高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第一册）

高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第一章+第二章。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分。） 1．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 【答案】或 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 2．（25-26高一上·云南昭通·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据集合相等的条件，通过元素对应关系建立方程，进行求解即可. 【详解】由题意可得，则，即，则，解得或． 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的范围为 . 【答案】 【分析】设，求出的值，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， ， ，解得， ， ，， ，， ， 即. 故答案为： 4．（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 【答案】 【分析】令，对进行化简后作差求解. 【详解】令，则，， ， 所以. 故答案为： 5．（2025高一上·全国·专题练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】将命题“，使得”是假命题，转化为命题“，使得”是真命题，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】命题“，使得”是假命题， 等价于“命题"，使得”是真命题. 当时，可化为，解得， 不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得. 综上，所以实数的取值集合是. 故答案为： 6．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【答案】或 【分析】依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案． 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于的不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 7．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示 ． 【答案】 【分析】由题意有方程只有一个解或方程化为一元一次方程，分类讨论即可. 【详解】由有， 当方程只有一个解时，， 当方程化为一元一次方程，由，所以或， 所以. 故答案为：. 8．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值. 【详解】由题意可得，，， 即有， 由， 可得，当且仅当，即时，取得最小值； 同理可得在时，取得最小值； 在时，取得最小值. 则，即.可得M的最小值为. 故答案为： 9．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 可知的最小值为， 故答案为： 10．（24-25高一下·四川泸州·期末）若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 故答案为：. 12．（2024高一·上海·专题练习）对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心 . 【答案】 【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果. 【详解】解：因为， 由于 . 即，. 所以是的一个对称中心. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（25-26高一上·全国·阶段练习）已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】已知集合，根据，讨论得出，从而得出集合中的元素个数. 【详解】因为集合， 又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7． 故选：C. 14．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：A. 15．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）数集，其中，若，且，求（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据已知，结合集合描述推得，进而有求得，即可求. 【详解】由题设，又且， 若，则，，， 此时中不存在元素，不合题设； 若，则，，， 此时中存在一个大于的元素，不合题设； 所以，则，，， 所以，可得且且， 所以，则. 故选：D 16．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【答案】C 【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案. 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。） 17．（14分）已知集合， (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或，或 【分析】（1）根据交集和并集的定义可求； （2）根据补集的定义可求，再根据并集的定义可求. 【详解】（1），故. （2）或，故或. 18．（14分）实数满足． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围： (3)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用不等式的性质即可求解； （2）利用待定系数法可得，进而利用不等式的性质求解； （3）根据即可求解. 【详解】（1）由可得，故， 由可得，故， （2）设，故且， 解得， 因此， 故，即， （3）由于， 所以， 由于，故， 进而，因此， 故 19． （14分）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【详解】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 20． （18分）已知函数. (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先将式子进行化简，分三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可. （3）利用换元法将原式转化成一元二次方程，然后根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 得，综上可得，的取值范围是. （2）由题，即， 当，，所以不等式的解集为 当，，或 ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令， 当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 21． （18分）已知集合 中的元素都是正整数，且 ．若对任意， 且， 都有 成立，则称集合A具有性质M． (1)判断集合是否具有性质 M； (2)已知集合具有性质 M， 且正整数 求证： 且 并求出的值； (3)已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明)． 【答案】(1)具有 (2)证明见解析； (3)证明见解析；的最大值为9 【分析】（1）由集合新定义求解即可； （2）由集合新定义证明即可； （3）由所给性质变形为，再用累加法证明，再当时，取，则求出值即可； 【详解】（1）由题意得 所以集合是否具有性质 M， （2）证明: 因为，，则有：， 所以 ，可得：， 所以，， 所以，可得：，所以， 即 又因为为整数，所以符合条件的为4,5,6. 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 所以符合条件的为4,5,6. （3）证明: 因为，则有： 当 时， ，符合题意； 当时, 因为， 且， 所以，可得: ， 所以， 即 ， 综上所述：. 因为由上式可得，所以， 当时，取，则，可知. 又当时，，当且仅当时取等号，所以. 因此集合中元素个数的最大值为9. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键是能够根据所给性质把不等式变形为，再利用累加法证明. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第一章+第二章。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分。） 1．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 2．（25-26高一上·云南昭通·阶段练习）若，则 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的范围为 . 4．（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 5．（2025高一上·全国·专题练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 6．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 7．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示 ． 8．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为 . 9．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 10．（24-25高一下·四川泸州·期末）若，，且，则的最小值是 . 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 12．（2024高一·上海·专题练习）对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（25-26高一上·全国·阶段练习）已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）数集，其中，若，且，求（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 16．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。） 17．（14分）已知集合， (1)求； (2)求. 18．（14分）实数满足． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围： (3)求的取值范围． 19． （14分）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 20． （18分）已知函数. (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 21． （18分）已知集合 中的元素都是正整数，且 ．若对任意， 且， 都有 成立，则称集合A具有性质M． (1)判断集合是否具有性质 M； (2)已知集合具有性质 M， 且正整数 求证： 且 并求出的值； (3)已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明)． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $