期中模拟卷01（沪教版九上第24～25章：相似三角形+锐角的三角比）九年级数学上学期沪教版五四制

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册第24~25章（相似三角形+锐角的三角比）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 1．在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．在中，点分别在边上，下列选项中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 4．已知非零向量与，如果满足，那么下列四个选项中错误的是（    ） A． B．向量与的方向相反 C． D． 5．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交边于点E、F，连结与相交于点H，有下列5个结论：①；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．若，则 ． 8．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为 ． 9．如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面的坡度为，则的长度为 m． 10．如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么 ． 11．如图，太阳与地面成的角，一棵倾斜的大树与地面成角，这时大树在地面的影长约为10米，则此大树约为 米． 12．如图，在平行四边形中，设，，点O是对角线与的交点，那么向量可以表示为 ．（用向量与向量表示） 13．如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 14．如图，中，点、、分别在边、、上，且，，若，的面积为，则四边形的面积为 ． 15．如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么 ． 16．如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时， ． 17．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”， ，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 （写出所有符合条件的情况）． 18．如图，在矩形中，．将矩形绕点A逆时针旋转，点B、C、D的对应点分别是点．如果点恰好在边的延长线上，那么线段的长为 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：． 20．（10分）已知：如图，点D、F在边上，点E在边上，且，．求证：． 21．（10分）如图，在中，，，，是边上的一点，，交于点． (1)求的余切值； (2)求的比值． 22．（10分）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 23．（12分）已知，如图，在中，，垂足为点．点在边上，连接，交于点，且． (1)求证：； (2)求证：． 24．（12分）【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题． 如图，已知，，点，分别是线段，上的动点，连接，． (1)若点，分别是线段，的中点时，求证：． 证明： ，，． …… 请完成以上证明过程． (2)在（1）的前提下，如图，当的面积为时，则的面积为______； (3)点，分别在线段，上运动时，当______时，，并求出的值． 25．（14分）如图所示，已知在梯形中，，点为边上一点，且，连接交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：点是的中点； (2)如果，求的长； (3)如图，如果与互补，求的面积． (4) 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 2 4 5 6 B D D D B C 二、填空题本大题共12题，每题4分，共48分) 8 9.10 10.12 11.(103+10) 13. 10 7 14.4 15.3 16月 1763°或31.5°或47°或34° 18.2V10 三、解答题（本大题共7题，共78分） 19.(10分) 【答案151026 【】架照式95-+…6分 -1-5+512-2-5…(8分) 23 =5102号5.0分y 20.(10分) 【详解】证明：：DE∥AB, CD CE CA CB .CD2=CF.CA, CD_CF CA CD' CE CF CB CD' …(5分) 又：∠ECF=∠BCD, :△ECF∽△BCD, ∠CFE=LCDB, 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF∥BD.…(10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：：CE⊥BD,∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BDC=∠DBC+∠BDC=90°， ∠ACE=∠CBD, .CD:AD=1:3,AC=4, .CD=1,AD=3, cot∠ACE=c0t∠CBD=BC-3,…5分) CD (2)解：过A作AC的垂线交CE的延长线于P, D 在RIAAPC中， :cot∠ACE= AC 1 p3, :AP=4 :AP⊥AC, .∠CAP=90°， .LACB+∠CAP=90°+90°=180°， ·BC∥AP, △CEB∽△PEA “4E-4P=3=4…(10分) EB BC 39 22.(10分) 【详解】(1)解：在Rt△OWg中，∠NOQ=37°，NQ=12cm, oN=9s12×16em… tan37 :我们把入射角α的正弦值和折射角B的正弦值之比称为折射率()，即n=snc sinB, 已知光线从空气进入水 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中时的折射率为 4 sin∠PoM4 sin∠NOg 3 .sin∠POM= 434 合子m37P3；5分 (2)解：：∠P0M=∠C0N, ssim∠PoM=sim∠CoN= 5 在RIA CON中，sin∠CON=CN-4, 0c5 ·设CN=4xcm,则0C=5xcm, 0N=V0C2-CN2=V5x)2-(4x)2=3x(cm), 3x=16, 16 解得：x= 3, 64 .CN=4x= 3(cm), c0=Cw-N0-64-12=28*93em）, 3 答：CQ的长约为9.3cm.…(10分) 23.(12分) 【详解】(1)证明：：∠BAC=∠CAH,∠ACB=∠AHC=90°， ∴△ACHn△ABC;…(5分) (2)证明：由(1)知△ACH∽△ABC, ∴∠ACH=∠ABC, CE=CD, :ZCED =ZCDE, ∴.∠CAE+∠ACH=∠ABC+∠DAB, ∴∠CAE=∠DAB, ·△CAEn△BAD, AECE AD BD 即AE·BD=AD·CE.·(12分) 24.(12分) 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：：△ABC∽△A'B'C', BC-AC-B2'∠C=LC',∠A=∠A, BC AC AB 1 :点D,D分别是线段CA,C'A'上的中点时， :CD=ICA,CD'=ICA 2 2 CD 1 C2, C'D'1 CD BC 1 CD-BC2' :∠C=LC', .△BCD∽△B'C'D' BD 1 BD2:…(4分) (2)解：：△ABC6A'B'C', AC AB1 A'CA'B2’∠A=LA, 由(1)得CD .2 1 A 2 CD AB 1 C'D AB2 :∠A=∠A .△ABD∽△A'B'D', S.ABD=( 1 SABD 4 :△ABC的面积为4， 设ABC边AC上的高为h, 1 S.meAC.h=724D:h=25,im=4 S.4BD=2, .S。ABp=8, 故答案为：8；…(8分) 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：△ABC∽△A'B'C'， BC 1 BC-2’ :AC=AB BC 1 A'C A'B B'C2 .AC= :△ABD∽△A'B'D', AD AB 1 AD-4B-2' :AD=14D 2 则CD=CA-AD= A'C、 -AD .C'D'=C'A'-A'D' 则CD 2c1 A'D' CD' A'C'-A'D'-2 故 CD-2f,△ABDn△ABD', CD 1 此时S4= .…(12分) 25.(14分) 【详解】(1)证明：：AD∥BC, ∠AEF=∠CBF,∠EAF=LBCF, ∴.△AEF∽△CBF, :AE、EF BC BF' AE=4,EF=BF, 41 BC2' BC=8, 延长GF交AD于点Q, 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 E D F D B G :GQ∥CD,QD∥GC, :.四边形QGCD为平行四边形， ..GO=CD,OD=GC, 设QE=x,则GC=DQ=x+2, :QE∥BG, ∴.∠QEF=∠GBF,∠EQF=∠BGF, .△QEF∽△GBF, QE EF 1 BG BF2' :BG=2x, ∴BC=BG+GC=2x+x+2=8, x=2, .BG=4,GC=2+2=4, .BG=GC, 即点G是BC的中点；…(4分) (2)解：△FPG∽△FGC,LGFP=∠CFG,∠FGC>LFGP, ∴.∠FGP=∠FCG, :FG∥DC, .∠CDP=∠FGP, ∴∠FCG=LGDC, :∠PGC=∠CGD, ·△GPC∽△GCD, GP GC GC GD :AD∥GC, ∴∠ADP=∠CGP,∠DAP=∠GCP, 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ADP∽△CGP, AP DPAD3 CP GP CG 2 设DP=3k,GP=2k,则GD=5k, 2k4 ·代入GP-GC得，4=5k GC GD 解得k=210 ÷DG=5k=5x210-210;(9分) 5 (3)解：延长BE、GD交于点M, M E B GK :∠EDP与∠AFE互补，∠EDP+∠EDM=I80°， .∠AFE=LEDM, :∠AEF=LMED, △AEF∽△MED, AE FE ME DE :ED∥BG, ∴.∠MED=LMBG,LMDE=LMGB, ∴.△MED∽△MBG, EM ED 1 BM BG2' :EM=BM,即EM=BE, 2 EF=-BF, 2 EF=BE, 3 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入 E_E得，4=3 E ME DE BE 2 解得BE2=24, :∠BAD=90°， .AB2+AE2=BE2,即AB2+42=24, 解得AB=2√2， 作PK⊥GC,垂足为点K,则LPKC=90°， :AD∥BC,∠BAD=90°， ∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-90°=90°=∠PKC, .PK∥AB, ∠CPK=∠CAB,∠CKP=∠CBA, ∴△CPK∽△CAB, PK CP ·ABAC 由(2)知， AP 3 CP2 CP2 PK 2 AB 5' ·PK= B=4 5 5 1 :S.PGC= *4x282 COPK= …(14分) 55 8/86学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版九年级数学上册第24~25章（相似三角形+锐角的三角比）。 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=2,那么cosA的值是() 1 5 5 A.3 B.3 C.3 D.2 【答案】B 【详解】解：根据题意，得c0s4=4C= AB3· 故选：B 2.在△ABC D,E AB,AC DE∥BC 中，点 分别在边 上，下列选项中不能判定 的是() AD AE AB AD AD AE AD DE A. BD CE B.AC AE C.AB AC D.AB BC 【答案】D 【详解】解：如图， D A、0E BD CE' 1/27 6学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE AD AE BD+ADCE+AE,即AB=AC, 又：∠A=∠A, .△ADE一△ABC, ∠ADE=∠B, DE∥BC,故此选项不符合题意： AB AD B、 ·AC-AE, AE AD AC AB' 又∠A=∠A, .△ADE△ABC, .∠ADE=∠B, ∴DE∥BC,故此选项不符合题意： C、0E ABAC'∠A=∠A .△ADE一△ABC, ∴∠ADE=∠B, DE∥BC,故此选项不符合题意： AD DE D,AB=BC不能判定DE∥BC, 符合题意； 故选：D 3.如图，某山坡的坡面AB=400米，坡角∠BAC=35°，则该山坡的高度BC是()米 B 400 400 A. cos350 B. sin350 C. 400c0s35 D. 400sin35 【答案】D 【详解】解：在R△BC中，Sm∠B1C=BC AB 坡面AB=400米，坡角∠BAC=35°， 2/27 6学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,该山坡的高度BC=AB·sin∠BAC=400sin35°， 故选：D 4.已知非零向量“与5， 如果满足6=-2 , 那么下列四个选项中错误的是() A.=2问 B.向量a与b的方向相反 c.a∥bD.a+2b=0 【答案】D 【详解】解：A~6=-20,2,故该结论正确，不符合题意 B、6=-2a 万均为非零向量)，·ā与是方向相反的向量，故该结论正确，不符合题意： C、b=-2aa/6 故该结论正确，不符合题意： D、b=-2ai+2a=0 故该结论错误，符合题意， 故选：D 5.如图是一个正方形网络，里面有许多三角形.在下面所列出的各三角形中，与△ABC不相似的是 () B G A.△BDE B.△BCD C.△FGH D.△BFG 【答案】B 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在△1BC中，MB=1,AC=V2,BC=V5 A、在△BDE中，DE=2,BD=2V2,BE=2W5 AB 1 AC21 BC 5 1 DE2,BD2√22，BE2V52, AB AC BC ·DE BD BE, :△ABC∽aDEB,故A选项不符合题意； 3/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B、在△BCD中，CD=L,BC=V5,BD=22 AC√20BC5√0 ,BcN55,D2子 AB≠ACBC .CD BC BD· :∴△ABC和△BCD不相似，故B选项符合题意： C、在△FGH中，HG=V2,FH=2,FG=io AB1 AC BC 5 HG√22，FH=2,FG102, AB AC BC HG FH FG :△ABC∽△HGF,故C选项不符合题意： D,在△BFC中，BF=5,FG=Vi0BG=5 4B↓-5AC-2-5BC5 BF5=5,FG105,BG5, AB AC BC :BF FG BG :∴△ABC∽aFBG,故D选项不符合题意： 故选：B 6.如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，APBP的延长线分别交边CD于点E、F,连结 AC、CP,AC与BF相交于点H,有下列5个结论：①AE=2CF:②△CFP∽△APH;③△CFP∽△ACP; ④Cp=PH.PB 正确的有（) D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4/27 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：由题意得：AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°， :△ABP是等边三角形， .∠ABP=∠APB=∠BAP=6O°，AB=AP=BP, ∠DAE=∠CBF=30°， ·△DAE≌△CBF,BF=2CF, .AE BF, AE=2CF；故①正确： BP=AB=BC,∠PBC=30° ∠BPC=∠BCP=75°， ,∠FCP=15°： ∠BAC=45°，∠BAP=60° .∠CAP=15°， :∠CBF=30°， .∠CFP=60°=∠APH, △CFP∽△APH;故②正确： 若△CFP∽AACP,则∠CFP=∠ACP, ∠CFP=60°，∠ACP=∠BCP-∠BCA=30° 故③错误； ∠PCH=30°，∠CPH=75° .∠PHC=75°，CP=CH, :∠PBC=30°，∠BPC=∠BCP=75°， ,△BCPr△CPH, ∴.CP:PH=PB:CH,即CP.CH=PB·PH, CP2=PH·PB 故④正确： 故选：C 第二部分（非选择题共126分） 5/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） a b c a+b-c 7.若23 ≠0，则 -b+c-· 【答案】3 a b c 【详解】设234(k≠0)，则a=2k,6=3张，c=4收， a+b-c 2k+3k-4k k 1 a-b+c 2k-3k+4k3k3 1 故答案为：3： AB 4DE 8.如图，（∥h2∥4，两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E、F,已知BC=3,则DF 的值为一 D E B 【答案】7 ∥12∥ 【详解】解： ,两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F, AB DE 4 根据平行线分线段成比例定理可得： BC EF 3' DE DE 4 DF DE+EF 7' 故答案为：7· 9,如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高BC=5m,坡面4B的坡度为：V5 则AB的长度为m. 6/27 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 5 【答案】10 BC 1 【详解】解：由坡面4B的坡度为1：5，可知：4C3, .BC=5m, AC=3BC=53m 4B=BC+AC2=10m 故答案为10 10.如图，在△ABC中，如果AB=AC,边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G,如果DG=1, cotC=4 ,那么S。Bc=—、 B 【答案】12 【详解】解：边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G,DG=1, ∴点G是△ABC的重心， 06-40=1 .AD=3 :在△ABC中，如果AB=AC,AD是BC边上的中线， ∴.AD⊥BC,BD=CD ∴∠ADC=90°， ..cotC=CD4 AD 3' .CD=4, .BC=8, 7/27 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .8..AD-x8x3-12 2 故答案为：12， 11.如图，太阳与地面成45°的角，一棵倾斜的大树MN与地面成30°角，这时大树在地面的影长约为10 米，则此大树约为米 30°人45° M P OH 【答案】(10W5+10 ∠MQN=90° 【详解】解：如图，作 OLMP交MP 的延长线于Q,则 30°人45° M P :∠NMP=30°∠NPQ=45 :QMW,△PQ是等腰直角三角形， NO=PO 设N№=PQ=x 米，则N=2米，由题意可知，MP=10米， 在R△MNe中，M0=MP+Pe=(10+米，∠NM0=30°， MN= MO _10+2510+米 cos∠NMO cos.30°3 :310+=2x 25 解得x=53+5 8/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN=2x=255+5=(105+10)米， 即此大树约为 105+10)米. 故答案为： 10W3+10 12.如图，在平行四边形48CD中，设孤=0，D-不，点O是对角线4C与D的交点，那么向量O而 可以表示为一.（用向量a与向量b表示） B 1÷1 【答案】2b- 【详解】解：~四边形ABCD是平行四边形， .DC=AB=a OD=BO .BD=AD+BA=B-a OD=1BD-16-1a 22， 1- 1 故答案为： -0 2 13.如图，已知在△18C ∠C=90°，AB=5,AC=2BC DEFG 中， 正方形 的顶点G、F分别在边 AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为一· G A D E B 0 【答案】7 【详解】因为DEFG为正方形，所以可设正方形边长x, 9/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=2BC, tan∠BAC= BC 1 AC2· tan∠BAC=DG-x1 ADAD2,解得AD=2x' :tan∠ABC= AC 1 BC 2郎 =BE,解得BE=2x, B=D+DE+EB=2+x+之x=5,解得X-9 2 10 :正方形DEFG的边长为7： 10 故答案为：7· 14.如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DE∥AB,DF∥AC,若 BD:DC=1:2,△ABC的面积为9，则四边形AEDF的面积为一· D 【答案】4 【详解】解：DE‖AB,DF‖AC, ∴CDEACBA, △BDFP△BCA, DC)2 S BDE= SCBA BC,S.BCA BC BD:DC=1:2, DC 2 BD 1 BC3 BC3 S.ABC=9 g-.g, 10/27 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册第24~25章（相似三角形+锐角的三角比）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 1．在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．在中，点分别在边上，下列选项中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 4．已知非零向量与，如果满足，那么下列四个选项中错误的是（    ） A． B．向量与的方向相反 C． D． 5．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交边于点E、F，连结与相交于点H，有下列5个结论：①；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．若，则 ． 8．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为 ． 9．如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面的坡度为，则的长度为 m． 10．如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么 ． 11．如图，太阳与地面成的角，一棵倾斜的大树与地面成角，这时大树在地面的影长约为10米，则此大树约为 米． 12．如图，在平行四边形中，设，，点O是对角线与的交点，那么向量可以表示为 ．（用向量与向量表示） 13．如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 14．如图，中，点、、分别在边、、上，且，，若，的面积为，则四边形的面积为 ． 15．如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么 ． 16．如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时， ． 17．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”， ，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 （写出所有符合条件的情况）． 18．如图，在矩形中，．将矩形绕点A逆时针旋转，点B、C、D的对应点分别是点．如果点恰好在边的延长线上，那么线段的长为 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：． 20．（10分）已知：如图，点D、F在边上，点E在边上，且，．求证：． 21．（10分）如图，在中，，，，是边上的一点，，交于点． (1)求的余切值； (2)求的比值． 22．（10分）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 23．（12分）已知，如图，在中，，垂足为点．点在边上，连接，交于点，且． (1)求证：； (2)求证：． 24．（12分）【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题． 如图，已知，，点，分别是线段，上的动点，连接，． (1)若点，分别是线段，的中点时，求证：． 证明： ，，． …… 请完成以上证明过程． (2)在（1）的前提下，如图，当的面积为时，则的面积为______； (3)点，分别在线段，上运动时，当______时，，并求出的值． 25．（14分）如图所示，已知在梯形中，，点为边上一点，且，连接交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：点是的中点； (2)如果，求的长； (3)如图，如果与互补，求的面积． (4) 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $