15.3.2.2含30°角的直角三角形的性质 课件- 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形性质与判定，涵盖等腰三角形、直角三角形（含30°角性质）、全等三角形等核心知识。从教材屋架设计例题导入，通过基础计算、证明题到实际应用（如房梁检测）逐步推进，构建从具体实例到抽象性质再到应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以屋架设计、台风中树折断等情境培养几何直观（数学眼光），通过全等证明、逻辑推理发展推理意识（数学思维），结合生活应用题提升应用能力（数学语言）。采用实例导入与分层练习，学生能深化理解并激发兴趣，教师可直接用于教学提高效率。

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 15.3.2.2含30°角的直角三角形的性质 第十五章 轴对称 授课教师： 阿老师 . 班 级： 托克逊县第一中学8（11）班 . 时 间： 2025.10 . 1.通过画图活动和折纸活动，进一步体会等边三角形的对称性，训练学生的直观想象能力. 2.通过学生自主探究掌握含30°角的直角三角形的性质，会运用性质进行计算与证明，培养学生解决问题的能力. 3.通过学生猜想和归纳结论的过程，渗透转化思想，培养数学抽象能力和逻辑推理能力. 学习目标 2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？ 1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？ 想一想: 情景导入 a. 量一量这个三角板的短直角边和斜边的长度. 说一说你发现了什么？ 短直角边：6.9 cm 斜边：13.8 cm 短直角边的长是斜边长的一半 情景导入 b. 将两个全等的含 30°角的直角三角尺摆在一起. 你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ C A B D 猜测： 理由：①△ABD为等边三角形； ②△ADC与△ABC关于直线AC轴对称. 情景导入 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，测量∠A 所对的直角边 BC 与斜边 AB，你能得到什么结论？ 探究新知 含 30° 角的直角三角形的性质 探 究 A B C 30° 再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？ 仍然成立. 你能证明你的结论吗？ 探究新知 已知：如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°，∠A = 30°. 求证： 分析： 2BC = AB 构造长为 2BC 的线段 构造长为 AB 的线段 A B C 30° 构造线段 A B C 30° D A B C 30° D 探究新知 证明：如图，延长 BC 到 D，使 CD = BC，连接 AD，则 AC 是 BD 的垂直平分线. 所以 AB = AD. 又因为∠B = 90° –∠BAC = 90° – 30° = 60°， 所以△ABD 是等边三角形， 所以 BD = AB. 方法① A B C 30° D 又 BD = 2BC，所以 BC = AB. 探究新知 ∴∠B = 90° – 30° = 60°. 又 BD = BC，∴△BCD 是等边三角形. ∴BD = CD = BC，∠BCD = 60°. ∵∠ACB = 90°，∴∠ACD =∠ACB –∠BCD = 30°. 又∠A = 30°，∴∠A =∠ACD. ∴AD = CD = BC = BD. 证明：如图，在 AB 边上截取 BD = BC，连接 CD. 在 Rt△ABC 中， ∵∠ACB = 90°，∠A = 30°， A B C 30° D 方法② 含 30° 角的直角三角形的性质 所以 BC = AB. 探究新知 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°，∠A = 30°， ∴ BC = AB. 几何语言： A B C 30° 探究新知 针对训练 1. 在 Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边 AB 与 BC 之间有什么关系？ 教材P84练习 第1题 解：∵ ∠C = 90°，∠B = 2∠A，∠A +∠B +∠C = 180°， ∴ ∠A + 2∠A + 90° = 180°. ∴ ∠A = 30°. ∴ ∠B = 2∠A = 60°. ∴ AB = 2BC. 课堂练习 针对训练 2. 在 Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 2BC，∠B 和∠A 各是多少度？ 教材P84练习 第2题 A B C D 解：如图，延长 BC 至点 D，使 CD = BC，连接 AD，则 BD = 2BC. ∵ AB = 2BC，∴ AB = BD. ∵∠ACB = 90°，CD = BC， ∴ AC 是 BD 的垂直平分线. ∴ AD = AB = BD. ∴ △ABD 是等边三角形. ∴ ∠B = 60°. ∴ ∠CAB = 90° – ∠B = 30°. 课堂练习 教材P83例题 例5 图中是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°. 求立柱 BC，DE 的长. 课堂练习 教材P83例题 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°， ∴BC = AB，DE = AD. ∴BC = ×7.4 =3.7(m) . 又 AD = AB，∴DE = AD = ×3.7 =1.85(m). 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m. 课堂练习 1.（1）等腰三角形的一个角是 110°，它的另外两个角是多少度？ 【教材P84习题15.3 第1题】 解：（1）∵等腰三角形的一个角是110°，内角和为180°， ∴这个角只能是顶角. ∴它的另外两个底角的度数为 (180° – 110°)÷2 = 35°. 课堂练习 （2）等腰三角形的一边长是 8，周长是 18，它的另外两边长是多少？ （2）分两种情况讨论： ①当长是8的边为底边时，两腰长均为(18 – 8)÷2 = 5，此时三边长为 5，5，8，符合三角形三边关系； ②当长是 8 的边为腰时，底边长为 18 – 8×2 = 2，此时三边长为8，8，2，符合三角形三边关系. 综上所述，它的另外两边长分别是 5，5 或 2，8. 课堂练习 2. 如图，AD // BC，BD 平分∠ABC. 求证 AB = AD. 【教材P84习题15.3 第2题】 证明：∵AD // BC， ∴∠CBD = ∠ADB. ∵BD 平分∠ABC， ∴∠CBD =∠ABD. ∴∠ADB =∠ABD. ∴AB = AD(等角对等边). 课堂练习 3. 如图，五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是 36°. 求∠AMB的度数 . 【教材P84习题15.3 第3题】 解：如图. ∵五角星的五个角都是 顶角为 36°的等腰三角形， ∴∠A = 36°. ∴∠AMN = (180°– 36°)÷2 = 72°. ∴∠AMB = 180° –∠AMN = 180° – 72° = 108°. 课堂练习 4. 如图，在△ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，AB = AC，AD = AE. 求证 BD = CE. 【教材P84习题15.3 第4题】 证明：∵AB = AC，∴∠B =∠C. ∵AD = AE，∴∠ADE =∠AED， ∴∠ADB =∠AEC. ∴△ABD≌△ACE（AAS）. ∴BD = CE. 课堂练习 5. 如图，∠A =∠B = 60°，CE // DA，CE 交AB 于点 E. 求证：△CEB 是等边三角形 . 【教材P84习题15.3 第5题】 证明：∵CE // DA， ∴∠CEB =∠A = 60°. 又∠B = 60°， ∴∠BCE =∠B =∠CEB = 60°. ∴△CEB 是等边三角形. 课堂练习 6. 如图，AB = AC，∠A = 40°，AB的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D. 求∠DBC 的度数 . 【教材P84习题15.3 第6题】 解：∵AB = AC，∠A = 40°， ∴∠ABC =∠ACB = (180° – 40°)÷2 = 70°. ∵MN 是 AB 的垂直平分线， 点 D 在 MN 上， ∴DA = DB. ∴∠ABD =∠A = 40°. ∴∠DBC =∠ABC –∠ABD = 70°– 40° = 30°. 课堂练习 7. 如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 AB = AC，立柱 AD ⊥ BC，顶角∠BAC = 120°. AD 与 AB 有什么数量关系？ 【教材P85习题15.3 第7题】 课堂练习 解：∵AB = AC，∠BAC = 120°， ∴∠B =∠C = (180°–∠BAC) = 30°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB = 90°. ∴AD = AB. 课堂练习 8. 某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平： 【教材P85习题15.3 第8题】 综合运用 在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的. 他们的方法对吗？为什么？ 课堂练习 解：他们的方法是对的. 理由： ∵等腰直角三角尺的斜边贴在房梁上，O 是 AB 的中点，线绳经过点 C， ∴OC 是等腰直角三角形 ABC 的中线，且OC⊥AB（房梁）. 又 OC 是铅垂线，它垂直于地面， ∴房梁平行于地面，即房梁是水平的. ∴他们的方法是对的. 课堂练习 9. 上午 8 时，一条船从海岛 A 出发，以 15 n mile/h 的速度向正北航行，10 时到达海岛 B 处 . 从 A，B 望灯塔 C，测得∠NAC = 42°，∠NBC = 84°. 求海岛 B 与灯塔 C 的距离 . 【教材P85习题15.3 第9题】 课堂练习 解：∵船从海岛 A 出发，2 h 后到达海岛 B， ∴ AB = (10 – 8)×15 = 30 (n mile). ∵∠NAC = 42°，∠NBC = 84°， 且∠NBC 是△ABC 的一个外角， ∴∠BCA =∠NBC –∠NAC = 84° – 42° = 42°. ∴∠NAC =∠BCA. ∴BC = AB = 30 n mile. 答：海岛 B 与灯塔 C 的距离是 30 n mile. 课堂练习 10. 如图， △ABC 是等边三角形，E 是边 AC 上的点，且∠1 =∠2，CD = BE. 判断△ADE 的形状，并说明理由. 【教材P85习题15.3 第10题】 课堂练习 解：△ ADE 是等边三角形. 理由如下： ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB = AC，∠BAE = 60°. 又∠1 =∠2，BE = CD， ∴△ABE≌△ACD（SAS）. ∴AE = AD，∠CAD =∠BAE = 60°. ∴△ADE 是等边三角形. 课堂练习 11. 如图，△ ABD，△AEC 都是等边三角形 . 求证 BE = DC. 【教材P85习题15.3 第11题】 课堂练习 证明：∵△ABD，△AEC 都是等边三角形， ∴AD = AB，AC = AE，∠DAB =∠CAE = 60°. ∴∠DAB +∠BAC =∠CAE +∠BAC， 即∠DAC =∠BAE. 在△DAC 和△BAE 中， AD = AB， ∠DAC = ∠BAE， AC = AE， ∴△DAC≌△BAE（SAS）. ∴BE = DC. 课堂练习 12. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 30°，AD⊥AB，交 BC 于点 D. 若 AD = 2，求 BC 的长 . 【教材P86习题15.3 第12题】 解：∵AD⊥AB，∴∠BAD = 90°. 又∠B = 30°， ∴BD = 2AD = 2×2 = 4，∠ADB = 60°. ∵AB = AC，∴∠C =∠B = 30°. ∴∠DAC =∠ADB –∠C = 30°=∠C. ∴CD = AD = 2. ∴BC = BD + CD = 4 + 2 = 6. 课堂练习 13. 如图，P，Q 是△ABC 的边 BC 上的两点， 并且 BP = PQ = QC = AP = AQ. 求∠BAC 的度数. 【教材P86习题15.3 第13题】 课堂练习 解：∵PQ = AP = AQ， ∴△APQ 为等边三角形. ∴∠PAQ = ∠APQ =∠AQP = 60°. 又 BP = AP，∴∠B = ∠BAP. ∵∠B +∠BAP =∠APQ = 60°， ∴∠BAP = 30°. 同理可得，∠CAQ = 30°， ∴∠BAC =∠BAP +∠PAQ +∠CAQ = 30° + 60° + 30° = 120°. 课堂练习 14. 等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论. 你还能发现其他结论吗？ 【教材P86习题15.3 第14题】 解：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等. 其他结论：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等；等腰三角形两底角的平分线与底边可形成一个等腰三角形（答案不唯一）. 下面证明第一个结论. 课堂练习 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，BE，CD 分别平分∠ABC，∠ACB. 求证：CD=BE. 证明：∵AB = AC，∴∠DBC =∠ECB. 又 BE，CD 分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB. ∴∠1 =∠2. 在△BDC 和△CEB 中， ∠DBC = ∠ECB， BC = CB， ∠2 = ∠1， ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴CD = BE. 课堂练习 15. 如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户 . 如果∠C = 90°，∠B = 30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来 . 【教材P86习题15.3 第15题】 课堂练习 解：如图，作∠CAB 的平分线，交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥ AB，垂足为 E. 则△ABC 就分成了三个大小、形状都相同的三角形，即△AED，△ACD 和△BED. D E 课堂练习 1. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面 处折断倒下，倒下的部分与地面成 角，这棵树在折 断前的高度为( ) B （第1题） A. B. C. D. 返回 考试考法 39 （第2题） 2. 如图，在中， ， ，的垂直平分线交 于点 ，连接.若，则 的长为 ( ) B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 母题教材P84练习 在中，若 ， 且，则 等于( ) D A. 2 B. 3 C. 9 D. 12 返回 考试考法 40 （第4题） 4.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一 起，若 ，则阴影部分的面积是 ___ . 【点拨】 , , . , . . 返回 考试考法 41 5.如图，的斜边轴，点的坐标是 ， ，则 ___. 4 （第5题） 返回 考试考法 42 6.［2025北师大附中期中］某市在旧城改造中，计划在一块如 图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知 ，， ，这种草皮每平方米 售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数 式表示） 返回 考试考法 43 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含30°角的直角三角形的性质 ①分清30 °的角所在的直角边 ②作辅助线，构造直角三角形 注意 前提条件：直角三角形中 证题方法 倍长法 截半法 课堂小结 44 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C 30° 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $