4.1.3 幂函数 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数集合 4.1 实数指数幂和幂函数 4.1.3 幂函数 基础题型训练 题型1 幂函数概念的应用 1.下面的函数中是幂函数的是( ) ；；；； . A.①⑤ B.①②③ C.②④ D.②③⑤ 2.（2025辽宁六校联考）已知幂函数满足，则 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 3.（2025甘肃省定西市陇西县第一中学月考）已知幂函数 的图象与坐标轴没有公共点，则 ( ) A. B. C.2 D. 题型2 幂函数的图象问题 4.函数，且互质 的图象如图，则( ) A.,是奇数，且 B.是偶数，是奇数，且 C.是偶数，是奇数，且 D.,是偶数，且 5.（2025甘肃兰州一中期中）已知当时，函数 的图象恒在直线 的下方，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.给定一组函数解析式： ；；；；；； . 它们的图象如图所示.图象对应的解析式序号顺序正确的是( ) A.⑥③④②⑦①⑤ B.⑥④②③⑦①⑤ C.⑥④③②⑦①⑤ D.⑥④③②⑦⑤① 题型3 幂函数的性质及其应用 7.（2025广东广州一中期中）若函数是 上的单 调函数，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知函数 ，则其单调增区间为________. 9.（2025江西名校联考）已知幂函数，其中 , ，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有 . 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时 的值域. 题型4 比较大小 10.（2025重庆期中）已知,若 ，则下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 11.（2024甘肃天水一中月考）已知,, ，则( ) A. B. C. D. 12.（2024黑龙江双鸭山一中阶段练习）若， ， ，则( ) A. B. C. D. 题型5 解不等式 13.（2024甘肃白银靖远县第四中学月考）已知函数，若，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 14.（2025陕西咸阳检测）已知集合，则集合 的子集个数是 ( ) A.4 B.7 C.8 D.16 15.（2025安徽芜湖期末）幂函数过点, ，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 16.（2025广东深圳期中）已知函数，若，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 17.（2025甘肃省临洮中学月考）已知幂函数 为偶函数. （1） 求 的解析式； （2） 若，求实数 的取值范围. 参考答案 1.C【解析】 由幂函数定义可知,形如为自变量, 为非零实数 的函数为幂函数,所以②④是幂函数. 2.B【解析】 因为幂函数满足,所以,即 ,所以 , 则,从而 . 3.A【解析】 由题意知解得.所以,所以 . 4.C【解析】 函数的图象关于轴对称,故为奇数, 为偶数,在第一象限内,函数图象是上凸的,且,,故 . 5.C【解析】 根据幂函数图象的特点,数形结合即可求得结果. 当时,与 的图象如图1所示,显然不合题意,故舍去； 当时,与 的图象重合,故舍去； 当时,与 的图象如图2所示,显然,此时满足题意; 当时,,与 的图象如 图3所示,显然,此时满足题意; 当时,与 的图象如图4所示,显然,此时满 足题意. 综上所述, . 6.C【解析】 题中图象（1）关于原点对称, 则其对应的函数为奇函数,且图象不过原点、在上单调递减,故 满足； 题中图象（2）关于 轴对称,则其对应的函数为偶函数,且图象不过原点、在 上单调递减,故 满足； 题中图象（3）对应的函数为非奇非偶函数,且图象不过原点、在 上单调递减,故 满足； 题中图象（4）关于 轴对称,则其对应的函数为偶函数,且图象过原点、在 上单调递增,故 满足； 题中图象（5）关于原点对称,则其对应的函数为奇函数,且图象过原点、在 上单调递增,故 满足； 题中图象（6）对应的函数为非奇非偶函数,且图象过原点、在 上单调递增、图象在第一象限是上凸的,故 满足； 题中图象（7）对应的函数为非奇非偶函数,且图象过原点、在 上单调递增、图象在第一象限是下凸的,故 满足. 故图象对应的解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 7.D【解析】 由二次函数性质知函数在 上单调递减,建立不等关系求解. 函数在上单调,由在上不可能单调递增可知函数 在上不可能单调递增,所以在 上单调递减, 所以解得,所以的取值范围是 . 8. 【解析】 易知, 函数的定义域为 .令 ,则其在上单调递减,在上单调递增,, 由与 复合而成,根据“同增异减”确定单调区间即可在定义域内单调递增,在 上单调递增. 9.【答案】第一步:根据条件①确定 的取值范围. 因为幂函数在区间上单调递增,则 ,即 , 解得,又,所以或 . 第二步:依据条件②检验的值,求出幂函数 的解析式. 当时,为偶函数,不满足 ； 当时,为奇函数,满足 . 故 . 第三步:求函数的值域. 当时,,即函数的值域是 . 10.C【解析】 判断函数单调性及自变量的大小,进而判断函数值的大小. 在上单调递增,因为,则 （倒数法则）,所以 . 11.C【解析】 将不同幂指数化为相同幂指数,构造幂函数,利用单调性比较大小. 由单调递增,可知 , , ,（找幂指数分母的公 倍数,逆用单调性比较大小） ,由单调递增可得,所以 . 12.B【解析】 根据,构造函数 ,结合函数的单调性及介值“1”比 较大小. 设函数,则在 上单调递增, 故,即,又,则 . 13.D【解析】 因为,所以是偶函数,且在 上单调递增. 由于,所以,解得或 . 14.C【解析】 因为,所以（幂函数在 上单调递增）,又 ,所以,所以集合的子集有 个. 15.C【解析】 设 ,由题意可得,解得,所以在 上单 调递增,且 ,为偶函数,所以 , 解得,所以不等式的解集为 . 16.A【解析】 由题意构造函数,首先得出 的单调性与奇偶性, 然后将条件表达式等价转换即可得解. 令,因为的定义域为 且 ,所以是 上的奇函数, 注意到幂函数,都是上的增函数,所以是 上的增函数, 而,所以,解得,即的取值范围是 . 17.(1)【答案】由于函数是幂函数,故 , 解得或 . 当时, 不是偶函数,不合题意； 当时, 是偶函数,符合题意. 故 . (2)【答案】 由（1）知,则原不等式化为 , 结合幂函数在上（注意定义域的限制）为减函数,得 解得,即实数的取值范围为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $