（，且）， 故的图象过点，则． 法二：∵函数（，且）的反函数的图象过点， ∴函数（，且）的图象过点， ∴，即． 故选：B 10．（2025高一·全国·课后作业）若点在函数的图象上，则下列点不在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，再根据对数性质得解. 【详解】因为点在函数的图象上，所以， 所以，， 所以点不在该函数图象上． 故选：A． 11．（2025高一·陕西汉中·期中）已知，则函数与函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据参数对于指数函数以及对数函数的影响，结合对数函数性质，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A、B、C，由图像可知，对于函数，可知，即， 由，则，即函数在上单调递增，故A、B错误，C正确； 对于D，由图像可知，对于函数，可知，即， 由，则，即函数在上单调递减，故D错误； 故选：C. 12．（2025高一·四川成都·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解得，利用不等式的性质，指数对数函数的性质， 对选项逐个判断. 【详解】，由换底公式，有，解得， ∴，A选项错误； 函数为减函数，∴，B选项正确； ，但不一定成立， 不能得到，C选项错误； ，D选项错误. 故选：B 13．（2025高二·山东泰安·期末）当时， 恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先在同一坐标系下作出函数和的图像，求出交点和此时a的值，再求出的取值范围. 【详解】 当时，函数的图象如图所示， 若 恒成立， 则的图象恒在的图象的上方， 的图象与的图象交于点时，， 故虚线所示的的图象对应的底数应满足， 的取值范围为， 故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是找到交点和此时a. 14．（2025·全国II卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是 A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 【答案】D 【详解】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D． 考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用． 15．（2025高一·河北保定·期中）函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得可得，且，由此求得的范围． 【详解】解：函数在上单调递增，而函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可得，且，解得，即 故选：． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题． 16．【多选】（2025高一·全国·课后作业）函数在（0，1）上是减函数，那么（    ） A．在上递增且无最大值 B．在上递减且无最小值 C．在定义域内是偶函数 D．的图像关于直线对称 【答案】AD 【分析】由题意可知，利用“同增异减”可知A正确，结合的对称性可知的图像的对称性. 【详解】由得，函数的定义域为． 设，则在上为减函数，在上为增函数，且的图像关于直线对称，所以的图像关于直线对称，D正确； 因为在上是减函数，所以， 所以在上递增且无最大值，A正确，B错误； 又，所以C错误．故选AD． 【点睛】本题考查了复合函数的单调性与最值的应用问题，解题时应判定复合函数的单调性，根据单调性判定最值问题，是基础题． 17．（2025高一·安徽合肥·期中）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知函数是函数的反函数，根据反函数的定义求出，再由复合函数的单调性即可求出的单调减区间． 【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，函数是函数的反函数， 所以，即， 令，解得， 又是减函数，在上增，在上减， 由复合函数的单调性知，单调减区间为． 故选：C． 18．（2025高三·山东济宁·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】/ 【分析】函数转化为关于的二次函数，结合二次函数性质可得最小值． 【详解】函数定义域是，， ， 所以时，． 故答案为：． 19．（2025高一·宁夏银川·期中）已知函数与函数的图象关于直线对称，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据反函数的性质可知，再利用对数函数的单调性解不等式． 【详解】解：函数与函数的图象关于直线对称， ， ． 又在上单调递增 ． ∴不等式的解集为． 故答案为：． 20．（2025高一·全国·课后作业）若（，且），则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分类讨论求解对数不等式即可. 【详解】 当时，，则； 当时，，则． 综上所述，实数a的取值范围是． 故答案为： 21．（2025高一·广西梧州·期中）（1）函数的图象是由的图象如何变化得到的？ （2）在坐标系中作出的图象（不要求写作法）； （3）设函数与函数的图象的两个交点的横坐标分别为，设，请判断的符号． 【答案】（1）向右平移个单位得到的；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由“左加右减”直接得到答案； （2）由翻折变换作图即可； （3）作图观察可知，1＜x1＜2，2＜x2＜3，进而得到结论． 【详解】（1）函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的． （2）在下边的坐标系中作出的图象，如图所示： （3）设函数与函数的图象的两个变点的横坐标分别为，，不妨设， 则，（不要求说明理由） ∴ 【点睛】本题主要考查函数图象的作法，考查数形结合思想，是一道基础题． 22．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数（且），且函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)将点代入函数解析式，求出，可得的解析式； (2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数的取值范围． 【详解】(1)，解得，故函数的解析式 (2) 即，解得或 故实数m的取值范围是 23．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数且． (1)若函数在区间上恒有意义，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；（或） 【分析】（1）由题意，得在上恒成立，参变分离得恒成立，再令新函数，判断函数的单调性，求解最大值，从而求出的取值范围；（2）在（1）的条件下，讨论与两种情况，利用复合函数同增异减的性质求解对应的取值范围，再利用最大值求解参数，并判断是否能取到. 【详解】（1）由题意，在上恒成立，即在恒成立，令，则在上恒成立，令所以函数在在上单调递减，故 则，即的取值范围为. （2）要使函数在区间上为增函数，首先在区间上恒有意义，于是由（1）可得，①当时，要使函数在区间上为增函数， 则函数在上恒正且为增函数， 故且，即，此时的最大值为即，满足题意． ②当时，要使函数在区间上为增函数， 则函数在上恒正且为减函数， 故且，即， 此时的最大值为即，满足题意． 综上，存在（或） 【点睛】一般关于不等式在给定区间上恒成立的问题都可转化为最值问题，参变分离后得恒成立，等价于；恒成立，等价于成立. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $