15.3.1.1等腰三角形的性质 课件-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 15.3.1.1等腰三角形的性质 第十五章 轴对称 授课教师： 阿老师 . 班 级： 托克逊县第一中学8（11）班 . 时 间： 2025.10 . 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形。 情景导入 下列三角形都是轴对称图形吗？ 什么样的三角形是轴对称图形？ 情景导入 探究新知 等腰三角形的性质 探 究 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来. 将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开. 探究新知 探 究 找出其中重合的线段和角. 重合的线段: 重合的角: AB与AC BD与CD ∠B与∠C ∠BAD与∠CAD ∠ADB与∠ADC A B C D 在等腰三角形 ABC 中，AD 是什么特殊的线段？ 顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高 探究新知 你能发现等腰三角形的性质吗？ 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). A B C D 在△ABC 中，∵AB = AC， ∴∠B =∠C. 几何语言： 等腰三角形的性质 探究新知 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). A B C D 你能证明这些性质吗？ 几何语言：在△ABC 中，AB = AC. ①若 BD = CD，则 AD 平分∠BAC 且 AD⊥BC； ②若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD = CD； ③若 AD 平分∠BAC ，则 AD⊥BC 且 BD = CD. 探究新知 A B C 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. 证明：作底边 BC 的中线 AD， 则 BD = CD. 在△ABD 和△ACD中， AB = AC BD = CD AD = AD ∴△ABD ≌△ACD（SSS）． ∴∠B =∠C． 即“等边对等角” D 探究新知 A B C 继续证明“三线合一”： 证明：∵△ABD ≌△ACD ， ∴∠ADB =∠ADC = 90°，∠BAD =∠CAD， ∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC. ∴AD 是底边 BC 的高，也是底边 BC 的中线，也是顶角∠A 的角平分线. D 即“三线合一” 等腰三角形的性质 探究新知 等腰三角形的性质 A B C D 等腰三角形____轴对称图形. 是 等腰三角形的对称轴是______________. 底边上的中线 底边上的高 顶角的平分线 探究新知 针对训练 教材P79练习 第1题 1. 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. （1） （2） (180° – 30°)÷2 = 75° (180° – 120°)÷2 = 30° 探究新知 针对训练 教材P80练习 第2题 2. 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，∠BAD = 26°. 求∠B 和∠C 的度数. 探究新知 针对训练 教材P80练习 第2题 解：在△ABD中，∵AB = AD，∠BAD = 26°， ∴∠B =∠ADB = ×(180° – 26°) = 77°. 在△ADC 中， ∵AD = DC，∴∠C =∠DAC. 又∠ADB =∠C +∠DAC = 2∠C， ∴∠C = ∠ADB = ×77° = 38.5°. 探究新知 教材P79例题 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数. A B C D 解： ∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC， ∠A =∠ABD (等边对等角) 设∠A = x，则 ∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 探究新知 教材P79例题 A B C D 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x， 于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°. 解得 x = 36°. 所以，在△ABC 中，∠A = 36°， ∠ABC =∠C = 72° 探究新知 3. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 教材P80练习 第3题 已知：如图，在△ABC 中，AD 为 BC 上的中线，且 AD = BC. 求证：△ABC 是直角三角形. A B C D 课堂练习 教材P80练习 第3题 证明：∵AD 为 BC 上的中线，且 AD = BC， ∴AD = BD = CD. ∴∠B =∠BAD，∠C=∠DAC. 又∠BAC +∠B +∠C =∠BAD +∠DAC +∠B +∠C = 2(∠BAD +∠DAC) = 2∠BAC = 180°， ∴∠BAC = 90°.∴ △ABC 是直角三角形. A B C D 课堂练习 4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AE 是 BC 边上的中线，BF 是角平分线，∠C = 70°. 求∠BAE 和∠1 的度数. 课堂练习 解：∵AB = AC，∠C = 70°，∴∠ABC =∠C = 70°． ∵AB = AC，AE 是 BC 边上的中线， ∴AE⊥BC， 即∠AEB = 90°. ∴∠BAE = 90° –∠ABE = 20°． ∵∠ABC = 70°，BF 是∠ABC 的平分线， ∴∠CBF = ∠ABC = 35°． 由三角形外角的性质可知， ∠1 = ∠AEB＋∠CBF = 90° + 35° = 125°． 课堂练习 1. ［2025广安期中］已知 是等腰三角形，若 ，则 的顶角度数是( ) C A. B. C. 或 D. 以上都不正确 （第2题） 2. 如图，，在上截取 ，连 接，当 时， 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 20 （第3题） 3. 如图①是 两名同学玩跷跷板的场景，如 图②是跷跷板示意图，支柱 与地面垂直，是 的中 B A. B. C. D. 点，绕着点上下转动.当端落地时， ，则 跷跷板上下可转动的最大角度 是( ) 返回 考试考法 21 4. ［2025长沙天心区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠 晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色， 迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一 亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”. 如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，， 是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线 的是( ) 考试考法 22 （第4题） A. B. C. D. 与 的周长相等 √ 返回 考试考法 23 5.母题教材P79例1 如图，已知等腰三角形， ， ，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰 于 点，连接，则____ . 30 （第5题） 返回 考试考法 24 6. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是 “倍长三角形”，底边的长为3，则腰 的长为___. 6 考试考法 25 【点拨】 等腰三角形是“倍长三角形”， 或 .若，则 的三边长分别是6，6， 3，符合题意， 腰的长为6；若 ，则 ，则的三边长分别是， ，3， ， 此时不能构成三角形，这种情况不存在. 综上所述，腰 的长是6. 返回 考试考法 26 7.母题教材P86习题 小琳想要证明命题：等 腰三角形两腰上的中线相等.请你将该命题的已 知与求证补充完整，并完成证明过程. 已知：如图，在 中，_________________ ____，，分别为边与 边上的中线， ； 求证： _____________________________________________ ____________________________________________________ 【解】证明：， . 是边上的中线，是 边上的中线， 考试考法 27 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________. ，.又 , . 又 ， . 返回 考试考法 8. ［2025天津和平区期中］如图，已知 是 四边形内一点， , ,则 的大 小是( ) D A. B. C. D. 考试考法 29 9. 已知,,分别是等腰三角形 三边的长，且满足 ,若,,均为整数，则这样的等腰三角形 有 ( ) B A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考试考法 30 10. 如图，在中， ， ，为边 边上的中线， 于点，交于点，过点作 的垂线交于点 .有下列结论： ；； 为 C A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ③④⑤ 的中点；为的中点； .其中正确的 结论为 ( ) 考试考法 31 11. “三等分角”大 约是在公元前五世纪由古希腊人提 出来的，借助如图①所示的三等分 50 角仪能三等分任意一个角.如图②，这个三等分角仪由两根有 槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动， 点固定，，点， 可在槽中滑动，若 ，则的度数是____ . 考试考法 32 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (简写成“三线合一”). A B C D 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $