4.3.3 对数函数的图象与性质基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数集合 4.3 对数函数 4.3.3 对数函数的图象与性质 基础题型训练 题型一对数（型）函数的图象及其应用 1.已知函数且，若图象过点，则 的值为( ) A. B.1 C. D. 2.（2025江苏南通阶段练习）图中曲线是对数函数 的图象，已知取，，，四个值，则相应于， ，，的 值依次为( ) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 3.（2025安徽亳州期末）已知函数恒过定点 ，则 的最小值为( ) A. B. C.3 D. 4.（多选/2024甘肃定西期末）已知且，则函数与 的大致图象可能是( ) 5.若，求和 的关系. 题型二 对数型函数的定义域、值域及其应用 6.（2025甘肃省嘉峪关市酒钢三中期中）已知集合 , ，则 ( ) A. B. C. D.Ø⌀ B. 7.（2025甘肃天水一中月考）函数 的定义域是______. 8.（2025福建厦门双十中学期中）“函数的定义域为 ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.（2024浙江宁波余姚中学期中）已知函数的值域为 ，则函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 10.（2025甘肃天水检测）已知函数 ，的最大值为，最小值为，则 ___. 题型三 对数型函数的单调性及其应用 11. （2025山西忻州一中月考）函数 的减区间为( ) A. B. C. D. 12.（2024湖南长沙十五校联考）若函数，函数与函数 的图象关于直线对称，则 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 13. （2025安徽合肥一中月考）若函数在区间 上单调递增，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 14.（多选/2025重庆期中）已知函数且是 上的单调函数，则 的值可以是( ) A.2 B. C. D. 题型四 比较对数值的大小 15.设，， ，则( ) A. B. C. D. 16.（2020全国Ⅲ卷）设,, ,则( ) A. B. C. D. 17.（2024甘肃平凉联考）已知，，，则，， 的大小关系为( ) A. B. C. D. 18. （2025江苏常州期末）已知，， ， ，则( ) A. B. C. D. 题型五 与对数有关的不等式 19. （2024浙江温州五十一中阶段练习）不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. 20.（2025湖南长沙一中检测）已知偶函数，且 ，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 21.（2024湖北咸宁阶段练习）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为__________. 参考答案 1.B【解析】 因为函数的图象过点,所以,则,解得 ,所以, . 2.B【解析】 由已知图中曲线是对数函数 的图象,画出直线 ,如图, 直线与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数函数底数,可得曲线,,,的值从小到大依次为,,, , （在轴上方,直线右侧,底数越大,函数图象越靠近 轴；在轴下方,直线右侧,底数越小,函数图象越靠近 轴） 由取,,, 四个值, 故,,,的值依次为,,, , 3.A【解析】 由对数函数的图象特点可知,函数,且 的图象过定点,则由题意可知 ,则 （基本不等式“1”的妙用求最值）,当且仅当, 时取等号, 所以的最小值为 . 4.BD【解析】 若,则函数在上单调递减,其图象过点 ,函数在上单调递减,其图象过点；若,则函数在 上单调递增,其图象过点,函数在 上单调递增,其图象过点.只有 的图象符合. 5.【答案】原式可化为 . ①当且时,即,因为底数,所以 ; ②当且时,即,因为底数,所以 ; ③当且 时, . 综上所述,,的关系为 或或 .实际上三种情况可用图形来表示,分别如图1、图2、图3所示. 6.【解析】 由（对数函数真数大于0）,解得,所以 ,而（指数函数的值域）,所以 ,所以 . 7. 【解析】 由被开方数非负、分母不为0及真数大于0得解得 或,即函数的定义域是 . 8.B【解析】对数函数的真数部分为 ,二次项系数含参,分参数是否为零进行讨论. 若函数的定义域为 , 则当, ,符合要求； 当时,有解得 . 综上所述, , （小范围可以推出大范围,大范围推不出小范围） 故“函数的定义域为”是“ ”的必要不充分条件. 9.C【解析】 由的值域为,得,故,即 的定义域为,令,得,故的定义域为 10.6【解析】 此类问题一般利用局部奇偶性解决. 令,且 , , 所以为奇函数（【大招56】函数 均为奇函数,故 为奇函数）,且在 上连续. 根据奇函数的对称性得,在 上的最大、最小值关于原点对称, 则,故 . 11.A【解析】 外层函数为减函数,根据同增异减可知,要求减区间只需求内层函数 的增区间,注意优先考虑定义域. 令,解得或,则的定义域为 , 令,则在 上单调递减, 又在上单调递减,所以在 上单调递增, 在上单调递增,所以在上单调递减.所以 的减区间为 . 12.D【解析】 因为函数且函数与函数的图象关于直线 对称（函数与 互为反函数）, 所以,所以,令,解得 , 所以的定义域为.又在上单调递增,在 上单调递减, 在定义域内单调递增,所以的单调递减区间为 （或 . 13.C【解析】 利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可. 因为底数,所以函数在定义域上单调递减,又 在区间上单调递增,设 ,则由复合函数单调性“同增异减”可知在区间 上单调递减且恒为正（不要遗漏真数大于零）,所以且 , 所以 . 14.BC【解析】 因为函数是上的单调函数,且 时单调递增,所以是上的增函数,所以解得 . 15.B【解析】 ,, . 又,,,即 . 16.A【解析】 作差法., . 又, . 17.A【解析】 ,, 又,（【大招55】底数大于1时,底数越大对数函数的图象越靠近 轴）故 . 18.B【解析】 先根据求出,作差比较出 . 因为,所以令,则 , 故,, , ,故 , ,故 , 所以 . 19.A【解析】 因为,所以不等式化为 （把不等式两边化为同底数的形式）, 又在 上是增函数, 所以解得,即 的 取值范围是 . 20.D【解析】 因为,所以函数的定义域为,令 , 则时,是单调递增函数（内层函数）,而 是单调递减函数（外层函数）, 所以当时，是单调递减函数（同增异减）,因为 为偶函数, 根据对称性知,时，是单调递增函数,函数中, , 由得,解得或 . 21. , 则,故函数 为奇函数. 又,在上均单调递增,故在 上单调递增, , ,即 , 即,即 , 解得 . 故不等式的解集为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $