专题05 一元二次函数，幂指对函数（期中真题汇编，广西专用）高一数学上学期人教A版

专题05 一元二次函数、幂指对函数 高频考点概览 考点01 一元二次函数 考点02 幂函数 考点03指数函数、对数函数 考点04 函数与方程 考点05 解答题 地 城 考点01 一元二次函数 一、单选题 3．(24-25高一上·广西容县七校·期中)不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，不等式的解集为，故对应的二次函数开口向下 对应的一元二次方程的两个根为，解得则函数，为开口向下的二次函数，且与轴的交点为 故选：C 1．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，的对称轴为，要使在上是增函数，则需. 故选：A 2．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的对称轴为：，由题意可得，解得.故选：D 4．(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以，解得.故选：D 5．(24-25高一上·广西县域高中·)函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入得；将代入得；因为函数是R上的单调函数，所以当函数是R上的单调递增函数时，函数在上单调递增，且在单调递增，且， 所以，解得.当函数是R上的单调递减函数时，函数在上单调递减，且在单调递减，且，所以，无解. 综上.故选：C. 6．(24-25高一上·广西玉林·期中)已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，对任意都有成立，则函数在上单调递减， 所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B. 7．(24-25高一上·广西玉林·)函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对且，都有，得函数在R上单调递减， 则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D 二、多选题 8．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【详解】依题意，方程的两根是，1，B正确；显然，即，，A正确；不等式，即的解集为或，C错误；不等式，即的解集是，D正确.故选：ABD 9．(24-25高一上·广西玉林·)如图是二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为，则以下选项中正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A：∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴，即，故A正确； B：∵对称轴为，∴，即，故B错误； C：由图象可知当时，，即，故C错误； D：∵把代入解析式可得，两式相加整理可得， 又当时，，则，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 11．(24-25高一上·广西防城港·期中)1．函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解方程，解得或，解方程，解得， 由于函数在区间上的值域为.若函数在区间上单调，则或，此时取得最小值2；若函数在区间上不单调，且当取最大值时，，所以的最大值为4.所以的取值范围是.故答案为： 地 城 考点02 幂函数 一、单选题 1．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知幂函数的图象经过点，则的值等于（   ） A．16 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，将点代入得：，所以，则，所以.故选：A. 2．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知为幂函数，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】因为是幂函数，所以，得，则，．故选：C 3．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是幂函数，则，解得，故，因此，.故选：A. 4．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知幂函数在内单调递增，则的值为（    ） A． B． C．或 D．1 【答案】B 【详解】由于幂函数在内单调递增，则，解得. 故选：B. 5．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)若幂函数的图象过点，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为幂函数，故可得；又，故可得，则，令，则，且，故的值域与的值域相等，又在单调递增，在上单调递减，当时，，故，即的值域为：.故选：C. 二、多选题 6．(24-25高一上·广西钦州·期中)下列关于幂函数的说法正确的是（    ） A．幂函数的图象都过点， B．当时，幂函数的图象都经过第一、三象限 C．当时，幂函数是增函数 D．若，则幂函数的图象不过点 【答案】BD 【详解】对于A，当时，幂函数的图象不过点，A错误；对于B，幂指数时，幂函数分别为，，，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B正确；对于C，当时，幂函数在，上皆单调递减，C错误；对于D，若，则函数图象不过点，D正确．故选：BD． 7．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)有以下判断，其中判断正确的是（   ） A．是幂函数，且在单调递减，则 B．的定义域为，则 C．的值域是 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【详解】对于A，由幂函数的定义可知或，又在单调递减，所以，所以，故A正确；对于B，恒成立，显然符合题意，当时，则，综上所述，故B错误；对于C，令，此时，显然，故C正确.对于D：的定义域是，故可得，则的定义域是，则对，，则，其定义域为，故D正确；故选：ACD. 三、填空题 8．(24-25高一上·广西县域高中·)若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式是 【答案】 【详解】由题设，故幂函数表达式为.故答案为： 9．(24-25高一上·广西南宁十校联考·期中)已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为 【答案】 【详解】设幂函数，∵幂函数的图象经过点，∴，∴， ∴这个幂函数的解析式为．故答案为． 10．(24-25高一上·广西柳州柳城县中学·期中)幂函数在上是减函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，解得：,所以.故答案为： 11．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)已知幂函数是奇函数，则实数m的值为 . 【答案】2 【详解】由是幂函数可得，解得或 ，当时，满足，为奇函数，符合题意；当时，，此时，不满足，不合题意，故，故答案为：2 12．(24-25高一上·广西玉林·)已知幂函数的图象关于原点对称，则实数m的值是 【答案】 【详解】由于是幂函数，所以，解得或.当时，，图象关于轴对称，不符合题意.当时，，图象关于原点对称，符合题意.所以的值为. 故答案为： 13．(24-25高一上·广西部分名校·)已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或.又因为在上单调递减，所以，所以，则.由，解得，所以不等式的解集是.故答案为： 地 城 考点03 指数函数、对数函数 一、单选题 1．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】.故选：A 2．(24-25高一上·广西贵港·期中)已知指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，，，则，，从而.故选：A 3．(24-25高一上·广西县域高中·)函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：因为，，，故排除D；又因为，，故排除C；又因为，，所以， 即，符合题意的只有A，故排除B.故选：A. 4．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以.故选：A. 5．(24-25高一上·广西防城港·期中) 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，且，由函数在上为减函数，，则，又函数在上为减函数，则，又函数在上为增函数，则，因此可得.故选：C. 6．(24-25高一上·广西玉林·期中)已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，对任意都有成立，则函数在上单调递减， 所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B. 7．(24-25高一上·广西玉林·期中)在同一直角坐标系中，函数与（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数在上单调递减，函数的对称轴为， 且函数与轴交点的纵坐标为，D不符合，C符合.当时，函数在上单调递增，函数的对称轴为，B不符合，且函数与轴交点的纵坐标为，A不符合.故选：C. 8．(24-25高一上·广西防城港·期中)自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，则，（舍）． ，．故选：A. 二、多选题 9．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数与的大致图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．     【答案】AC 【详解】对于A，当时，单调递增，与轴交于正半轴，在上单调递增，故选项A符合题意．对于B选项，由指数函数的图象可知，由一次函数的图象可知，则，故选项不符合题意．对于C，当时，单调递减，与轴交于正半轴，在上单调递减，C选项符合题意．对于D选项，由一次函数图象可知，解得，则D选项不符合题意．故选：AC. 10．(24-25高一上·广西县域高中·)已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，而，故A不正确；对于B，因为为减函数，，所以，故B正确；对于C，因为为增函数，，所以，故C正确；对于D，，而，故D不正确.故选：BC. 11．(24-25高一上·广西防城港·期中)已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，因为，所以，故A选项准确；B选项，，故B选项错误；C选项， ，因为函数单调递增，故，则，故C选项正确；D选项，，，因为，根据均值不等式可知， ，即，故D选项正确.故选：ACD 12．(24-25高一上·广西防城港·期中)定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（    ） A． B． C． D．（表示不大于的最大整数） 【答案】AD 【详解】对于A，，当时，，当时，，当且仅当，即时等号成立，即对于任意，，所以存在常数，使得成立，故为有界函数；对于B，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大，所以对于任意，不存在常数，使得成立，故不为有界函数；对于C，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大，所以可以无穷小，所以不存在常数，使得成立，故不为有界函数；对于D，当时，，则，所以存在常数，使得成立，故为有界函数.故选：AD. 三、填空题 13．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)计算： . 【答案】/ 【详解】.故答案为： 14．(24-25高一上·广西玉林·期中)对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“弱原点对称函数”.已知函数是定义域内的“弱原点对称函数”，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，当时，，要使函数是定义域内的“弱原点对称函数”，则方程在上有解，令，，则方程在上有解， 即方程在上有解，由于函数和在上单调递增，所以函数在上单调递增，又时，；时，，则，则，即.故答案为：. 地 城 考点04 函数与方程 一、多选题 1．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的最大值为3 B． C．有两个零点 D．的解集为 【答案】BCD 【详解】当时，单调递增，所以，令，可得，由得，且；当时，单调递减，所以，令，可得，由，得；所以无最大值，，有两个零点，的解集为.故A错误，B正确，C正确，D正确.故选：BCD. 2．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．方程有2个解 D．若，则 【答案】AB 【详解】，画出的图象如下图所示，由于可知，在上单调递增，A选项正确.方程有个解，C选项错误.不妨设这个解， 则，所以若，则可能，D选项错误.若，则，，所以，所以B选项正确. 故选：AB 二、填空题 3．(24-25高一上·广西玉林·期中)对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“弱原点对称函数”.已知函数是定义域内的“弱原点对称函数”，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，当时，，要使函数是定义域内的“弱原点对称函数”，则方程在上有解，令，，则方程在上有解， 即方程在上有解，由于函数和在上单调递增，所以函数在上单调递增，又时，；时，，则，则，即.故答案为：. 地 城 考点05 解答题 一、解答题 1．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值：①；②． 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 2．(24-25高一上·广西玉林·期中)（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【详解】（1）. （2）由，得，即， 则，即. 3．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①；②；③； 【详解】（1）在函数中，，则， 因此在函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）①函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ②函数的定义域为， ，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ③函数的定义域为，， 所以函数的值域为. 4．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a、b的值； (2)若函数，求值域. 【详解】（1）∵的解集为或， ∴的根为，，，∴，. （2）由（1）知， ， 抛物线开口向上，对称轴为. ∵，∴；又，∴. ∴函数的值域为. 5．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 【详解】（1），故 （2）由（1）可得，对称轴为， 故当时，，. 即的最大值为，最小值为. 6．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知二次函数. (1)求的解析式； (2)写出的单调区间；并求时，的最大值与最小值． 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，，所以. （2）由（1）知，对称轴为，图象开口朝上， 所以的减区间是，增区间是， 又，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 7．(24-25高一上·广西县域高中·)已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和. (1)求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和， 可得和是方程，则满足，解得. （2）解：由（1）得，函数， 因为对于恒成立，即在上恒成立， 当时，可得，所以， 解，解得或，所以实数的取值范围为.. 8．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知幂函数为奇函数． (1)求实数m的值； (2)求函数（）的值域． (3)求函数在区间上的最小值. 【详解】（1）∵函数为幂函数，∴，解得或5， 当时，，为奇函数，当时，，为偶函数， 因为函数为奇函数，∴. （2）由（1）可知，，则，，令，则，，则，，函数的图像开口向下，对称轴为， ∴当时，函数，当，函数取得最大值为1，∴的值域为， 故函数的值域为. （3）函数，当，即时，在区间上单调递增，最小值为；当，即时，在区间上先减后增，最小值为；当，即时，在区间上单调递减，最小值为．综上，当时，；当时，；当时，. 9．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，即， 所以，解得或. 当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意； 当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意. 故. （2）由（1）可知，所以不等式，即不等式， 因为为增函数，所以，即， 所以，解得或，即的取值范围是. 10．(24-25高一上·广西防城港·期中)定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）方法一：是奇函数，，即，解得， 又由知：，解得． 此时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称，所以是奇函数．故． 方法二：是奇函数，， ，即恒成立． 或，当时，的定义域为，舍去， 当时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称，所以是奇函数． 故满足题意． （2）由（1）知， 则由复合函数单调性可知在上为减函数， 又是奇函数，由得：， ，即在上有解， 当且仅当，即时等号成立， 在上的最大值为，，即． 11．(24-25高一上·广西贵港·期中)已知是定义在上的奇函数，函数. (1)求a，b的值； (2)求的值域； (3)已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求t的取值范围. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 则，即， 令，，得解得，， 经检验知当，时，是定义在上的奇函数，故，. （2）由（1）可知， 因为，所以，则，即的值域为. （3）， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增，则当时，. 由，得. 若，则，由对于任意， 存在，使得成立，得恒成立； 若，则，由对于任意， 存在，使得成立，得，解得. 综上所述，t的取值范围为. 12．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是上的受限函数，其中称为的限定值. (1)若函数在上是限定值为8的受限函数，求的最大值； (2)若函数，判断是否是限定值为4的受限函数，请说明理由； (3)若函数在上是限定值为9的受限函数，求的取值范围. 【详解】（1）因为的限定值为8，所以，即，解得. 因为是上的受限函数，所以，则，即的最大值是3. （2）是限定值为4的受限函数，理由如下：由题意，得，解得， 当时，，所以，所以，即， 所以是上的限定值为4的受限函数. （3）因为在上是限定值为9的受限函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，因为，所以，易证在上单调递减，则. 所以，即的取值范围为. 13．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完. (1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【详解】（1）当时，， 当时，， 综上，. （2）由（1）知，， 当时，， 因为，所以，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时，又， 所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元. 14．(24-25高一上·广西南宁南宁第二中学·期中)经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足． (1)试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式； (2)求该商品的日销售金额的最大值与最小值． 【详解】（1）由题意，得 （2）①当时，因为，当且仅当，即时取等号. 所以当t＝10时，有最小值12100；当t＝1时，有最大值20200； ②当时，∵在[25，30]上递减，∴当t＝30时，有最小值12400 ∵12100＜12400，∴当t＝10时，该商品的日销售金额取得最小值为12100，最大值为20200． 15．(24-25高一上·广西容县七校·期中)春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为. (1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数； (2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少? 【详解】（1）当时，设，，则， .， 故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人. （2）， ①当时，，当且仅当时等号成立； ②当时，； 又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少. 16．(24-25高一上·广西桂林·调研)如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【详解】（1）由题意知，矩形的一边长为，另一边长为， 则， 故. （2）因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 17．(23-24高一上·广西南宁第三中学五象校区·)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润） 【详解】（1）月产量为台，则总成本为元，从而 （2）由(1)可知，当时，，所以当时，； 当时，是减函数，则， 所以当时，， 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为元． 18．(24-25高一上·广西防城港·期中)销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 【详解】（1）由题意，解得，故. 又由题意，得，. （2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元. 由（1）得. 令，则且， 故，， 当即时，取最大值， 答：该商场所获利润的最大值为万元． 19．(24-25高一上·广西玉林·)某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元． (1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？ (2)为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种： ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元． 如果你是企业的决策者，为了使每日获利最大，你会选择哪种补贴方案？为什么？ 【详解】（1）解：由题意知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为， 又由， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该企业日加工处理量为80吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低， 因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态． （2）解：若该企业采用第一种补贴方案，设该企业每日获得为元， 由题可得 ， 因为，所以当时，企业每日获利最大为850元， 若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元， 由题可得． 因为，所以当时，企业每日获利最大为850元． 因为两种方案所获最大利润相同，所以选择两种方案均可． 20．(24-25高一上·广西玉林·期中)国家提出乡村振兴，建设新农村战略，鼓励农村产业发展.某企业响应国家号召，在农村某地投资生产某种大型农机产品，其每日生产的总成本y（万元）与日产量x（件）之间的函数关系可近似表示为，且当时，. (1)求b的值； (2)计算该企业日产量x为多少件时，每日生产的平均成本最低? (3)国家实行惠农政策，每件产品的售价定为2万元，为了使企业可持续发展，政府有两种补贴方案供企业选择.方案一：根据日产量，每件产品补贴1万元；方案二：每日定额补贴3万元.假设每天生产的产品都能销售完，请你计算： ①如果选择方案一，日产量x为多少件时，日利润最大（利润=销售额+补贴-总成本）? ②若日产量为5件时，你认为选择哪种方案比较好? 【详解】（1）当时，，解得. （2）,当且仅当，即时等号成立， 即企业日产量x为4件时，每日生产的平均成本最低。 （3）设日利润为， ①如果选择方案一，， 因为函数对称轴为，开口向下，所以当时，日利润最大为万元. ②如果选择方案二， ， 当时，万元， 由①知，，方案一比较好. 21．(23-24高一上·广西柳州高级中学·期中)武清政府为增加农民收入，根据本区区域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器维修等原因，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完. (1)求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式； (2)求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值. 【详解】（1）当时，. 当时，. 故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式为：. （2）当时，，所以时，取得最大值5万元； 当时，因为，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取得最大值6万元， 因为，故当时，取得最大值6万元. 试卷第1页，共3页 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次函数、幂指对函数 高频考点概览 考点01 一元二次函数 考点02 幂函数 考点03指数函数、对数函数 考点04 函数与方程 考点05 解答题 地 城 考点01 一元二次函数 一、单选题 3．(24-25高一上·广西容县七校·期中)不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A． B． C． D． 1．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 2．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·广西县域高中·)函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·广西玉林·期中)已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·广西玉林·)函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 9．(24-25高一上·广西玉林·)如图是二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为，则以下选项中正确的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．(24-25高一上·广西防城港·期中)1．函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 地 城 考点02 幂函数 一、单选题 1．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知幂函数的图象经过点，则的值等于（   ） A．16 B． C．2 D． 2．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知为幂函数，则（    ） A． B． C．4 D． 3．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)已知幂函数在内单调递增，则的值为（    ） A． B． C．或 D．1 5．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)若幂函数的图象过点，则的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高一上·广西钦州·期中)下列关于幂函数的说法正确的是（    ） A．幂函数的图象都过点， B．当时，幂函数的图象都经过第一、三象限 C．当时，幂函数是增函数 D．若，则幂函数的图象不过点 7．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)有以下判断，其中判断正确的是（   ） A．是幂函数，且在单调递减，则 B．的定义域为，则 C．的值域是 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题 8．(24-25高一上·广西县域高中·)若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式是 9．(24-25高一上·广西南宁十校联考·期中)已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为 10．(24-25高一上·广西柳州柳城县中学·期中)幂函数在上是减函数，则的值为 ． 11．(24-25高一上·广西来宾来宾高级中学·期中)已知幂函数是奇函数，则实数m的值为 . 12．(24-25高一上·广西玉林·)已知幂函数的图象关于原点对称，则实数m的值是 13．(24-25高一上·广西部分名校·)已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是 地 城 考点03 指数函数、对数函数 一、单选题 1．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 2．(24-25高一上·广西贵港·期中)已知指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·广西县域高中·)函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   4．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·广西防城港·期中) 若，则（ ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·广西玉林·期中)已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·广西玉林·期中)在同一直角坐标系中，函数与（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·广西防城港·期中)自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数与的大致图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．     10．(24-25高一上·广西县域高中·)已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·广西防城港·期中)已知函数则（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·广西防城港·期中)定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（    ） A． B． C． D．（表示不大于的最大整数） 三、填空题 13．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)计算： . 14．(24-25高一上·广西玉林·期中)对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“弱原点对称函数”.已知函数是定义域内的“弱原点对称函数”，则实数m的取值范围是 . 地 城 考点04 函数与方程 一、多选题 1．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的最大值为3 B． C．有两个零点 D．的解集为 2．(24-25高一上·广西桂林·调研)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．方程有2个解 D．若，则 二、填空题 3．(24-25高一上·广西玉林·期中)对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“弱原点对称函数”.已知函数是定义域内的“弱原点对称函数”，则实数m的取值范围是 . 地 城 考点05 解答题 一、解答题 1．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值：①；②． 2．(24-25高一上·广西玉林·期中)（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 3．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①；②；③； 4．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a、b的值； (2)若函数，求值域. 5．(24-25高一上·广西玉林兴业县第四中学·期中)已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 6．(24-25高一上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知二次函数. (1)求的解析式； (2)写出的单调区间；并求时，的最大值与最小值． 7．(24-25高一上·广西县域高中·)已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和. (1)求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 8．(24-25高一上·广西容县七校·期中)已知幂函数为奇函数． (1)求实数m的值； (2)求函数（）的值域． (3)求函数在区间上的最小值. 9．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 10．(24-25高一上·广西防城港·期中)定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 11．(24-25高一上·广西贵港·期中)已知是定义在上的奇函数，函数. (1)求a，b的值； (2)求的值域； (3)已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求t的取值范围. 12．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是上的受限函数，其中称为的限定值. (1)若函数在上是限定值为8的受限函数，求的最大值； (2)若函数，判断是否是限定值为4的受限函数，请说明理由； (3)若函数在上是限定值为9的受限函数，求的取值范围. 13．(24-25高一上·广西平果铝城中学·期中)2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完. (1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 14．(24-25高一上·广西南宁南宁第二中学·期中)经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足． (1)试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式； (2)求该商品的日销售金额的最大值与最小值． 15．(24-25高一上·广西容县七校·期中)春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为. (1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数； (2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少? 16．(24-25高一上·广西桂林·调研)如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 17．(23-24高一上·广西南宁第三中学五象校区·)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润） 18．(24-25高一上·广西防城港·期中)销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 19．(24-25高一上·广西玉林·)某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元． (1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？ (2)为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种： ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元． 如果你是企业的决策者，为了使每日获利最大，你会选择哪种补贴方案？为什么？ 20．(24-25高一上·广西玉林·期中)国家提出乡村振兴，建设新农村战略，鼓励农村产业发展.某企业响应国家号召，在农村某地投资生产某种大型农机产品，其每日生产的总成本y（万元）与日产量x（件）之间的函数关系可近似表示为，且当时，. (1)求b的值； (2)计算该企业日产量x为多少件时，每日生产的平均成本最低? (3)国家实行惠农政策，每件产品的售价定为2万元，为了使企业可持续发展，政府有两种补贴方案供企业选择.方案一：根据日产量，每件产品补贴1万元；方案二：每日定额补贴3万元.假设每天生产的产品都能销售完，请你计算： ①如果选择方案一，日产量x为多少件时，日利润最大（利润=销售额+补贴-总成本）? ②若日产量为5件时，你认为选择哪种方案比较好? 21．(23-24高一上·广西柳州高级中学·期中)武清政府为增加农民收入，根据本区区域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器维修等原因，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完. (1)求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式； (2)求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值. 试卷第1页，共3页 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $