4.1.3 幂函数能力提升训练-2025-2026学年高一学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数集合 4.1 实数指数幂和幂函数 4.1.3 幂函数 能力提升训练 1.（2024广东广州二中期中）幂函数图象过点，则 的定义域为( ) A. B. C. D. 2.（2025河南开学考试）已知幂函数 的图象经过第三象限，则 ( ) A. B.1 C. D.2 3.（2024甘肃永昌一高期中）已知幂函数的图象经过点 ，则函数 在区间 上的最大值是( ) A.2 B.1 C. D.0 4.（2025江西景德镇一中期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与幂函数 图象的关系可能为( ) 5.（2025江苏南京检测）已知幂函数的图象关于 轴对称，且在上单调递减，则满足的实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.（多选/2025江西庐山一中期末）已知,是幂函数 图象上的任意两点，则以下结论正确的是( ) A. B. C. D. 7.（2025甘肃白银期中）已知幂函数在 上单调递减，则 的值为____. 8.请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题： ； 是满足的最小正整数.问题：已知函数 ，且__. （1）判定 的奇偶性； （2）判断在 上的单调性，并用定义证明. 9. （2024河北衡水中学期中节选）设函数的定义域为 ，如果存在 ，使得在上的值域也为，则称为“ 佳”函数.函数 是否为“ 佳”函数?若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 参考答案 1.A【解析】 设幂函数 ,则,故, ,则的定义域为,故满足解得 . 2.A【解析】 由题意得（幂函数的定义）,得.当时, 的图象不经过第三象限； 当时,的图象经过第三象限.综上, . 3.C【解析】 设 ,,, , ,令 （换元,注意新元的取值范围）. 在区间上单调递增,在 上单调递减, ,在区间上的最大值是 . 4.D【解析】 分,,,,,,, 四种情况,结合二次函数、幂函数的性质,逐一判断即可得答案. 二次函数的图象的对称轴为直线 . 当,时,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线, ,幂函数在上单调递增,由题图可得此时,得 ,所以幂函数 的图象为直线的一部分,不满足题意； 当,时,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线, ,幂函数在上单调递减,由题图可得此时,得 ,所以幂函数 ,图象为反比例函数图象在第一象限的部分,满足题意； 当,时,二次函数的图象开口向下,对称轴为直线, ,幂函数在 上单调递减,不满足题意； 当,时,二次函数的图象开口向下,对称轴为直线, ,幂函数在上单调递增,由题图可得此时,得 ,所以幂函数 ,在第一象限的图象为上凸递增,不满足题意. 5.C【解析】 因为幂函数在上单调递减,所以 ,解得,又 , 所以,1,2.因为函数的图象关于 轴对称,所以 为偶数,所以 .函数 ,且函数在和 上单调递减, 当时,,当时,,所以不等式 可化为 或或 （将, 所在区间分成三种情况讨论） 解得或 , 所以的取值范围为 . 6.ACD【解析】 幂函数的定义域为 , , , 函数在上单调递增, , ,即 ； , , 函数在 上单调递减, ,,,即 , ,即 ； 幂函数在上单调递增, , ,,即, ； , , , ,即 . 7.-2【解析】 因为为幂函数,所以,所以 , 当时,,在 上单调递增,不符合； 当时,,在 上单调递减,符合. 8.(1)【答案】选①: （1）,解得,即,定义域为 , ,所以 是偶函数. （2）在上是增函数.理由如下：设,则 , 所以 ,即 , 所以在 上是增函数.选②: （1）由得,即,当是正整数时, 还需要是偶数才能满足,其中最小的正偶数是2,故,即 ,定义域为,,所以 是偶函数.（2）同选①. 9.【答案】函数,定义域为,又因为,所以函数 的值域为.因为在上单调递增,若存在,使得 在上的值域也为 , 则有解得或,或,显然,所以, ,即存在 ,使得在上的值域为,故函数为“佳”函数,“ 佳”函数所在的区间为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $