专题01 空间直线与平面（9大题型）（期中专项训练）高二数学上学期沪教版

专题01 空间直线与平面 题型1 由平面的基本性质作截面图形 题型6 二面角（重点） 题型2 斜二测画法中有关量的计算（常考点） 题型7 空间关系的判断（重点） 题型3 等角定理的应用（常考点） 题型8 空间关系转化（重点） 题型4 异面直线所成的角（重点） 题型9 综合解答题（难点） 题型5线面角（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 由平面的基本性质作截面图形（共2小题） 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 2．（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 题型二 斜二测画法中有关量的计算（共5小题） 3．（24-25高二上·上海静安·期中）已知正三角形的边长为2，边在水平线上，则其平面直观图的面积为 . 【答案】 【详解】由题意， 所以其平面直观图的面积为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·期中）如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为 .    【答案】 【详解】设直观图的面积为，原图形的面积为，则， 故原三角形的面积为. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    【答案】 【详解】    在直观图中，设与交于点， 根据题意，为矩形，， 则，所以， 在平面直角坐标系下还原图形，如图：   ， 所以原图形的周长为：. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 【答案】 【详解】由直角梯形可得，，， ， 而，故， 故直角梯形的面积为， 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为    【答案】 【详解】由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形， 则中边长与的边长相等的边为， 在中，，， 所以，由正弦定理得：， 所以，所以原图中边上的高为：， 故答案为：. 题型三 等角定理的应用（共4小题） 8．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 【答案】或 【详解】角的两边和角的两边分别平行且， 由等角定理可知，或， 则或， 故答案为：或 9．（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 【答案】 【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得. 故答案为： 10．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则 . 【答案】或 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 11．（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，的大小是 【答案】或 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 题型四 异面直线所成的角（共5小题） 12．（24-25高二上·上海·期中）正四棱锥的所有棱长均相等，E是的中点，那么异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【详解】设正四棱锥棱长为2.连接AC，取AC中点为O，连接OE. 因E，O分别为PC，AC的中点，则， 则异面直线与所成角等于或其补角. 又由题可得，，. 则，则所成角为. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·期中）如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、、中，直线与直线所成角为 ． 【答案】 【详解】将正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，连接， 易知，则或其补角为直线与直线所成的角， 在中，易知，所以， 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】如图所示： 不妨设，则由长方体性质可得， 易知直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角； 在中，可得， 由余弦定理可知. 故答案为： 15．（24-25高二上·上海·期中）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．求异面直线与所成角的大小． 【详解】由题意知，则异面直线与所成角即为， 又， 在中，又， ， ． 则异面直线与所成角的大小为． 16．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【详解】    如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 题型五 线面角（共5小题） 17．（24-25高二上·上海·期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的 心. 【答案】外 【详解】三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为， 顶点在底面的射影在内， 所以， 所以，故是的外心. 故答案为：外 18．（24-25高二上·上海·期中）已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图，，，，过点作，垂足为点， 因为，，， 所以， 当点重合时，等号成立，所以，， 所以的最小值为 故答案为： 19．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则直线与平面所成角的正切值是 【答案】 【详解】 因为为正四棱柱，则底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以， 平面，，所以平面， 由线面角的定义可知，为直线与平面所成角， 则. 故答案为： 20．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    【答案】 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 21．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【答案】1 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 题型六 二面角（共5小题） 22．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点，连接，因为和都是等边三角形， 则，所以为二面角的平面角， 又，则，，所以， 所以二面角的大小为. 故选：C. 23．（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，，，则二面角的大小的正切值为 ． 【答案】 【详解】在长方体中，平面，平面， 则，过作于，连接，平面， 则平面，又平面，于是，是二面角的平面角， 由，，得， 在中，. 故答案为： 24．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【详解】取BD的中点O，连接A1O，C1O，A1C1，如图所示： 因为长方体中， 所以，即 ， 所以，，且. 所以为二面角的平面角， 故答案为：. 25．（23-24高二上·上海普陀·期中）定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为 ． 【答案】 【详解】根据题意，设点在锐二面角内， 过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为， ，，则直线，同理：， 而，平面，则平面， 设平面与直线的交点为，平面， 则有，，， 连接、、，则是二面角的平面角或其补角， 依题意，不妨设，则，， 如图：    在中，，，则， 在中，，，则， 则，所以锐二面角的大小为. 故答案为：. 26．（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，所以，， 延长至点，使，连接，，且， 则为等边三角形，且为二面角为时在平面上的投影. 取边的中点，连接，，则，， 又，所以平面， 过点作平面，则，即点在平面内的摄影在线段上， 则二面角从变化到的过程中，点在平面内的摄影从到， 线段AD在平面上的投影扫过的平面区域为. ，，所以为等边三角形， 则有， 又，， 所以. 故答案为： 题型七 空间关系的判断（共11小题） 27．（24-25高二上·上海·期中）设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：若对β内的任意直线l，都有，利用线面垂直的定义可知； 又，根据面面垂直的判定定理可知， 因此可知充分性成立； 必要性：由，，如下图所示： 无法确定β内的任意直线l与的关系，因此必要性不成立. 即“对β内的任意直线l，都有”是“”的充分不必要条件. 故选：A 28．（24-25高二上·上海·期中）若是平面与平面的交线，直线和是异面直线，在平面内，在平面内，则下列命题正确的是（   ） A．至少与、中的一条相交 B．与、都相交 C．至多与、中的一条相交 D．与、都不相交 【答案】A 【详解】BC选项，如图1，与、都相交，如图2，与相交、与平行，BC错误； D选项，与、都不相交，故与平行，但此时和不是异面直线，D错误； A选项，至少与、中的一条相交，A正确. 故选：A 29．（24-25高二上·上海·期中）在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为（    ） A．过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； B．若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； C．两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线； D．若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则. 【答案】D 【详解】对A，若平面外的两点在平面异侧，且两点所确定直线与平面垂直， 则有无穷多个平面与平面垂直，故A错误； 对B，当与相交，则在内存在不在平面同侧的三点，使这三点不共线且到平面的距离都相等，故B错误； 对C，过两异面直线作两平行平面，作一平面与两平行平面垂直，则两条异面直线在这一平面上的射影互相平行，故C错误； 对D，由直线与平面垂直定义可得，直线与平面内的任意一条直线垂直，故D正确. 故选：D 30．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】由正四面体性质知与正方体的六个面都是不平行，因此， 而正四面体中与垂直（证明如下），此， 因此与正方体的左右两个面平行，不相交，但与另外四个面都相交，， 所以， 故选：D． 下面证明： 取中点，连接，因为， 所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以．    31．（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 【答案】A 【详解】因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面， 又面，所以，故选项C正确， 又，，面，所以平面， 又面，所以，故选项B和D正确， 对于选项A，若，又，面， 则面，又面，所以，与相矛盾 故选：A. 32．（24-25高二上·上海·期中）空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l与这三条直线所成角均为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令空间中三条符合题设的直线分别为，如下图正方体所示， 又，故直线l与夹角，即为与夹角， 根据正方体的结构特征，易知其中体对角线与的夹角相等， 若为的中点，连接与交于，其中为正三棱锥且为底面中心， 所以面，面，则，且与的夹角为或其补角， 令正方体棱长为2，则，可得， 所以，故. 故选：D 33．（24-25高二上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【答案】D 【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 故选：D. 34．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和， 所以，与夹角为的面对角线有：、、、， 又因为，，，， 根据平行关系可知、、、也与成角， 可知满足题意的面对角线共有条， 故选：C. 35．（24-25高二上·上海静安·期中）已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①若α∥β，由m⊥α，得m⊥β，再由n⊥β，可得m∥n，这与m⊥n矛盾； 若α与β相交，由已知m⊥α，n⊥β，且m⊥n，可知α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β，因此①正确． ②若α∩β＝l，且m∥n∥l，则可满足m∥α，n∥β，故满足已知条件的α与β不一定平行，因此②不正确． ③若α∥β，又n∥β，m⊥α，于是m⊥n，也满足条件，故③不正确． ④若α⊥β，又m⊥α，n∥β，则可能有m∥n，故④不正确．综上可知只有①正确． 故选：B． 36．（24-25高二上·上海·期中）为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（    ） ①二面角的范围是； ②经过3个点有且只有一个平面； ③若为两条异面直线，，则． ④若为两条异面直线，且，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①，二面角的范围是，①错； 对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错 对于③，若为两条异面直线，，则与可能平行也可能相交，故③错误； 对于④，因为，过直线m作平面，使得， 由线面平行的性质定理可得，则， 因为，则， 因为，过直线n作平面，使得， 由线面平行的性质定理可得，则， 因为，则， 若，则，这与为两条异面直线矛盾，故相交， 又因为，所以，故④对，    故选：B 37．（24-25高二上·上海·期中）如图，为正方体，    ①  ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条. 其中正确结论的个数是（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】在正方体中，由正方形，则， 又平面，平面，则， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 平面，所以，故①正确； 因为，又平面，平面，则， 又是平面内两条相交直线，所以平面，又平面， 所以，同理可得，又是平面内两条相交直线， 所以平面，故②正确； 因为平面，易知是直线在平面内的射影， 则是直线与平面所成角，则，故③错误； 由可得直线与所成的角是， 抽象出图形如下，，，，是的平分线，是其补角的平分线，   与和夹角为，与和夹角为， 直线绕（在平面的垂直平面内，保持与成等角）旋转时， 与，的夹角（锐角）最大到，中间有成角的直线，共两条， 而直线同样旋转时，最小角是，不可能有角． 所以过点与异面直线与成角的直线有2条，故④正确． 综上，正确的有①②④. 故选：D. 题型八 空间关系转化（共5小题） 38．（24-25高二上·上海·期中）三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内的射影是的 ．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”） 【答案】外心 【详解】如图，设顶点在底面内的射影为，则平面， 连接，，，   ，，在平面内， ，，， ，，都是直角三角形， ， ，和三个三角形全等， 从而有， 所以为的外心. 故答案为：外心. 39．（24-25高二上·上海静安·期中）从平面外一点向该平面引垂线段及斜线段、，已知的长为，，．则的长为 ． 【答案】 【详解】如图，设平面为，由题意得平面，因为平面，所以， 在中，，， 所以，同理， 在中，，， 所以． 故答案为： 40．（24-25高二上·上海·期中）如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为    【答案】3 【详解】依题意，直线，点直线，点直线， 在几何体中，两两垂直，而平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 又平面，因此平面平面， 而，则平面，又平面，因此平面平面， 令平面平面，由，平面，平面， 得平面，而平面，于是，同理平面， 则平面，平面，则，是平面与平面的夹角， 而是锐角，因此平面与平面不垂直， 所以与平面垂直的平面个数为3. 故答案为：3    41．（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，所以，， 延长至点，使，连接，，且， 则为等边三角形，且为二面角为时在平面上的投影. 取边的中点，连接，，则，， 又，所以平面， 过点作平面，则，即点在平面内的摄影在线段上， 则二面角从变化到的过程中，点在平面内的摄影从到， 线段AD在平面上的投影扫过的平面区域为. ，，所以为等边三角形， 则有， 又，， 所以. 故答案为： 42．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 【答案】 【详解】 设将沿折起后得到的平面为平面， 在矩形中，过作，垂足为， 旋转后，故为二面角的平面角， 因平面平面，，故， 而，平面， 故平面，故为在平面上的射影， 因为，故在以为直径的半圆上（如图所示，去除）， 连接，交半圆于， 因为，故，故在劣弧（去除）上， 其长度为， 故答案为： 题型九 综合解答题（共15小题） 43．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【详解】（1）在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，是二面角的平面角， 在等腰中，，，则， 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. 44．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 【详解】（1）如图： 因为平面，平面，平面，所以直线与直线是异面直线. （2）因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，，，, 所以，所以. 45．（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且，.    (1)求异面直线和所成角； (2)求二面角的正切值. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面， 则，，所以点的曲率为， 所以，所以为正三角形， 取中点，连， 则，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以即为异面直线和所成角 设，则可得，， 所以， 即异面直线和所成角为.      （2）取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面. 又平面，所以， 过作的垂线，垂足为，连接，    则，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角的补角. 设，设，则，，. 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为. 46．（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥 的底面是 的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面底面 (1)证明平面PAB⊥平面PBC; (2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【详解】（1）在矩形 中，，平面， 又平面 平面 ，平面 平面， 平面， 平面 ， 平面 平面 . （2）取中点， CD中点F，连接, 是等边三角形， ， 又，平面， 所以平面，因为， 所以平面，平面， 所以, 为平面 与平面 所成的角， 又， 在中，， 所以. 47．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 【详解】（1）因为面，面， 所以， 又侧面， 所以侧面， 又因为侧面， 所以侧面侧面； （2）因为，为的中点， 所以，， 因为侧面，侧面， 所以， 又因为侧面， 所以侧面， 所以即为与侧面所成角的平面角， 在中，， 在中，，所以， 在中，，所以， 即与侧面所成角的大小为． 48．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱锥体积为1． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【详解】（1）在直角梯形中，，，，， 则， 则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又，所以即为二面角的平面角， 由，得， 在中，， 所以， 即二面角的大小为． 49．（24-25高二上·上海·期中）如图，正四面体中，棱长为，的中点为.求：    (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 【详解】（1）取的中点，连接， 在正四面体中，的中点为， 则， 因为为的中点，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，则， 所以二面角的大小为；    （2）由（1）知平面， 所以线段的长度即为点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 50．（24-25高二上·上海·期中）如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体，分别为的中点，F为弧的中点，G为弧的中点，    (1)求直线与平面所成角的大小 (2)求异面直线与所成角的大小 【详解】（1）由条件可知，平面平面，且平面平面， 因为点是弧的中点，所以， 所以平面， 所以直线与平面所成角为， ，；    （2）连结，， 因为点分别是弧的中点， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为与所成角，即或其补角， ，， 所以， 所以异面直线与所成角为. 51．（24-25高二上·上海·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点． (1)求证：直线与直线垂直； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【详解】（1）取的中点，连结，， 因为，分别是、的中点，所以，， 又因为直棱柱中，可得， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）平面，平面 可得，又，即， 又，面， 平面 为直线与平面所成角，且，所以， 假设，则，所以，， 得到，所以， 所以直线与平面所成角为（或或）. 52．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知圆柱的底面半径为1，正内接于圆柱的下底面圆，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线. (1)证明：直线和是异面直线； (2)求点到平面的距离： (3)在劣弧上是否存在一点，满足平面？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）依题意，平面，平面，直线，而平面， 所以直线和是异面直线. （2）连接CO并延长交AB于M， 由正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，得，又平面ABC， 平面，则，又,平面,平面， 因此平面，所以点C到平面的距离为. （3）连接，在平面ABC内过点O作交劣弧于D，连接， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，则平面，连接OB，则， 所以劣弧上存在一点，满足平面，. 53．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由; (2)若，求直线与平面所成角的大小. 【详解】（1） 因为为的中点，为中点， 所以且， 又， 所以且， 所以直线与相交. （2）连接，取中点，连接、， 菱形中，，，是等边三角形， 是中点，， 平面，平面，， 、平面，，平面． 是直线与平面的所成角， 是中点，，． 平面，平面，， 为中点，，中，， 等边中，高， 中，， 可得，即直线与平面的所成角等于． 54．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【详解】（1）∵，∴与所成的角就是（或其补角）. ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，而， ∴平面，又平面，∴. 在中，，，， ∴.即与所成角为. （2）如图，取BC中点E，连接，易知O为的中点， ∴且， ∴平面，∴为与平面所成的角. 在中，，， ∴. 即与平面所成角的正切值为.    55．（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥满足. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)求异面直线与所成角大小. 【详解】（1）因为直线平面，点平面，点，点平面， 所以直线与直线是异面直线. （2） 如图：取的中点，的中点，的中点，连接，，， 所以，， 所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，，， 所以有， 由余弦定理得 ， 所以异面直线与所成角大小为. 56．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM.    (1)； (2)求二面角的大小. 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以；    （2）取的中点，连接，过作于，过作于， 连接，因为在平面中，，所以， 由（1）知，所以因为平面， 所以平面，因为平面，所以 因为平面MEH，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 因为，所以， 在中，，所以， 所以，所以二面角的大小为. 57．（24-25高二上·上海·期中）如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面，.    (1)证明：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【详解】（1）连接交于点，连接， 则，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以. （2）由（1），平面，过点作，连接， 则，是平面内两条相交直线，所以平面， 平面，则， 所以即是二面角的平面角， ，， 在中，可得， 又，， ， 所以锐二面角的余弦值为.    （3）存在这样的点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 在的延长线上取点，使得，连接， ，， ，，所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，平面，平面， 所以平面， 所以在直线的延长线上存在点，使得平面，此时满足. $专题01 空间直线与平面 题型1 由平面的基本性质作截面图形 题型6 二面角（重点） 题型2 斜二测画法中有关量的计算（常考点） 题型7 空间关系的判断（重点） 题型3 等角定理的应用（常考点） 题型8 空间关系转化（重点） 题型4 异面直线所成的角（重点） 题型9 综合解答题（难点） 题型5线面角（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 由平面的基本性质作截面图形（共2小题） 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 2．（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 题型二 斜二测画法中有关量的计算（共5小题） 3．（24-25高二上·上海静安·期中）已知正三角形的边长为2，边在水平线上，则其平面直观图的面积为 . 4．（24-25高二上·上海·期中）如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为 .    5．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    6．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 7．（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为    题型三 等角定理的应用（共4小题） 8．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 9．（24-25高二上·上海静安·期中）若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 10．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则 . 11．（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，的大小是 题型四 异面直线所成的角（共5小题） 12．（24-25高二上·上海·期中）正四棱锥的所有棱长均相等，E是的中点，那么异面直线与所成角的大小为 . 13．（24-25高二上·上海·期中）如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、、中，直线与直线所成角为 ． 14．（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为 . 15．（24-25高二上·上海·期中）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．求异面直线与所成角的大小． 16．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    题型五 线面角（共5小题） 17．（24-25高二上·上海·期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的 心. 18．（24-25高二上·上海·期中）已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为 . 19．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则直线与平面所成角的正切值是 20．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    21．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 题型六 二面角（共5小题） 22．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，，，则二面角的大小的正切值为 ． 24．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 25．（23-24高二上·上海普陀·期中）定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为 ． 26．（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 题型七 空间关系的判断（共11小题） 27．（24-25高二上·上海·期中）设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（24-25高二上·上海·期中）若是平面与平面的交线，直线和是异面直线，在平面内，在平面内，则下列命题正确的是（   ） A．至少与、中的一条相交 B．与、都相交 C．至多与、中的一条相交 D．与、都不相交 29．（24-25高二上·上海·期中）在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为（    ） A．过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； B．若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； C．两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线； D．若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则. 30．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 31．（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 32．（24-25高二上·上海·期中）空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l与这三条直线所成角均为，则的值为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 34．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 35．（24-25高二上·上海静安·期中）已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 36．（24-25高二上·上海·期中）为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（    ） ①二面角的范围是； ②经过3个点有且只有一个平面； ③若为两条异面直线，，则． ④若为两条异面直线，且，则． A．0 B．1 C．2 D．3 37．（24-25高二上·上海·期中）如图，为正方体，    ①  ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条. 其中正确结论的个数是（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 题型八 空间关系转化（共5小题） 38．（24-25高二上·上海·期中）三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内的射影是的 ．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”） 39．（24-25高二上·上海静安·期中）从平面外一点向该平面引垂线段及斜线段、，已知的长为，，．则的长为 ． 40．（24-25高二上·上海·期中）如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为    41．（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 42．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 题型九 综合解答题（共15小题） 43．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 44．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 45．（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且，.    (1)求异面直线和所成角； (2)求二面角的正切值. 46．（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥 的底面是 的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面底面 (1)证明平面PAB⊥平面PBC; (2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小. 47．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 48．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱锥体积为1． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 49．（24-25高二上·上海·期中）如图，正四面体中，棱长为，的中点为.求：    (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 50．（24-25高二上·上海·期中）如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体，分别为的中点，F为弧的中点，G为弧的中点，    (1)求直线与平面所成角的大小 (2)求异面直线与所成角的大小 51．（24-25高二上·上海·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点． (1)求证：直线与直线垂直； (2)求直线与平面所成的角的大小． 52．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知圆柱的底面半径为1，正内接于圆柱的下底面圆，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线. (1)证明：直线和是异面直线； (2)求点到平面的距离： (3)在劣弧上是否存在一点，满足平面？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由. 53．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由; (2)若，求直线与平面所成角的大小. 54．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 55．（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥满足. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)求异面直线与所成角大小. 56．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM.    (1)； (2)求二面角的大小. 57．（24-25高二上·上海·期中）如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面，.    (1)证明：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. $