15.2.2用坐标表示轴对称 课件-2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 15.2.2用坐标表示轴对称 第十五章 轴对称 授课教师： 阿老师 . 班 级： 托克逊县第一中学8（11）班 . 时 间： 2025.10 . 通过总结轴对称变换引起的点的坐标变化规律，培养观察、归纳的能力. 掌握点或图形的轴对称变换引起的点的坐标的变化规律，能利用这种变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形. 学习目标 如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y轴建立平面直角坐标系.根据如图所示的东直门的坐标（3.5，4），你能说出西直门的坐标吗？ 情景导入 探究新知 关于坐标轴对称的点的坐标规律 探 究 在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，把它们的坐标填入表格中． 已知点 A(2, – 3) B(– 1, 2) C(– 6, – 5) D(, 1) E(4, 0) 关于 x 轴的对称点 A'(__,__) B'(__,__) C'(__,__) D'(__,__) E'(__,__) 关于 y 轴的对称点 A''(__,__) B''(__,__) C''(__,__) D''(__,__) E''(__,__) 探究新知 已知点 关于 x 轴的对称点 A(2, –3) A'(__,__) B(–1, 2) B'(__,__) C(–6, –5) C'(__,__) D(, 1) D'(__,__) E(4, 0) E'(__,__) x y 1 1 O A(2, –3) B(–1,2) C(–6, –5) E(4,0) A′(2,3) B′(–1, –2) C′(–6,5) D( ,1) D′( , –1) E′(4,0) 先看关于 x 轴的对称点： 2 3 –1 –2 –6 5 4 0 –1 探究新知 先看关于 x 轴的对称点： 关于 x 轴对称的两点，其横坐标有什么关系？纵坐标有什么关系？ 关于 x 轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数. (x，y) (x，–y) 关于 x 轴对称 x y 1 1 O A(2, –3) B(–1,2) C(–6, –5) E(4,0) A′(2,3) B′(–1, –2) C′(–6,5) D( ,1) D′( , –1) E′(4,0) 探究新知 已知点 关于 y 轴的对称点 A(2, –3) A'(__,__) B(–1, 2) B'(__,__) C(–6, –5) C'(__,__) D(, 1) D'(__,__) E(4, 0) E'(__,__) x y 1 1 O A′(–2, –3) B′(1, 2) C′(6,–5) D′(– , 1) E′(–4,0) 再看关于 y 轴的对称点： –2 –3 1 2 6 –5 –4 0 1 – A(2, –3) B(–1,2) C(–6, –5) E(4,0) D( ,1) 探究新知 再看关于 y 轴的对称点： 关于 y 轴对称的两点，其横坐标有什么关系？纵坐标有什么关系？ 关于 y 轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等. (x，y) (–x，y) 关于 x 轴对称 x y 1 1 O A′(–2, –3) B′(1, 2) C′(6,–5) D′(– , 1) E′(–4,0) A(2, –3) B(–1,2) C(–6, –5) E(4,0) D( ,1) 探究新知 归 纳 点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)； x –y –x y 点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___). 再找几个点，分别画出它们关于 x 轴和 y 轴的对称点，检验一下你发现的规律. 探究新知 针对训练 教材P75练习 第1题 1. 分别写出下列各点关于 x 轴和 y 轴对称的点的坐标： (2，6) 关于 y 轴对称 (–1，–2) (–1，3) (4，–2) (–1，0) (–2，–6) 关于 x 轴对称 (1，2) (1，–3) (–4，2) (1，0) (–2，6)，(1， –2)，(1，3)，(–4，–2)，(1，0). 探究新知 针对训练 教材P75练习 第2题 2.如图，△ABO 关于 x 轴对称，点 A 的坐标为 (1，–2)，写出点 B 的坐标. x y 1 1 O 2 3 2 3 –2 –1 –2 –1 –3 A(1，–2) B 答：B (1，2) （1，2） 探究新知 2. 绘制关于坐标轴对称的图形 例2 如图，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A (–5，1)，B (–2，1)，C (–2，5)，D (–5，4)， 画出与四边形 ABCD 关于 y 轴对称的图形. x y O 2 3 2 3 –2 –1 –2 –1 –3 4 5 1 1 –4 –3 –5 –4 –5 4 5 A B C D 探究新知 教材P74例题 x y O 2 3 2 3 –2 –1 –2 –1 –3 4 5 1 1 –4 –3 –5 –4 –5 4 5 A B C D 点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(– x，y)，因此四边形 ABCD 的顶点 A，B，C，D 关于 y 轴对称的点分别为： A′( ， )， B′( ， )， C′( ， )， D′( ， ). A′(5，1) B′(2，1) D′(5，4) C′(2，5) 5 1 2 1 2 5 5 4 探究新知 教材P74例题 x y O 2 3 2 3 –2 –1 –2 –1 –3 4 5 1 1 –4 –3 –5 –4 –5 4 5 A B C D A′(5，1) B′(2，1) D′(5，4) C′(2，5) 依次连接 A′B′，B′C′，C′D′ ，D′A′，就可得到与四边形 ABCD 关于 y 轴对称的四边形 A′B′C′D′ . 类似地，请你画出与四边形 ABCD 关于 x 轴对称的图形 探究新知 教材P74例题 x y O 2 3 2 3 –2 –1 –2 –1 –3 4 5 1 1 –4 –3 –5 –4 –5 4 5 A B C D A′(5，1) B′(2，1) D′(5，4) C′(2，5) 点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(– x，y)，因此四边形 ABCD 的顶点 A，B，C，D 关于 y 轴对称的点分别为： A′′( ， )，B′'( ， )， C′'( ， )，D′'( ， ). –5 –1 –2 –1 –2 –5 –5 –4 A'′(–5,–1) B'′(–2,–1) D'′(–5,–4) C'′(–2,–5) 探究新知 教材P74例题 x y O 2 3 2 3 –2 –1 –2 –1 –3 4 5 1 1 –4 –3 –5 –4 –5 4 5 A B C D A′(5，1) B′(2，1) D′(5，4) C′(2，5) 依次连接 A′′B′′，B′′C′′，C′′D′′，D′′A′′，就可得到与四边形 ABCD 关于 x 轴对称的四边形 A′′B′′C′′D′′ . A'′(–5,–1) B'′(–2,–1) D'′(–5,–4) C'′(–2,–5) 探究新知 1 找：在平面直角坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点，写出它们的坐标； 2 求：求出这些特殊点的对称点的坐标； 3 描：根据所求坐标，描出对称点； 归纳：在平面直角坐标系中画轴对称图形 4 连：连接这些对称点. 探究新知 解：如图所示. 教材P75练习 第3题 3. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于 x 轴和 y 轴对称的图形. x y 1 1 O 2 3 4 2 3 –1 –2 –3 –4 –1 –2 –3 C(–3,2) A(–4,1) B(–1,–1) C′′(3,2) A′′(4,1) B′′(1, –1) C′(–3, –2) A′(–4, –1) B′(–1,1) 探究新知 1. 如图，将各图形补成关于直线 l 对称的图形. 【教材P75习题15.2 第1题】 课堂练习 2. 在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称 . 【教材P75习题15.2 第2题】 课堂练习 3. 如图，以正方形 ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系 . 点 A 的坐标为（1，1），写出点 B，C，D 的坐标. 【教材P76习题15.2 第3题】 解：点 B（–1，1），点 C（–1，–1）， 点 D （1，–1）. 课堂练习 4. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特 点，分别画出△ABC 关于 x 轴和 y 轴对称的图形 . 【教材P76习题15.2 第4题】 解：作图如图所示， △AB1C1 与△ABC 关于 y 轴对称， △A2B2C2 与△ABC 关于 x 轴对称. 课堂练习 5. 根据下列点的坐标的变化，判断它们进行了怎样的变化 . （1）(–1，3) → (–1，–3) ； （2）(–5，–6) → (–5，–1) ； （3）(3，4) → (–3，4) ； （4）(–2，3) → (2，–3) . 【教材P76习题15.2 第5题】 综合运用 关于 x 轴对称. 答案不唯一 向上平移5个单位长度. 关于 y 轴对称. 先关于 x 轴对称，再关于 y 轴对称. 课堂练习 6.如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的 方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点 . 如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹 . 【教材P76习题15.2 第6题】 课堂练习 解：用坐标描述这个运动为 (3，0) → (0， 3) → (1，4) → (5，0) → (8，3) → (7，4) → (3，0) ； 其中关于直线 l 对称的点有 (3，0) 与 (5，0)，(0，3) 与 (8，3)，(1，4) 与 (7，4) . 起始点位于 (1，0 )处时，小球运动的轨迹如图所示. 课堂练习 7. 如图，已知点 A，B，C，请你再找一个点 D，使 A，B，C，D 四点构成一个轴对称图形 . 这样的点 D 有几个？ 【教材P76习题15.2 第7题】 解：如图，这样的格点 D 有 2 个. D1 D2 课堂练习 8. 如图，分别作出△PQR 关于直线 m (直线 m 上各点的横坐标都为 1) 和直线 n (直线 n 上各点的纵坐标都为 –1)对称的图形. 它们的对称点的坐标之间分别有什么关系？ 【教材P77习题15.2 第8题】 拓广探索 课堂练习 解：如图. 在平面直角坐标系中，△PQR 与△P1Q1R1 关于直线 m 对称， △PQR 上的点(x，y)与△P1Q1R1 上的对应点(x1，y1)的关系为 x1 = –x + 2，y1 = y. 课堂练习 △PQR 与△P2Q2R2 关于直线 n 对称， △PQR 上的点(x，y)与△P2Q2R2 上的对应点(x2，y2)的关系为 x2 = x，y2 = –y – 2. 课堂练习 1. 教材练习 在平面直角坐标系中，若点 关于 轴对称的点的坐标是，则点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 2. ［2024雅安］在平面直角坐标系中，将点 向右平 移2个单位长度后，得到的点关于 轴的对称点的坐标是 ( ) B A. B. C. D. 返回 30 3. 小红同学误将点的横、纵坐标次序颠倒，写成 ， 另一学生误将点的坐标写成关于 轴对称的点的坐标，写成 ，则， 两点原来的位置关系是( ) A A. 关于轴对称 B. 关于 轴对称 C. 点和 重合 D. 以上都不对 4.［2025德阳期中］已知点与点关于 轴 对称，则 的值为____. 返回 31 5. 如图是蜡烛平面镜成 像原理图，若以桌面为 轴，镜面侧面 为 轴（镜面厚度忽略不计）建立平面 直角坐标系，若某刻火焰顶尖 点的坐 6.已知点到轴、轴的距离分别是4和5，且点关于 轴对 称的点在第四象限，则点 的坐标是_________. 标是，此时对应的虚像的坐标是，则 的值 为____. 返回 32 7. 在如图的 直角坐标系中，每个小方格都是边 长为1个单位长度的正方形， 的三个顶点都在格点上 （每个小方格的顶点叫格点），点 的坐标为 . 33 （1）请画出关于轴对称的（其中，， 分别是，， 的对应点）； 【解】如图所示， 即为所求. （第7题） 34 （2）写出,, 三点的坐标：_________ ____________________. ，， （3）若在轴上有一点，使得 的值最小，请画出点 的位置. 如图所示，点 即为所求. 返回 35 8. 已知点关于 轴的对称点在第一象限，则 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 36 9. 剪纸是中国最 古老的民间艺术之一.如图是一张蕴含着 轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点 对称， 点与点 对称，将其放置在直角坐标系 A A. B. C. D. 中，点，，的坐标分别为，，，则点 的 坐标为( ) 返回 37 10. 点 的横坐标为一元一次方程 的解，纵坐标为的值，其中， 满足 二元一次方程组 则点关于轴的对称点 的坐标为_________. 返回 38 11.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为 .若 是关于直线对称的轴对称图形，则点 的坐标为 __________. 返回 39 用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特征 在坐标系中作已知图形的对称图形 关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同 关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确画出对称点的位置 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $