第11章简单几何体单元测试 (培优卷） -2025-2026学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 第11章简单几何体单元测试（提升卷） 考试满分150 时间120分钟 一、填空题 1．给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 【答案】 【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错； 对于②，有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱，②对； 对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错； 对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示： 该几何体不是棱柱，④错. 故答案为：. 2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为_______ 【分析】由圆锥的轴截面确定圆锥的底面半径、高和母线，进而计算圆锥侧面积. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l． 由题意可知，母线, 则圆锥的轴截面为， 则，，所以该圆锥的侧面积为, 3. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据母线与底面所成角得到，利用体积构造方程求得，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式求得结果. 【详解】母线与底面所成角为 圆锥的高与底面半径的关系为： 圆锥体积，解得： 圆锥母线长： 圆锥侧面积： 故答案为 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解，涉及到圆锥体积公式的应用，属于基础题. 4.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是 （结果保留π）． 【答案】 【分析】做轴截面，根据母线与底面半径求出圆锥的高，计算体积即可. 【详解】如下图做出轴截面： 代入圆锥体积公式：. 故答案为： 5．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为_______ 【分析】截面圆的半径、球心到平面的距离、球的半径构成直角三角形，据此即可求解. 【详解】由截面圆的半径、球心到平面的距离、球的半径构成直角三角形， 解得球的半径为， 利用球的体积公式得． 6.如图，将三棱锥展开为平面图形，已知，，，，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意，，，， 则≌，由勾股定理得， 又，，， 所以在，由余弦定理得 ，故． 在中，由余弦定理得． 故答案为：． 7.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为_________ 【分析】根据题意分析可知平面平面，可知平面，再结合等体积法，即可求解． 【详解】底面为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时， 不妨设，， 分别取，的中点，，连接，，， 如图所示：    则，，且，，平面， 故平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，，， 则，即， 则， 故， 所以四棱锥的高为，当相对的棱长相等时，不妨设，， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在． 8.如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，∠ASD＝∠BSD＝∠CSD＝30°，当三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为 　　． 【分析】连接AD，利用SD是球O的直径，可得SA＝SDcos30°，同理可得SB，SC，设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，球的半径为R，可得S，O，O1三点共线，再在Rt△OAO1中利用勾股定理求解即可． 【解答】解：连接AD， ∵SD是球O的直径， ∴∠SAD＝90°，∴SA＝SDcos30°＝SD， 同理可得SB＝SC＝SD， ∴SA＝SB＝SC设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，球的半径为R， 则OO1⊥平面ABC，SO1⊥平面ABC， 因此S，O，O1三点共线， ∵三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的正三角形时， 即△ABC的外接圆半径r＝AO1＝＝， SA＝SB＝SC＝•2R＝R， 三棱锥的高SO1＝＝， 在Rt△OAO1中有OA2＝AO12+OO12，即R2＝（）2+（﹣R）2， 解得R＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了球的性质及其有关应用、解直角三角形、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题． 9.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 【答案】5 【分析】设出截得的棱台的高，利用棱锥平行于底面的截面比例关系列式求解. 【详解】设截得的棱台的高为， 由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比， 得，解得， 所以截得的棱台的高为5. 故答案为：5 10.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 【答案】9 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 因为的长为，所以， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的， 易知，所以， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 因为，所以. 故答案为：9 11．如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面与该正方体侧面相交所得多边形的周长为 . 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状、证明面面平行 【分析】取的中点，的中点，证明，再利用面面平行的判定定理可证得平面平面，由此确定平面截该正方体所得截面，再求其周长. 【详解】如图1，取的中点，的中点，连接， 则， 所以，故，在同一平面内， 连接，因为，分别为，的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 因为，、平面， 所以平面平面， ，，，等腰梯形如图2， 故所得截面的周长为. 故答案为：. 12.已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出辅助线，当与重合时，最小，此时，当越接近于时，越大，故的取值范围是. 【详解】如图所示，点为上底面的圆心，下底面的直径为，为下底面的圆心， 连接，则， 过点作⊥，交圆于点，则， 连接，由勾股定理得， 当与重合时，最小，此时， 当越接近于时，越大，故的取值范围是.    故答案为： 二、选择题 13.以下说法正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 【答案】B 【详解】对于A：长方体不仅需要各侧面为矩形，上下底面也要为矩形，故A错误； 对于B：有两个相邻侧面是矩形说明侧棱垂直于底面，是直棱柱，故B正确； 对于C：正棱锥不仅要求底面是正多边形，还需要侧面为全等三角形，故C错误； 对于D：正四棱柱是上下底面为正方边形的长方体，底面需要是正方形，而底面四边相等可能是菱形，故D错误. 故选：B 14.已知一个圆柱底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆周上的一个动点，关于的面积大小下列说法正确的是（    ） A．的面积是定值 B．的面积没有最大值 C．的面积最大值是 D．的面积最大值是2 【答案】C 【详解】 如图，过C作CD垂直于AB，过D作DE垂直于底面，连接CE， 因为长为2，则的面积为， ， 因为CD垂直于AB，DE垂直于圆柱底面，所以DE垂直于AB，所以AB垂直于平面CDE， 所以CE垂直于AB，C是底面圆周上动点，所以CE最大等于底面半径，等于1，所以CD最大为，即面积最大为. 故选：C. 15.图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】观察两个相邻的正五边形，它们的组成的图形是对称的， 由于它们的一侧可以夹一个正方形， 所以另一侧也可以加一个正方形， 因此，图中的三角形为等腰直角三角形， 不妨设正五边形的边长为， 则等腰直角三角形的斜边为， 所以下底面正方形的边长为1，上底面正方形的边长为， 所以上底面正方形的面积为2，下底面正方形的面积为1， 所以上正方形面积是下正方形面积的2倍， 故选：B 16.如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得. 【详解】    设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得，    所以的周长的最小值为． 故选：B． 三、解答题 17．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm. （1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）? （2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？ 【答案】（1） 169.6 （2） 1 200π 【详解】 （1）因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm， 所以两个半球的体积之和为V球＝πR3＝π·27＝36π（cm3）． 又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3）． 所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm3）． （2）上下两个半球的表面积和是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π（cm2）， 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm2）， 所以1个“浮球”的表面积为S＝48π（cm2） 因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S＝2 500×48π（cm2）＝12π（m2）． 因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝1 200π（克）． 考点：圆柱、球的体积、表面积. 18．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示． （1）求此几何体的表面积； （2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据几何体的组成，应用圆锥、圆柱侧面积及底面积的求法，求几何体的表面积. （2）将所在的平面，延两点所在的母线剪开平展，应用平面图形的性质及勾股定理求到的最短路径长． 【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和． 圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积， ∴几何体表面积为． （2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图． 则． ∴、两点间在侧面上的最短路径长为． 19．如图，圆柱中，、分别为圆、圆的直径，为母线，，点在上底面的圆内，点在弧上. （1）求三棱锥的体积的最大值； （2）求三棱锥的外接球的体积的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）设，，则，进而利用均值不等式求出的最大值，进而可求出结果； （2）设球的半径为，，，结合图形可得以及然后根据的范围求出的范围，进而可以求出的最值，从而求出结果. 【详解】 （1）设，，则， 三棱锥的体积（为点到底面）， ，，当且仅当时，等号成立， 所以，故当时，三棱锥的体积取得最大值. （2） 易知三棱锥的外接球球心在线段上. 设球的半径为，，， 在中，，即； 在中，，即； 联立两式，可得， 又因为，所以，，. 故当时，取得最小值，三棱锥的外接球的体积取得最小值. 20.如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1)3； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，可得点在平面上的射影在直线上，进而求出三棱柱的高及体积. （2）利用线面平行的判定推理即得. 【详解】（1）在三棱柱中，平面平面， 由平面平面，得点在平面上的射影在直线上， 点与其在平面上的射影的距离为点到平面的距离， 直线与直线的夹角即为侧棱与底面所成的角为， 因此，而正的面积， 所以三棱柱的体积. （2）在三棱柱中，取的中点，连接，， 在中，由是的中点，得，且， 而且，又为棱的中点，则，且， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. 21．如图，直三棱柱，高为，底面三角形的边长分别为AB=4a，BC=3a，AC=5a（a>0）． （1）求直三棱柱外接球半径的最小值； （2）若用这样的两个相同的直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）易得直三棱柱外接球球心为矩形的中心，且直径为，再表达出，根据基本不等式求最小值即可； （2）分析所有可能三棱柱和四棱柱的情况，再列式求解即可 【详解】 （1）因为底面三角形的边长满足，且直三棱柱，故外接球球心为矩形的中心，且直径为. 又，当且仅当时取等号，此时外接球半径的最小值 （2）拼成三棱柱时，为两个直三棱柱重叠，表面积为12a2+48 拼成四棱柱时重叠的面为侧面三个面中的任意一个，易得当重叠的面为时的表面积最小为24a2+28， ∴24a2+28<12a2+48，∴，解得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 第11章简单几何体单元测试（提升卷） 考试满分150 时间120分钟 一、填空题 1．给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为_______ 3. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为________． 4.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是 （结果保留π）． 5．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为_______ 6.如图，将三棱锥展开为平面图形，已知，，，，则 ． 7.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为_________ 8.如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，∠ASD＝∠BSD＝∠CSD＝30°，当三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为 　　． 9.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 10.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 11．如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面与该正方体侧面相交所得多边形的周长为 . 12.已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是 . 二、选择题 13.以下说法正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 14.已知一个圆柱底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆周上的一个动点，关于的面积大小下列说法正确的是（    ） A．的面积是定值 B．的面积没有最大值 C．的面积最大值是 D．的面积最大值是2 15.图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 16.如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 三、解答题 17．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm. （1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）? （2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？ 18．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示． （1）求此几何体的表面积； （2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长． 19．如图，圆柱中，、分别为圆、圆的直径，为母线，，点在上底面的圆内，点在弧上. （1）求三棱锥的体积的最大值； （2）求三棱锥的外接球的体积的最小值. 20.如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证：平面. 21．如图，直三棱柱，高为，底面三角形的边长分别为AB=4a，BC=3a，AC=5a（a>0）． （1）求直三棱柱外接球半径的最小值； （2）若用这样的两个相同的直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $