期中模拟卷01（沪教版：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用）高二数学上学期沪教版

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量 则与的夹角为 【答案】120° 【详解】由题设，又， 所以. 故答案为： 2．已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 【答案】 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 3．已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 4．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 【答案】 【详解】因为与互相垂直，，， 所以， 解得. 故答案为：. 5．如图，等腰直角三角形是一个平面图形的斜二测直观图，且，则该平面图形的原面积为 .    【答案】 【详解】因为是等腰直角三角形，且，所以， 所以， 设该平面图形的原面积为，则，即. 故答案为： 6．我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是 ． 【答案】尺 【详解】将圆柱形圆木沿一条母线剪开,两个侧面展开图沿母线拼接，得如下长方形尺，尺，    所以葛藤最少长为尺. 故答案为：尺 7．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积 ．    【答案】 【详解】, 则， 所以 故答案为：    8．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 【答案】 【详解】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则， 由截面圆的周长为，得，∴， 球的半径是． 所以该球的表面积为. 故答案为：. 9．如图所示，已知三棱锥中，平面，，，，．则点A到平面的距离 ． 【答案】 【详解】因为，，，所以， 因为平面，所以，且，因为， 所以, ， 因为，所以是直角三角形，且， 所以， 因为在中， 由平面知，为三棱锥以平面为底时的高， 所以设点A到平面的距离为，由等体积法知： ，即：， 所以，解得：. 故答案为： 10．若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 【答案】 【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理，故四点共面， 则即为二面角的平面角， 在中，，则， 在中，，则， 所以，所以， 即二面角的大小为. 故答案为：. 11．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .    【答案】 【详解】    如图所示，设， 取中点，连接，，则， 又， ， 四边形为矩形， ， 又为正三角形，为的中点， ， ，且，平面， 平面， 易知，则， 四边形为等腰梯形，高为， 在平面内，过点作的垂线， 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， ， 即异面直线与的夹角余弦值为， 故答案为：. 12．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为 . 【答案】 【详解】取的中点，连接、、、， 因为点为棱的中点，所以，又且， 所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面，连接，， 则，， 因为底面为菱形，且，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以， 将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点， 则， 又， 在中， 即， 所以， 即线段、的长度和的最小值为. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 14．给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 【答案】C 【详解】对于命题：如图即为反例，故命题为假命题；    对于命题：如图所示，在该棱锥中，底面. 在底面中，，，….    根据三垂线定理，则所有侧面都是直角三角形，即命题为真命题. 故选：C 15．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为，则， 由圆柱的底面圆直径为24cm，则有， 即，可得，则， . 故选：A． 16．已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）如图，在长方体中，，； （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成的角． 【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且， 所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形； 因此，； 又平面，平面；平面，平面； 所以平面；平面； 又平面，平面，， 所以平面平面；……（7分） （2）过点作于点， 因为在长方体中，易知：平面， 所以，又平面，平面， 所以平面， 因此，为与平面所成的角； 又在长方体中，，， 因此， 所以； 即与平面所成的角为.……（14分） 18．（14分）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【详解】（1）解法一： 证明：连接与交于点，则是的中点，连接， 又是的中点，则有， 平面，平面，所以平面. 解法二：，则有，又平面， 以为原点，的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，有， 令，则，得， 于是，且平面，故平面.……（7分） （2）解法一： 取的中点，连接， 直三棱柱中，平面，平面，故， 又为的中点，则有且. 由，则有， 又，平面， 所以平面，平面. ，. 解法二： 在（1）的基础上，， 设平面的一个法向量为，， 令则，得， 于是点到平面的距离为， 于是.……（14分） 19．（14分）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为. (1)求该半球的体积； (2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积. 【详解】（1）连接交点为，设球的半径为， 由题意可知，则， 四棱锥的体积为，解得， 则该半球的体积为；……（7分）    （2）由题意知， 所得几何体的表面积为 .……（14分） 20．（18分）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 【详解】（1）矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足 ， 因，设, 代入 ，得，即，解得（舍负根）， 因此，，，因矩形抗弯截面系数公式为， 将b、h代入，可得 ， 综上，当时，矩形截面抗弯截面系数为；……（9分） （2）假设截面面积均为正常数S，则，，，因， ，又因为，所以，即， 综上， ，故矩形截面的梁的截面形状最好．……（18分） 21．（18分）如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥. (1)求线段的长度； (2)求四棱锥的体积的最大值； (3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值. 【详解】（1）如图， 延长相交于点， 因为，所以， 所以是边长为1的等边三角形，， 所以，， 由余弦定理得， 即，即， 所以；……（6分） （2） 延长相交于点，是边长为1的等边三角形， 由（1），得，， 所以， ， 故四边形的面积为 要向折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大， 故使平面平面，此时四棱锥的高即为边上的高， 因为的面积为，设边上的高为， 则，解得， 故四棱锥的体积的最大值为；……（12分） （3）作交于点，由，所以， 可得，所以点为的中点， 取的中点，连接， 则，可得，所以， 设翻折前点为，连接，则，，， 作交于点，连接， 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 由于，，所以， 因为分别为的中点，所以，， ， 由余弦定理得 ，， 所以.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量 则与的夹角为 2．已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 3．已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 4．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 5．如图，等腰直角三角形是一个平面图形的斜二测直观图，且，则该平面图形的原面积为 .    6．我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是 ． 7．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积 ．    8．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 9．如图所示，已知三棱锥中，平面，，，，．则点A到平面的距离 ． 10．若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 11．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .    12．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 14．给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 15．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取）（    ） A． B． C． D． 16．已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）如图，在长方体中，，； （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成的角． 18．（14分）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 19．（14分）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为. (1)求该半球的体积； (2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积. 20．（18分）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 21．（18分）如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥. (1)求线段的长度； (2)求四棱锥的体积的最大值； (3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量 则与的夹角为 2．已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 3．已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 4．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 5．如图，等腰直角三角形是一个平面图形的斜二测直观图，且，则该平面图形的原面积为 .    6．我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是 ． 7．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积 ．    8．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 9．如图所示，已知三棱锥中，平面，，，，．则点A到平面的距离 ． 10．若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 11．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .    12．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 14．给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 15．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取）（    ） A． B． C． D． 16．已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）如图，在长方体中，，； （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成的角． 18．（14分）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 19．（14分）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为. (1)求该半球的体积； (2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积. 20．（18分）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 21．（18分）如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥. (1)求线段的长度； (2)求四棱锥的体积的最大值； (3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分. 1．120° 2． 3． 4． 5． 6．尺 7．   8． 9． 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C C A A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且， 所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形； 因此，； 又平面，平面；平面，平面； 所以平面；平面； 又平面，平面，， 所以平面平面；……（7分） （2）过点作于点， 因为在长方体中，易知：平面， 所以，又平面，平面， 所以平面， 因此，为与平面所成的角； 又在长方体中，，， 因此， 所以； 即与平面所成的角为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）解法一： 证明：连接与交于点，则是的中点，连接， 又是的中点，则有， 平面，平面，所以平面. 解法二：，则有，又平面， 以为原点，的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，有， 令，则，得， 于是，且平面，故平面.……（7分） （2）解法一： 取的中点，连接， 直三棱柱中，平面，平面，故， 又为的中点，则有且. 由，则有， 又，平面， 所以平面，平面. ，. 解法二： 在（1）的基础上，， 设平面的一个法向量为，， 令则，得， 于是点到平面的距离为， 于是.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）连接交点为，设球的半径为， 由题意可知，则， 四棱锥的体积为，解得， 则该半球的体积为；……（7分）    （2）由题意知， 所得几何体的表面积为 .……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足 ， 因，设, 代入 ，得，即，解得（舍负根）， 因此，，，因矩形抗弯截面系数公式为， 将b、h代入，可得 ， 综上，当时，矩形截面抗弯截面系数为；……（9分） （2）假设截面面积均为正常数S，则，，，因， ，又因为，所以，即， 综上， ，故矩形截面的梁的截面形状最好．……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）如图， 延长相交于点， 因为，所以， 所以是边长为1的等边三角形，， 所以，， 由余弦定理得， 即，即， 所以；……（6分） （2） 延长相交于点，是边长为1的等边三角形， 由（1），得，， 所以， ， 故四边形的面积为 要向折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大， 故使平面平面，此时四棱锥的高即为边上的高， 因为的面积为，设边上的高为， 则，解得， 故四棱锥的体积的最大值为；……（12分） （3）作交于点，由，所以， 可得，所以点为的中点， 取的中点，连接， 则，可得，所以， 设翻折前点为，连接，则，，， 作交于点，连接， 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 由于，，所以， 因为分别为的中点，所以，， ， 由余弦定理得 ，， 所以.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $