2.3 直线交点坐标与距离公式 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3直线交点坐标与距离公式 思维导图 直线交点坐标及求参 三线的交点问题 交点问题 过直线交点的直线系方程 交点个数与方程解个数关系 点关于点对称 中心对称：关于点对称 直线交点 线关于点对称 坐标与距 对称问题 离公式 一一 点关于线对称 轴对称：关于线对称 线关于线对称一反射问题 两点距离 三种距离 点线距离 线线距离 知识梳理 一、两直线的交点与方程（组）的关系 1.两条直线的交点 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 Ax+By+C=0 4x+By+C,=0” 若方程有唯一解，则两条 直线相交，此解就是交点坐标； 2.两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系 直线与l,的位置关系 相交 重合 平行 直线L与l,的公共点个数 一个 无数个 零个 方程组 Ax+By+C=0 一组 无数组 无解 4x+B,y+C,=0的解 AB 4-B-C B2 A, B.C, 8 3.过两条直线交点的直线系方程 第1页 经过两直线l:Ax+By+C,=0,1,:A,x+B2y+C,=0交点的直线方程为 Ax+By+C+入(Ax+B2y+C2)=0,其中入是待定系数， 在这个方程中，无论入取什么实数，都得不到A,x+B2y+C,=0,因此它不能表示直线L2· 典例剖析 【考点一两直线的交点】 【题型一直线交点坐标及求参】 1.直线2x-y-1=0与直线x+y-5=0的交点坐标为， 【变式】若直线l1:x+2y-4=0与直线l2:kx-y+2k+1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是() A.（-言，)B.（-,言)C.（-∞-)U(3+∞)D. (-∞，-)U(-言+∞) 第2页 2.知△ABC的三个顶点是A(4,0),B(2,4),C(0,3). (I)求边AB上的中线所在直线的一般式方程： (2)过点B做直线AC的垂线BD,求垂足D的坐标. 【题型二过直线交点的直线系方程】 3.经过两直线1：x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0平行 的直线的方程为 第3页 【练习】平面直角坐标系x0y中，过直线1：7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点，且在y轴 上截距为1的直线的方程为 _·(写成一般式) 【题型三三线的交点问题（三线能否围成三角形）】 4.(多选)设k为实数，若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky+k十专=0不能构 成三角形，则实数k的取值可能为() A.2 B.-2 C.1 D.-吉 第4页 【变式】（多选）下面三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,13:2x-3my-4=0不能构 成三角形，则实数m的取值可以是() A.-1 B.吉 c. D.4 【题型四直线交点与方程组解的关系】 4x+6y=1 5.(1)（2024上海高三专题练习)若关于x、y的方程组 ar-3y=2无解，则实数a= （x+my-1=0 (2)若关于x,y的方程组2x-4y十n=0(mn∈R)有无穷多组解，则mn的值为 第5页 6.(多选)己知M(ab1)与N(a2b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，则关于 11:a1x+b1y-1=0和l2:a2x+b2y-1=0的交点情况说法错误的是() A.无论k、M、N如何，总是无交点 B.存在k、M、N使之无交点 C.无论k、M、N如何，总是唯一交点D.存在k、M、N使之有无穷多交点 7.曲线y=x与y=kx+1的交点的情况是() A.最多有两个交点 B.两个交点 C.一个交点 D.无交点 【练习】若y=一ax的图象与直线y=一a+a<0)有两个不同的交点，则a的取值范围是() A.-1<a<0 B.a<-1 C.a<0 D.a=-1 第6页 知识梳理 二、对称问题 1.中心对称（关于点对称） 根本：中点坐标公式 设点P(x,yo)关于点M(a,b)的对称点为P'(c,y),则有 点关于 xo+x =a 点对称 2 x=2a-xo 所以 即点P'(2a-x,2b-yo) Yo+y y=2b-yo =b 2 法1：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对 B 称点，再由两对称点确定对称直线， 线关于 法2：先求出一个对称点，再利用对称直线与原直线平行求方 点对称 程 2.轴对称（关于直线对称） 根本：点P关于直线1的对称点为P',则直线1为线段PP'的中垂线， 于是有等量关系： ①kp·k,=-1(直线1的斜率存在且不为零)； ②线段PP'的中点在直线1上； (可推导性质：③直线1上任意一点M到P,P'的距离相等，即MP=MP'|) 点A(x%)关于直线1：A+By+C=0的对称点为A'(xy), 点关于 y-% A 直线对 1(AB≠O) B 则由方程组 x-xo 可求得点A‘ 称 A x+6+B.y+必+C=0 2 2 在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再 由两点式写出对称直线的方程 ①若已知直线与对称轴相交，一般先求交点，再在已知直 线上任取一点，求其对称点，利用两点式求解 直线关 ②若已知直线与对称轴平行，则可按照平行规律先设出直 于直线 线方程，再在己知直线上取一点，求出其对称点，代入所设 对称 方程 M 第7页 3.常用对称的特例 ①A(a,b)关于x轴的对称点为A'(a,-b); ②B(a,b)关于y轴的对称点为B'(-a,b); ③C(a,b)关于直线y=x的对称点为C'(b,a); ④D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D'(-b,-a); ⑤P(a,b)关于直线x=m的对称点为P'(2m-a,b); ⑥Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q'(a,2n-b) ⑦M(a,b)关于原点(0,0)的对称点M(-a,-b) 典例剖析 【考点二对称问题】 【题型一关于点对称】 8.求点P(4,5)关于M(3,-2)对称的点Q的坐标 【变式】已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1)关于点(3,4)对称，则ab=() A.-5 B.14 C.-14 D.5 9.直线3x-2y=0关于点（得，0）对称的直线方程(） A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0 C.x-y=0 D.2x-3y-2=0 【练习】直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是 第8页 【题型二关于线对称】 10.点(3,4)关于直线x十y+1=0对称的点的坐标为 【变式】在△ABC中，已知A1,1),B(-3,-5),若直线m:2x+y+6=0为∠ACB的平分线， 则直线AC的方程为() A.x-2y+1=0B.6x+7y-13=0C.2x+3y-5=0 D.x=1 第9页 11.(1)求直线x+2y-1=0关于直线x+2y+1=0对称的直线方程() A.x+2y-3=0 B.x+2y+3=0 C.x+2y-2=0 D.x+2y+2=0 (2)设直线1：3x-2y-6=0,直线l2:x-y-4=0,则1关于12对称的直线方程为() A.3x+2y-14=0B.2x-3y-14=0C.3x+2y-6=0D. 2x-3y-6=0 12.（多选)一光线过点(2,4)，经倾斜角为135°的直线：y=kx+1反射后经过点(5,0)，则 反射光线还经过下列哪些点() A.(14,) B.(14,1) C.(13,2) D.(13,1) 第10页 2.3直线交点坐标与距离公式 知识梳理 一、两直线的交点与方程（组）的关系 1．两条直线的交点 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组.，若方程有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标； 2．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系 直线与的位置关系 相交 重合 平行 直线与的公共点个数 一个 无数个 零个 方程组的解 一组 无数组 无解 3．过两条直线交点的直线系方程 经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 典例剖析 【考点一 两直线的交点】 【题型一 直线交点坐标及求参】 1．直线与直线的交点坐标为 . 【答案】 【分析】联立两直线的方程，可求出两直线的交点坐标. 【详解】联立，解得， 因此，直线与直线的交点坐标为. 故答案为：. 【变式】若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 2．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的一般式方程； (2)过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得AB的中点，再利用两点式求解； （2）根据直线AC与直线BD垂直，求得直线BD的方程，然后联立方程组求解. 【详解】（1）中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般式方程为． （2）由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 联立和方程，，解得垂足． 【题型二 过直线交点的直线系方程】 3．经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【分析】设与平行的直线方程为，求出两直线交点的坐标并代入即可求得结果. 【详解】设与平行的直线方程为， 联立，解得， 又因为点在直线上，即， 解得. 所以直线方程为. 故答案为： 【练习】平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 【题型三 三线的交点问题（三线能否围成三角形）】 4．（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成三角形的的值． 【详解】①当三条直线交于一点时不能围成三角形，由，得到交点坐标为，由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时，不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时，不能围成三角形，则且，解得. 故选：AD. 【变式】（多选）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 【答案】ACD 【分析】由题意，利用分类讨论思想，分为三线交于一点和至少有两条直线平行两种情况，分别剪力方程，可得答案. 【详解】当三条直线交于一点时，由，解得直线和直线的交点的坐标， 由点在直线上可得，解得或，故AC正确； 至少有两条直线平行或重合时，即，，中至少有两条直线的斜率相等， 当时，；当时，；若，则需有，不可能，故D正确. 故选：ACD. 【题型四 直线交点与方程组解的关系】 5．（1）若关于、的方程组无解，则实数________ 【答案】 【详解】由题意关于、的方程组无解，即直线和直线平行，故，所以， 此时直线即，确实与平行，故满足题意，所以实数. 故答案为：-2. （2）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 6．（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【分析】计算，进而可得，由两直线相交即可求解. 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD 7．曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【练习】若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 二、对称问题知识梳理 1. 中心对称（关于点对称） 根本：中点坐标公式 点关于点对称 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点 线关于点对称 法1：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线； 法2：先求出一个对称点，再利用对称直线与原直线平行求方程. 2．轴对称（关于直线对称） 根本：点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线， 于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； （可推导性质：③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即） 点关于直线对称 点关于直线的对称点为A‘（x,y），则由 方程组 可求得点A‘. 直线关于直线对称 在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再由两点式写出对称直线的方程. ① 若已知直线与对称轴相交，一般先求交点，再在已知直线上任取一点，求其对称点，利用两点式求解 ② 若已知直线与对称轴平行，则可按照平行规律先设出直线方程，再在已知直线上取一点，求出其对称点，代入所设方程 3. 常用对称的特例 ①关于轴的对称点为； ②关于轴的对称点为； ③关于直线的对称点为； ④关于直线的对称点为； ⑤关于直线的对称点为； ⑥关于直线的对称点为. ⑦ M（a,b）关于原点（0,0）的对称点M‘（-a，-b） 【考点二 对称问题】典例剖析 【题型一 关于点对称（中心对称）】 8．求点关于对称的点的坐标__． 【来源】专题01 直线的对称问题 【答案】 【分析】由中点坐标公式求解即可 【详解】解：设点的坐标为， 关于对称的点为， 为的中点，故， 解方程组可得，即， 故答案为：． 【变式】已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 9．直线关于点对称的直线方程（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 【练习】直线关于定点对称的直线方程是_________． 【答案】 【分析】先求出原直线上一个点关于定点的对称点，然后用对称后的直线与原直线平行 【详解】在直线上取点，点关于的对称点为 过与原直线平行的直线方程为，即为对称后的直线． 故答案为： 【题型二 关于线对称（轴对称）】 10．点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果. 【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为， 则，解得， 所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为． 故答案为： 【变式】在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据点关于线的对称求解关于直线的对称点，即可根据两点求解的方程,即可求解直线方程. 【解答过程】过作关于直线的对称点，则在直线上， 设，根据且的中点在直线上，得， 解得，所以， 又，所以直线方程为，故方程为， 故选：D. 11．（1）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（       ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 【答案】B 【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项. 【详解】设对称直线方程为， ，解得或（舍去）. 所以所求直线方程为. 故选：B （2）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【解答过程】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 12．（多选）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（       ） A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1） 【答案】AD 【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验 【详解】由题意知，，设点（2，4）关于直线的对称点为（m，n）， 则，解得，所以反射光线所在的直线方程为， 所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，， 故选：AD 【变式】光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】求得直线与直线交点后，再求直线上一点关于直线的对称点，是本题的关键所在. 【详解】由得 即直线与直线交点为 在直线上取点 设点关于的对称点为 则 即 则反射光线所在直线的方程为 故答案为： 知识梳理 三、平面的三种距离公式 两点间距离 （点点） 平面上任意两点之间的距离公式为. 点到直线的距离 （点线） 平面上任意一点到直线的距离公式为. 两平行直线间的距离（线线） 两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 【注意】在应用平行线间的距离公式时，应注意把直线方程化成一般形式，且使的系数相等. （一些特殊情况） 1.两点间的距离 （1）原点与任一点的距离. （2）当直线平行于轴时，，； 当直线平行于轴时，，. （3）当在直线上时， . 2. 点到直线的距离 （1）点到轴的距离； （2）点到轴的距离； （3）点到与轴平行的直线的距离； （4）点到与轴平行的直线的距离. 3. 两条平行直线间的距离公式 （1）两直线都与轴垂直时，，则. （2）两直线都与轴垂直时，，则. 典例剖析 【考点三 三种距离公式的应用】 【题型一 求平面中的距离】 （点点距） 13．已知的顶点为，则边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式以及两点间的距离公式. 【详解】设的中点为， 因为的顶点，， 则，又， 所以 . 故答案为：. 14．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______. 【答案】     直角三角形     5 【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 【变式】已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等. 【详解】由A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1）， 有，，则， ，，， 所以四边形ABCD是梯形. 故选：A. （点线距） 15．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（       ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解即可. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 【点睛】本题考查了点到直线距离公式的直接应用，属于基础题. 【变式】已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点到直线l的距离即可. 【详解】以向量为方向向量的直线l的斜率 则过点P的直线l的方程为，即 则点到直线l的距离 故选：B （线线距） 16．两平行线与之间的距离是（       ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】方程可化为， 所以两平行线之间的距离为. 故选：C 【变式】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）． A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再将直线方程化为、对应系数一致，最后利用距离公式计算可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，即， 所以两平行线之间的距离. 故选：B 【题型二 根据距离求参数】 （点点距） 17．已知点，在轴上有一点，且，则点的坐标为_________． 【答案】或 【分析】设点的坐标为，根据两点间距离公式列方程求出的值即可得点的坐标. 【详解】设轴上的点的坐标为， 因为点，所以， 解得:或， 所以点的坐标为或， 故答案为：或. 18．在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程. 【答案】或，对应直线PM的方程为或. 【分析】利用点在直线上和两点距离建立方程组求解点的坐标，求出斜率，代入点斜式求解直线方程. 【详解】设，由题意，解得或， 所以或， 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即； 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即. 【变式】已知，，线段的垂直平分线为直线．若点在直线上，且，求点坐标 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意，求出线段的中点坐标及直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程，化简即可得答案； （2）设点坐标为，由题意，列出关于的方程组求解即可得答案. (1) 解：因为，，所以线段的中点为，， 又线段的垂直平分线为直线，所以， 所以直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为； (2) 解：设点坐标为， 由题意有，解得或， 所以点坐标为或. （点线距） 19．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（       ） A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3 【答案】D 【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线或AB的中点在直线l上，再分别计算即可. 【详解】方法一   由题意得，即，所以或，解得或． 方法二   因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3． 故选：D 【变式】直线l经过点，且与点和点的距离之比为1：2，则直线l的方程为（       ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据直线l是否存在斜率，结据点到直线距离公式分类讨论进行求解即可. 【详解】当直线l斜率不存在时，则方程为，显然此时该直线与点和点的距离之比为1：3，不符合题意， 当直线l斜率存在时，设为，则此时方程为：， 因为直线与点和点的距离之比为1：2， 所以有，或， 即，或，即，或， 故选：C （线线距） 20.若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ） A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 【答案】A 【详解】因为两直线：，：平行， 可得且，解得或， 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，符合题意； 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去. 故选：A. 21．已知直线和，若直线l到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线l的方程为______． 【答案】或 【分析】设直线的方程为 (c≠-2且c≠-9)，利用两平行线间的距离公式列方程即可求得. 【详解】直线可化为，所以，且直线l与直线l1与l2平行,所以设直线的方程为 (c≠-2且c≠-9). 由题意可得：，解得：或， 故直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式】若直线l与其平行直线之间的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是______． 【答案】 【分析】设直线l的方程为，由点到直线距离公式和平行直线距离公式由条件列方程求即可. 【详解】根据题意，设直线l的方程为， 因为直线l与直线的距离和原点到直线l的距离相等， 所以，解得， 故直线l的方程为． 故答案为：. 【题型三 与距离有关的最值问题】 （点点距） 22．设的最小值为_______. 【答案】 【分析】已知的式子可以看成点到点和距离的和，则其最小值就是点和距离，从而可求得答案 【详解】从几何意义看， +表示点到点和距离的和， 其最小值为和两点间的距离. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题是函数最值问题，但很巧妙的使用了两点距离公式从而化为几何最值问题.平面上的两点间的距离，若给两点坐标我们用此公式很容易得到两点距离，若给了能够联想到两点距离公式，这里就提醒我们在掌握知识的“直用”也要会“逆用”. 23．求函数的最小值 ． 【答案】 【分析】化简，转化为到点距离之和，结合对称法，即可求解． 【详解】由题意，函数 ， 根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和， 如图所示，作出点关于的对称点， 连接，交轴于点，连接， 可得 又由， 当且仅当点与重合时，等号成立， 所以，即函数的最小值为． 【变式】求函数的最小值为___________. 【答案】5 【分析】将函数式表示为点点距的形式，可转化为求距离之和的最小值，从而求出答案. 【详解】解：函数 表示轴上动点到和的距离和，当 为与轴的交点时，函数取最小值， 故答案为：5 （点线距） 24．直线，为直线l上动点，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据点到直线的距离即可求解. 【详解】可看成是直线上一点到点的距离的平方，当时，距离最小.故点到直线的距离为，所以的最小值为 故答案为： 25．点到直线的距离的最大值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】首先求出直线过定点，则时距离最大，再利用两点间的距离公式计算可得； 【详解】解：直线过定点，当时，距离最大，最大为， 故选：D. 【变式】已知直线方程为. (1)求直线所过的定点坐标； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值. 【解题思路】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值，并求出垂直时即可． 【解答过程】（1）由直线方程得 ， 因为，所以，解得， 所以直线恒过定点； （2）由（1）知，直线恒过定点， 则直线与已知直线垂直时，点到已知直线距离最大， 可知就是所求最大值， 直线的方程为，即， 因为直线与已知直线垂直， 所以，解得； 且. （线线距） 26．若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为________． 【答案】 【分析】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，结合点到直线的距离公式可求． 【详解】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为， 则到原点距离最小值为原点到的距离， 设直线， 则， 解得， 所以， 根据点到直线的距离公式可得，到原点的距离的最小值为． 故答案为：． 27．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【详解】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故选：C． 【变式】两条互相平行的直线分别过点和，并且各自绕着点A，B旋转，且旋转过程中两直线始终保持平行．若这两条平行直线间的距离为d，则d的取值范围是________；当d取最大值时，这两条直线的方程分别为________． 【答案】          和 【分析】利用两直线平行垂直的性质即可求解距离的最大值，根据点斜式即可求直线方程. 【详解】由题意知当两条平行直线与直线AB垂直时，d取得最大值，为，故d的取值范围是． 当d取最大值时，，则所求直线的斜率为， 故所求直线的方程分别为和，即和． 故答案为：，和 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $