第二十六章 二次函数（复习讲义）数学沪教版五四制九年级上册

第二十六章 二次函数（复习讲义） 1.能准确复述二次函数的定义并判断一个函数是否为二次函数；掌握二次函数的三种表示形式，理解不同形式的特点与适用场景，能根据题目条件灵活进行三种形式之间的转化。 2.能熟练画出给定二次函数的图像，明确画图像的步骤，并能根据图像直观分析函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质；深入理解二次函数中系数对函数图像的影响，能根据系数符号判断函数图像的大致位置，反之也能根据图像特征推断系数的符号。 3.掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，理解 “数形结合” 思想在其中的应用。 4.能运用二次函数解决实际问题，包括最值问题、几何图形相关问题，能根据实际情境建立二次函数模型，求出函数解析式并进行求解与验证。 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0. 知识点02 二次函数的图象与性质 对称轴 顶点 开口方向 变化情况 直线 时，开口向上，顶点是最低点； 时，开口向下，顶点是最高点； 当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降. 直线 直线 直线 直线 知识点03 二次函数与a，b，c之间的关系 关系 符号 图象特征 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小． a<0 开口向下 a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 由b²-4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点 知识点04 二次函数的图象变换 总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项” 方法一: (1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k); (2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处, 方法二: (1) 将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m); (2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下: 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 知识点05 待定系数法求二次函数解析式 名称 解析式 适用范围 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方ax²+bx+c=0的解 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点06 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标. b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 知识点07 二次函数与不等式的关系（以a大于0为例） 不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 x<x1或x>x2 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1<x<x2 知识点08 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 题型一 二次函数的概念 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是二次函数，不符合题意； B．是二次函数，不符合题意； C．是二次函数，不符合题意； D．不是二次函数，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是 ． 【答案】8 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 题型二 二次函数的图象和性质 【例2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【例2-2】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 【例2-3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）如果是抛物线上两点，那么 ．（填“>”或“<”） 【答案】 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线的对称轴是 ． 【答案】轴 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 【变式2-3】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2-4】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果当时，二次函数的图像一定不经过第 象限． 【答案】四 【详解】解：将二次函数化为顶点式， 整理得：， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 当时，，即函数图象过点， 又∵对称轴为，开口向上，且过点，顶点纵坐标， 当时，，顶点在轴下方，但函数过且开口向上， 此时顶点在第三象限，在对称轴右侧随的增大而增大且过，函数图象不经过第四象限； 当时，，顶点在轴上或x轴上方， 综合，无论的取值如何 ，函数图象一定不经过第四象限． 故答案为：四． 题型三 根据二次函数的图象判断各项系数或式子符号 【例3-1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴为，即对称轴在y轴左侧， ∵， ∴，， ∴抛物线与轴有两个交点，与轴交于负半轴， 抛物线的图象大致如下： 由图象可得，抛物线不经过第一象限． 故选：A． 【例3-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图象的开口向下可知， ∵抛物线的对称轴在x的正半轴， ∴对称轴， ∴，， ∵函数与y轴的交点在正半轴， ∴， 故选：C． 【例3-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：∵抛物线（，，为常数）关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵时，，对称轴为直线， ∴时，， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即，故④错误； 故答案为：①②③． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为直线，下列判断中：①；②；③；④．其中正确的结论序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵图象可知该抛物线开口向上，与y轴的交点位于x轴下方， ∴，． 又∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵与关于对称，时， ∴时，， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∴， 故③正确； 由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 故④正确． ∴有①③④正确． 故选：D． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则， ∴故①正确； 根据题意可得：，， ∵顶点坐标， ∴， ∴， ∴故②错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， ∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确； ∵顶点坐标， ∴当是，有最大值， ∵点是抛物线上任意一点， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 题型四 二次函数图象的平移 【例4-1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为． 故选B． 【例4-2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：∵原抛物线为，沿轴向右平移个单位长度， ∴根据“左加右减”原则，把变为， ∴得到新抛物线表达式为， 即． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果二次函数，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如果抛物线向右平移3个单位后，其顶点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，得到平移后解析式为， 则顶点坐标为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）将抛物线的图像向左平移2个单位后，发现新的抛物线的图像经过原点，则新抛物线的对称轴为直线 . 【答案】 【详解】解：抛物线的图像向左平移2个单位后的解析式为， ∵新的抛物线的图像经过原点， 令，解得或， ∴对称轴为直线， 故答案为：. 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例5-1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线，即， 当时，最小， 当时，随的增大而减小， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③错误，故不符合要求； ∵， ∴（为任意实数），④正确，故符合要求； 关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴，⑤正确，故符合要求； 由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 【例5-2】（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 【变式5-1】（2024·上海·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由图像可知，，， ∵其顶点坐标为， ∴对称轴为，， ∴，则， ∴，故①正确； 由对称轴可知关于对称轴对称的点坐标为， 由图像可知，， ∴，故②错误； ∵，， ∴为任意实数时，，故③正确； ∵， ∴的解，即为交点的横坐标， 当时，， ∵，图像向右下方倾斜，如图， ∴，有两个不同的交点， 即有两个不相等的实数根，故④正确； 故正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【变式5-2】（2023·上海·一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则 ． 【答案】 【详解】解：将代入中， 得，即， 二次函数的图象上存在唯一“相反点”， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 题型六 根据交点确定不等式的解集 【例6-1】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 【例6-2】（24-25九年级上·上海·期中）已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得，， ∴抛物线与x轴交于，， ∵， ∴抛物线开口向下， 如图， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式6-1】（2024·上海·模拟预测）已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为，图象开口向上， 如图，随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动， 当对称轴在点A左侧时，， 把代入得， 解得或 (舍去)， 时，抛物线与线段没有交点， 当对称轴在点A右侧时，， 设线段所在直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 线段所在直线的解析式为， 联立，得：， 抛物线与线段没有交点， ， ， 综上，当或，抛物线与线段没有交点， 故答案为：或． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为， ∵抛物线M经过和点和， ∴，解得 ∴抛物线M的解析式为， ∴抛物线M的开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， ∵， 由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大，即不存在最大值， ∴抛物线M上不存在最值点． （2）解：∵直线交抛物线M于，两点， ∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为． （3）解：对于直线，有 ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴直线的最值点为． 题型七 待定系数法求二次函数解析式 【例7-1】已知二次函数的图像过点，且当时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：∵当时，函数有最小值3， ∴可设二次函数解析式为， 把代入函数解析式可得． ∴ ∴二次函数的解析式为：，即． 【例7-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、和， ∴ 解得： ∴该函数解析式为：， ∵， ∴图像开口向下； ∵， ∴顶点为，对称轴为直线． 【例7-3】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是，且函数有最小值，求二次函数的解析式． 【答案】 【详解】∵二次函数的图形与x轴的交点坐标是， ∴设二次函数解析式为， ∵关于直线对称， ∴函数图象的顶点坐标为， ∴把代入， ∴． ∴． 【变式7-1】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线． 【变式7-2】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知一个二次函数的图像经过、、三点． (1)求这个函数的解析式，并写出它的对称轴； (2)求点关于对称轴对称的点的坐标． 【详解】（1）解：设所求的二次函数解析式为：， 将、、代入二次函数解析式得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 对称轴为直线由； （2）解：点关于对称轴对称的点为， 令，则， 解得：，， ， 点关于对称轴对称点的坐标为． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 题型八 实际问题与二次函数 【例8-1】（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 【例8-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【答案】10 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面． 故答案为：10． 【例8-3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 【详解】（1）解：依据题意，， ∴． ∵，且， ∴； （2）解：由（1）得，， 又∵，且， ∴当时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20． 【变式8-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 【变式8-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是（，且是整数） （2）解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； （3）解：由（2）知：， 当时，则， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故电影票价要定在每张87元． 【变式8-3】（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 【详解】（1）解：将点分别代入中， 当时，，当时，， 解得，，， ， 对称轴为直线； （2）解：①∵投影可由第一条彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，右端点为点，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上， ∴设，设直线， ∵， ，解得 ∴直线， ∵点在直线上， ， ∴； ②第一条彩虹的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴投影的解析式为：， 把无人机（看做一点），无人机在原彩虹的对称轴上， ∴， 在直线上取点，作直线，令直线平行于轴，过点作于， ∴， ∵ ∴ ∵平行于， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴投影的解析式为：． 题型九 二次函数综合题 【例9-1】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 【例9-2】（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于，，且点在点右侧， ∴点坐标为， 把，代入抛物线得 ， 即． ∴抛物线表达式为； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴顶点的坐标为； （3）解：由（2）， 令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， 由（2）得顶点的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴抛物线的表达式为，即． 【例9-3】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移使之经过点，平移后的抛物线交轴于点． (1)求的正切值； (2)点在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，联结、，求的面积； (3)点在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结、，当时，求点的坐标． 【详解】（1）解：设平移后的抛物线为，把代入得到， ， 解得， ∴平移后的抛物线为， 如图， 把代入得到，解得， ∴， 在中， （2）把代入得到，解得（不合题意，舍去）， ∴ 如图， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 设直线与轴交于点E，则点E的坐标为 ∴ （3）如图，设对称轴交线段与点N，交轴于点F， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即, ∵ ∵ ∴， ∴， 设点D的坐标为， ∵，即 解得（负值已舍去） ∴ 【变式9-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标平面中，抛物线与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，其中点，该抛物线的顶点为点D． (1)求抛物线的关系式，并写出抛物线的顶点D； (2)设该抛物线的对称轴与x轴的交点为点E，点是第三象限内一点，且满足，求的余切值； (3)在（2）的条件下，设点是该抛物线上一点，且的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，有： ， 解得：， ∴抛物线的关系式为：； ∵， ∴顶点； （2）解：如图：过点作轴交轴于点，则， 由（1）知抛物线的对称轴为：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴∽， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：（正值已舍去）， ∵∽， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图：过点作轴交轴于点， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ， ， 解得：或， ∴或． 【变式9-2】（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 【详解】（1）解：由，可得， 又， 则， 把，代入得 ，    所以，抛物线的表达式是． （2）解：①由， 可得抛物线的对称轴方程是，， 由，，， 可得， 则， 根据题意， 设边上的高是h， ∴， 解得， 设， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：，则， 由，，可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，则， 所以，新抛物线的表达式是， ∴对称轴方程是． ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得， 在中，，则， 根据题意可得，则， ∴，即， 过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，， 解得， 所以，点P的坐标是． 【变式9-3】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线和轴的另外一个交点为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）①由（）得抛物线的表达式为， 当时， ∵时，，取得最大值， ∴， 解得：， ∵点， 当时，， ∴， 综上可得：； ②如图，如果点在轴上，且四边形是菱形， 由抛物线的表达式， 令，，即点， ∵ ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴点与点纵坐标相等，点与点纵坐标相等， 由点的坐标得，直线的表达式为：。 设点，点， ∵点， ∴ 解得： ∴， ∴点， ∴点． 【变式9-4】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入和， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：（i）过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q， 抛物线W开口向下， 设，那么， 向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A， ， ， ， ， 如图所示： 不妨设抛物线W为，代入原点，得到 ， ， 抛物线W为， 由题意可知，抛物线W向右平移了个距离， 那么抛物线的解析式为：，即； 综上，抛物线W向右平移了2个单位，抛物线的解析式为； （ii）设，那么，， 设直线为：，代入，， 那么有， ，， 直线为：， 当时，， 延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段． ，， ， 过点作轴于点，如图所示： 点是抛物线的顶点，那么是对称轴， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， 当和相似时，， ， 或（舍） ，即． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为，在第二象限， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列函数中y随x的增大而减小的有（   ）个 ①  ②  ③  ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解∶ ①在中y随x的增大而减小，故符合题意； ②在中，在每一个象限内，y随x的增大而增大，故不符合题意； ③在 中y随x的增大而减小，故符合题意； ④在中，当时，y随x的增大而减小，则当时，y随x的增大而减小，故符合题意； 故符合题意的有①③④， 故选：D． 3．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）若将二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，那么所得这个函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由“上加下减，左加右减”的规律可知， 将抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是． 故选：A． 二、填空题 4．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】 【详解】解：令， 则， 抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点和点是抛物线上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【详解】解：∵二次函数，则 ∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远的点的函数值越小，对称轴为直线， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线，把抛物线向上平移 个单位后，能使得平移后的抛物线与y轴的公共点的坐标为． 【答案】3 【详解】解：设把抛物线向上平移个单位，则：新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴； 故答案为：3． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知点、在二次函数的图像上，如果，那么a 0（用“>”或“<”连接）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为：直线， ∵点、在二次函数的图像上，， ∴在对称轴的左侧随增大而增大， ∴． 故答案为： 三、解答题 9．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 【详解】（1）解：∵ ， ∴对称轴是直线，顶点坐标； （2）解：这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得 ． 10．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线如图所示，请结合图像中所给信息完成以下问题：    (1)求抛物线的表达式： (2)若该抛物线经过一次平移后过原点，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线过点 ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，可得， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）由（1）得， 将抛物线向下平移个单位，得， 得到该抛物线经过一次平移后过原点， 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，随着的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、反比例函数的增减性必须强调在每个象限内，或在双曲线的每一支上，故本选项错误； B、反比例函数的增减性必须强调在每个象限内，或在双曲线的每一支上，故本选项错误； C、，函数随着自变量的增大而减小，即随着的增大而减小，故本选项正确； D、，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小，故本选项错误； 故选：C 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … 根据上表，下列判断正确的是（   ） A．该抛物线开口向上 B．该抛物线的对称轴是直线 C．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 D．该抛物线一定经过点 【答案】D 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故B错误； ∵由表格可知：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，C错误； ∵将，，，代入得， ，解得：， ∴， 当时，， ∴该抛物线一定经过点，故D正确． 故选：D． 4．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：拋物线被轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（   ） 已知抛物线与轴交于，试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线，这个条件可以是什么？ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【详解】解：当添加的条件为甲的说法时， ∵抛物线过点、， ∴根据对称性可知对称轴为，与题目中结论一致； 故甲的说法正确； 当添加的条件为乙的说法时， ∵抛物线过、， ∴， 解得、， 此时函数解析式为， 因此对称轴为，与题目中结论一致； 故乙的说法正确； 当添加的条件为丙的说法时，此时函数解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， 因此函数解析式为，此时对称轴为，与题目中结论一致； 故丙的说法正确； 当添加的添加为丁的说法时， ∵抛物线被轴截得的线段长为2，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为或，所以对称轴为轴或直线，与题目中的结论不符； 故丁的说法错误． 因此前面三个人的说法正确，只有丁的说法错误． 故选：A． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵， 令， 解得或， 将代入得， 将代入得， ∴时，函数图象经过定点，，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴这个二次函数的顶点坐标为， 则关于原点对称的点为 ∴二次函数的梦函数解析式为， 故答案为： 7．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∵当时，， ∴A点坐标， 又∵，直线平行x轴 ∴B点坐标为或， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴或 解得，或 故答案为：或 8．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知是抛物线上的一点，且满足，如果使用的值定义抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 【答案】2 【详解】∵ ∴， 根据题意得， 整理得， 解得或 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴抛物线的“开口大小”为2． 故答案为：2． 三、解答题 9．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线①是由抛物线经过平移所得，且抛物线①过点、，它与轴的另一个交点为A ． (1)求抛物线①的表达式； (2)设抛物线①的顶点为D，求的面积； (3)如果点在轴上，且，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线①是由抛物线经过平移所得 ∴抛物线①的解析式为， 把点、代入，得 ， 解得：， ∴抛物线①的解析式为． （2）解：∵ ∴抛物线①的顶点D坐标为， 过点D作轴于E，如图， 则， ∵ 又∵、 ∴ ； （3）解：∵， ∴ 在中，， 当点F在点C下方时，过点F作于G，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当点F在点C上方时， ∵，， ∴ ∴不会在轴上方与轴相交，故此种情况不存在； 综上，点在轴上，且，点的坐标为． 10．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的对称轴是直线，该抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），，与轴交于点，顶点为点，把抛物线沿轴向下平移得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，记新抛物线的顶点为点，直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平移过程中，与之间是否存在确定的数量关系，若存在，请求出它们之间的数量关系，若不存在，请说明你的理由； (3)连接，若与相似，求此时新抛物线的表达式． 【详解】（1）解：∵对称轴是直线，该抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），， 点 把点代入，得： ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：设抛物线沿轴向下平移个单位得到抛物线，则，． 设直线的表达式为，把， 代入得， 解得， 所以直线的表达式为． 令，则， 解得， 所以． ∵；当时， ∴ ∴ 在中，， 在中，， 所以． （3）解：∵，， ∴， ， ． 当时，即，点在轴上方时，如图 因为与相似，， 当时， ∴，即． ， ∵，则 解得：（舍去）或或（舍去）或（舍去） ∴ 当时，则新抛物线的表达式为 当在轴下方时，如图 与相似， 当时， ∴， 又因为，， ∴ 解得：（舍去）或 当时，则新抛物线的表达式为 综上，或 11．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点P为函数在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为，直线l过且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴、l于C、Q，连接交x轴于H，直线交y轴于R． (1)求证：H点为线段的中点； (2)求证：①四边形为平行四边形； ②平行四边形为菱形； (3)除P点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由． 【详解】（1）证明：∵、， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，即H点为线段的中点． （2）证明：①∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ②设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． （3）解：除P点外，直线与抛物线没有其它公共点．理由如下： ∵，，H点为的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组，解得：， ∴直线与抛物线的交点坐标为， ∴除P点外，直线与抛物线没有其它公共点． 12．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 【详解】（1）解：将点、、代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的表达式为， 又∵， ∴顶点的坐标为； （2）如下图， 根据题意，点在抛物线对称轴上，， 设点， ∵，， ∴，，， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴点的坐标为； （3）如下图， ∵原抛物线， ∴其对称轴为， ∴， ∵新抛物线的顶点为点，， 过点作于点，则，即点为中点， ∵，， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵把原抛物线平移，得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数（复习讲义） 1.能准确复述二次函数的定义并判断一个函数是否为二次函数；掌握二次函数的三种表示形式，理解不同形式的特点与适用场景，能根据题目条件灵活进行三种形式之间的转化。 2.能熟练画出给定二次函数的图像，明确画图像的步骤，并能根据图像直观分析函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质；深入理解二次函数中系数对函数图像的影响，能根据系数符号判断函数图像的大致位置，反之也能根据图像特征推断系数的符号。 3.掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，理解 “数形结合” 思想在其中的应用。 4.能运用二次函数解决实际问题，包括最值问题、几何图形相关问题，能根据实际情境建立二次函数模型，求出函数解析式并进行求解与验证。 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0. 知识点02 二次函数的图象与性质 对称轴 顶点 开口方向 变化情况 直线 时，开口向上，顶点是最低点； 时，开口向下，顶点是最高点； 当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降. 直线 直线 直线 直线 知识点03 二次函数与a，b，c之间的关系 关系 符号 图象特征 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小． a<0 开口向下 a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 由b²-4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点 知识点04 二次函数的图象变换 总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项” 方法一: (1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k); (2) 保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处, 方法二: (1) 将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m); (2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下: 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 知识点05 待定系数法求二次函数解析式 名称 解析式 适用范围 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方ax²+bx+c=0的解 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点06 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标. b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 知识点07 二次函数与不等式的关系（以a大于0为例） 不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 x<x1或x>x2 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1<x<x2 知识点08 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 题型一 二次函数的概念 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【变式1-2】（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是 ． 题型二 二次函数的图象和性质 【例2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ． 【例2-2】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 【例2-3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）如果是抛物线上两点，那么 ．（填“>”或“<”） 【变式2-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线的对称轴是 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 【变式2-4】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果当时，二次函数的图像一定不经过第 象限． 题型三 根据二次函数的图象判断各项系数或式子符号 【例3-1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例3-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 【例3-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有 （填序号）． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为直线，下列判断中：①；②；③；④．其中正确的结论序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 题型四 二次函数图象的平移 【例4-1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【例4-2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果二次函数，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是 ． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如果抛物线向右平移3个单位后，其顶点坐标是 ． 【变式4-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）将抛物线的图像向左平移2个单位后，发现新的抛物线的图像经过原点，则新抛物线的对称轴为直线 . 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例5-1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例5-2】（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【变式5-1】（2024·上海·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（2023·上海·一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则 ． 题型六 根据交点确定不等式的解集 【例6-1】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【例6-2】（24-25九年级上·上海·期中）已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是 ． 【变式6-1】（2024·上海·模拟预测）已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 题型七 待定系数法求二次函数解析式 【例7-1】已知二次函数的图像过点，且当时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式． 【例7-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【例7-3】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是，且函数有最小值，求二次函数的解析式． 【变式7-1】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【变式7-2】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知一个二次函数的图像经过、、三点． (1)求这个函数的解析式，并写出它的对称轴； (2)求点关于对称轴对称的点的坐标． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 题型八 实际问题与二次函数 【例8-1】（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【例8-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【例8-3】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 【变式8-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【变式8-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【变式8-3】（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 题型九 二次函数综合题 【例9-1】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【例9-2】（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【例9-3】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移使之经过点，平移后的抛物线交轴于点． (1)求的正切值； (2)点在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，联结、，求的面积； (3)点在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结、，当时，求点的坐标． 【变式9-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标平面中，抛物线与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，其中点，该抛物线的顶点为点D． (1)求抛物线的关系式，并写出抛物线的顶点D； (2)设该抛物线的对称轴与x轴的交点为点E，点是第三象限内一点，且满足，求的余切值； (3)在（2）的条件下，设点是该抛物线上一点，且的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 【变式9-2】（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 【变式9-3】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 【变式9-4】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列函数中y随x的增大而减小的有（   ）个 ①  ②  ③  ④ A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）若将二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，那么所得这个函数解析式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 5．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点和点是抛物线上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线，把抛物线向上平移 个单位后，能使得平移后的抛物线与y轴的公共点的坐标为． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知点、在二次函数的图像上，如果，那么a 0（用“>”或“<”连接）． 三、解答题 9．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 10．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线如图所示，请结合图像中所给信息完成以下问题：    (1)求抛物线的表达式： (2)若该抛物线经过一次平移后过原点，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，随着的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … 根据上表，下列判断正确的是（   ） A．该抛物线开口向上 B．该抛物线的对称轴是直线 C．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 D．该抛物线一定经过点 4．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：拋物线被轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（   ） 已知抛物线与轴交于，试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线，这个条件可以是什么？ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 7．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则 ． 8．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知是抛物线上的一点，且满足，如果使用的值定义抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线①是由抛物线经过平移所得，且抛物线①过点、，它与轴的另一个交点为A ． (1)求抛物线①的表达式； (2)设抛物线①的顶点为D，求的面积； (3)如果点在轴上，且，求点的坐标． 10．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的对称轴是直线，该抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），，与轴交于点，顶点为点，把抛物线沿轴向下平移得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，记新抛物线的顶点为点，直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平移过程中，与之间是否存在确定的数量关系，若存在，请求出它们之间的数量关系，若不存在，请说明你的理由； (3)连接，若与相似，求此时新抛物线的表达式． 11．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点P为函数在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为，直线l过且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴、l于C、Q，连接交x轴于H，直线交y轴于R． (1)求证：H点为线段的中点； (2)求证：①四边形为平行四边形； ②平行四边形为菱形； (3)除P点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由． 12．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $