高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第一册）

高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第一章+第二章。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分。） 1．（25-26高一上·河南新乡·阶段练习）若，则 ． 2．（23-24高一上·上海奉贤·期末）：四边形是正方形，：四边形的四个角都是直角，则是的 条件. 3．（23-24高三上·北京丰台·期中）能说明命题“对于任意，”为假命题的一组整数的值依次为 ．（表示实数中的最大值） 4．（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某人打算将自己的10万元存款存入银行，已知部分银行的存款年利率如下表，考虑到实际情况，他打算选择一年一存，并在每年到期时将本息续存一年，则要使两年后取出时所得本息和超过10.38万元，他可以选择的银行有 （参考数据：）. 银行 银行 银行 银行 银行 年利率 6．（2024·上海静安·一模）若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则 . 7．（2025高一·全国·专题练习）德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 8．（24-25高一上·福建三明·期中）对于，规定：，已知集合，则中元素的个数为 个. 9．（2023·上海普陀·一模）设a、且．若函数的表达式为，且，则的最大值为 ． 10．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）定义几类集合的长度：（1）集合的长度为；（2）集合(其中)的长度为；（3）空集的长度为0.设，则不等式的解集的长度的最大值为 . 11．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）下列结论中，请写出正确的个数是 . ①已知，，，则值为或； ②不等式的解集为，则实数的取值范围为； ③已知对任意恒成立，则实数的取值范围是； ④若，，，则的最小值为1. 12．（24-25高一上·上海·期中）对于实数和正数，称满足不等式（，）的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（2025高一上·全国·专题练习）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 14．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（    ） A．取遍任意大于的实数 B． C． D． 16．（24-25高一上·四川成都·期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。） 17．（14分）已知集合或，，， (1)已知，求实数的取值范围； (2)已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 18． （14分）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 19． （14分）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20． （18分）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围； (3)若，且“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 21． （18分）（1）解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第一章+第二章。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分。） 1．（25-26高一上·河南新乡·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合元素的无序性和唯一性，结合分母不为零的条件，通过相等集合的元素对应关系分析讨论可能的对应情况即可求解. 【详解】已知集合， 若，则分母无意义，矛盾，因此， 所以，解得， 此时左边集合为，右边集合为， 所以且，得：， 若，则不满足集合元素的互异性，因此. 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海奉贤·期末）：四边形是正方形，：四边形的四个角都是直角，则是的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得出结果. 【详解】因为四边形是正方形，由正方形的定义知，的四个角都是直角，所以由可以推出，即是的充分条件， 又四边形的四个角都是直角时，四边形可以为矩形，所以由推不出，即不是的必要条件，所以是的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 3．（23-24高三上·北京丰台·期中）能说明命题“对于任意，”为假命题的一组整数的值依次为 ．（表示实数中的最大值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】依据题意找出反例即可. 【详解】，且时，，而，两式不相等，或时也使得， 不妨使即可. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 【答案】（3）（4） 【分析】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）. 【详解】对于（1），由得， 则成立且， 故，即成立，因此（1）为真命题； 对于（2），当不成立时，有成立，即或，故（2）为真命题； 对于（3），， 显然，当时，不成立，故（3）为假命题； 对于（4），假设，，此时，满足，不满足，故（4）为假命题； 故答案为：（3）（4） 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某人打算将自己的10万元存款存入银行，已知部分银行的存款年利率如下表，考虑到实际情况，他打算选择一年一存，并在每年到期时将本息续存一年，则要使两年后取出时所得本息和超过10.38万元，他可以选择的银行有 （参考数据：）. 银行 银行 银行 银行 银行 年利率 【答案】银行和银行. 【分析】结合题意设银行年利率为，列不等式解出即可； 【详解】假设银行年利率为时， 要使两年后所得本息和超过10.38万元， 则有，解得， 则他可以选择银行和银行. 故答案为：银行和银行. 6．（2024·上海静安·一模）若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则 . 【答案】（答案不唯一，可以为或其它字母表示的表达式） 【分析】根据给定的信息，取正数，作差变形推导即可得解. 【详解】取正数，则，当且仅当时取等号， 因此，即， 于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”. 显然，取. 故答案为： 7．（2025高一·全国·专题练习）德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 【答案】充分不必要 【分析】由所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数，进行判断即可． 【详解】因为所有自然数都是有理数，所以充分性满足； 但有理数包含分数、负整数等非自然数，故必要性不满足． 因此，命题“”是命题“”的充分而不必要条件． 故答案为：充分不必要 8．（24-25高一上·福建三明·期中）对于，规定：，已知集合，则中元素的个数为 个. 【答案】 【分析】由的定义，分类考虑和一奇一偶，与和同奇偶两种情况，结合列出满足条件的所有可能情况，再考虑点的个数即可. 【详解】因为， 若和一奇一偶，则，满足此条件的有，故点有个； 若和同奇偶，则， 满足此条件的有共组，故点有个， 所以满足条件的个数为个. 故答案为：. 9．（2023·上海普陀·一模）设a、且．若函数的表达式为，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由结合可得出，求出的取值范围，利用不等式的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为，则，所以，或，或. 因为，所以，，且，可得， 所以，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 10．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）定义几类集合的长度：（1）集合的长度为；（2）集合(其中)的长度为；（3）空集的长度为0.设，则不等式的解集的长度的最大值为 . 【答案】 【分析】分、、和四种情况讨论不等式解集的长度，即可得到最大值. 【详解】不等式的解集可以看成函数在函数下方部分的图象上点的横坐标的范围， 当时，，此时图象如下所示： 所以解集为空集，解集的长度为0； 当时，图象如下所示： 设交点横坐坐标分别为，，且，令，则，，不等式解集为，解集的长度为； 当时，图象如下所示： 此时令，则，，不等式解集为，解集的长度为； 当时，图象如下所示： 如图所示，设交点坐标分别为，，，，令，则，，令，则，，， ， 所以不等式的解集为或，长度为； 综上所述，当时，不等式解集的长度最大，为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）下列结论中，请写出正确的个数是 . ①已知，，，则值为或； ②不等式的解集为，则实数的取值范围为； ③已知对任意恒成立，则实数的取值范围是； ④若，，，则的最小值为1. 【答案】3 【分析】对于①由，得，再分和两种情况解得；对②要考虑和两种情况解得；对③构造，只须且和同时成立即可；对④用常值代换法与基本不等式即可. 【详解】①由题得，再由可得.当时，，符合题意； 当时，，所以或，解得或， 故的值为或或，因此①错误； ②由题知当时，不等式为显然恒成立，不等式解集为； 当时，需使，得. 综合①②，可得实数的取值范围为，故②正确； ③由对任意恒成立，令， 则需使，解得， 故实数的取值范围是，故③正确； ④由题得，，，所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为1，故④正确. 故答案为：3. 12．（24-25高一上·上海·期中）对于实数和正数，称满足不等式（，）的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先将题意转化为绝对值不等式，然后解不等式得，利用恰有两个整数解得到该范围的两个端点值大于1小于3缩小的范围，然后得到可能存在的整数，然后讨论得到的范围即可. 【详解】由题可知有恰两个整数解， 得， 所以中恰有两个整数， 故，所以 当两个整数为时，得，解得； 当两个整数为时，，所以， 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（2025高一上·全国·专题练习）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 【答案】B 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故选：B． 14．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质比较数（式）大小即可. 【详解】因为，所以． 由于，故在不等式上同时乘以a得， 即，因此，． 故选：C. 15．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（    ） A．取遍任意大于的实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的表示可知，计算和的区间长度差得到区间长度较长，最后由解得最终结果. 【详解】由题意知，，则的最小值为，最大值为， 所以，又因为， 所以，又集合表示的区间为一个闭区间， 则，化简可得，又， 解得. 故选：C. 16．（24-25高一上·四川成都·期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【答案】C 【分析】根据题设有每个面包的总成本，应用基本不等式求结果. 【详解】由题设，总成本为，则每个面包的总成本， 当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。） 17．（14分）已知集合或，，， (1)已知，求实数的取值范围； (2)已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义即可求解； （2）由题意可得，根据参数的取值分类讨论即可求解. 【详解】（1），或， 因，故， 即实数的取值范围为. （2）由于是的必要条件，所以， 因， ① 当时，，此时，符合题意； ② 当时，，由，可得，解得， ③ 当时，，由，可得，解得， 综上所述：， 即实数的取值范围为. 18． （14分）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论和时，恒成立的条件，然后求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 19． （14分）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 20． （18分）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围； (3)若，且“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2) (3)． 【分析】（1）先应用分式不等式计算得出集合B，再应用交集定义求解； （2）分是否是空集分别列式计算求参； （3）根据充分不必要条件定义得出是的真子集，结合（2）即可求解. 【详解】（1）由题意知或， 若，则， 所以或； （2）当，即时，，此时，符合题意； 当，即时， 因为，所以， 解得， 综上，的取值范围是； （3），又“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 因为，由（2）知，所以， 解得，所以的取值范围是． 21． （18分）（1）解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）6 【分析】（1）由得，根据与1的大小分类讨论即可求解； （2）由已知得，利用韦达定理得，进而得，令，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）， 当，即时， ，      当，即时，无解， 当，即时， ， 综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号，故的最小值为6. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $