4.1.1 有理数指数幂& 4.1.2 无理数指数幂 能力提升训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数集合 4.1 实数指数幂和幂函数 4.1.1 有理数指数幂& 4.1.2 无理数指数幂 能力提升训练 1.（2025甘肃天水九中开学考试）若, 是正整数，且满足，则与 的关系正确的是( ) A. B. C. D. 2.（2024甘肃联考）已知，均为正数，“不等式成立”是“不等式 成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.（多选/2025广东广州期中）下列各式不正确的是( ) A. B. C. D. 4.（多选/2025江西上饶期中）若，则化简 的结果可能为( ) A. B. C. D. 5. （2025北京朝阳区联考）我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解 元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解元一次方程组大约需要对实系数进行 为给定常数 次计算.经济学家列昂惕夫为研究“投入产出模型”，利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力，不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于( ) A.机时 B.机时 C.机时 D. 机时 6.（2025甘肃酒泉期中）已知正数,满足，则 的最小值为___. 7.解方程： . 8.（2025甘肃西北师大附中期中）计算 . 9.对于正整数，，和非零实数，，，，有 ，，求，， 的值. 参考答案 1.A【解析】 由可得 ,即,所以 . 2.B【解析】 当时,利用基本不等式及指数幂的运算规则判断 是否成立, 再结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 当时, , 当且仅当即,时取等号,所以 . 当,时,,此时 . 所以“不等式成立”是“不等式 成立”的必要不充分条件. 3.ABC【解析】 利用指数幂的运算性质,以及分数指数幂与根式的互化即可判断. 对于为偶数,只有当时才有意义 ； ； ； . 故A,B,C均错,D正确. 4.AC【解析】 由题意知,即,即,故, 或 ,则 5.C【解析】 设1机时能进行次计算,则由题意得 ,原始模型包含500个未知数,如果不进行化简,设所需机时数为 ,则,故将两式相比得 ,故结果最接近于 机时. 6.9【解析】 由,可得,又, ,所以 ,（基本不等式求最值）当且仅当,即时等号成立,所以 得最小值为9. 7.【答案】 , , , ,（方程两边化成同底数的指数式,利用指数相等进行求解） , . 8.【答案】 . 9.【答案】 ,且,为非零实数,, . 同理得,.,即 . 又,,,均为正整数, . 又,则,即,,, . 1 学科网（北京）股份有限公司 $