15.1.2.2线段的垂直平分线的有关作图 课件-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦轴对称与线段垂直平分线，通过教材习题系统展开，从基础图形识别（如判断轴对称图形）到性质应用（如利用对称求角度边长）、尺规作图（作垂直平分线、对称轴），再到综合实践（如公共汽车站选址），构建递进式学习支架。 其亮点在于结合生活实例（发射塔位置设计）培养数学眼光，通过严谨推理（如证明EB=EC）发展数学思维，以规范作图步骤（作线段垂直平分线）强化数学语言。课堂小结清晰梳理重点，分层作业满足不同需求，助力学生夯实基础，也为教师提供高效教学支持。

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 15.1.2.2线段的垂直平分线的有关作图 第十五章 轴对称 授课教师： 阿老师 . 班 级： 托克逊县第一中学8（11）班 . 时 间： 2025.10 . 有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ A B C A ′ B ′ C ′ 通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称图形. 问题1： 学生活动一 【一起探究】 情景导入 1. 作线段的垂直平分线 1. 如果点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，那么我们能画出线段 AB 的垂直平分线吗？为什么？ A B M N 可以. 如图，过点 M，N 画一条直线，这条直线就是线段 AB 的垂直平分线. 理由：因为点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线． 探究新知 1. 作线段的垂直平分线 2. 如何用直尺和圆规找出像 M，N 这样的点？说说你的想法. A B M N 用圆规画出到 A，B 两点距离相等的点即可. 3. 用直尺和圆规作出线段 AB 的垂直平分线. 探究新知 1. 作线段的垂直平分线 A B (1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD. CD 就是线段 AB 的垂直平分线. C D 也可以用这种方法确定线段的中点 中点 探究新知 2. 作对称轴 学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了. 任意找一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 1. 如果两个图形成轴对称，怎样作出对称轴？　　　 A A' l 探究新知 2. 作对称轴 任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴. 2. 对于轴对称图形，怎样作出对称轴？　　　 试着作出这个五角星的其他对称轴. A A' l 探究新知 1 找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键都是找出图形中的任意一对对称点； 2 连：连接这对对称点； 3 作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴． 利用线段的垂直平分线的作法画对称轴： 探究新知 针对训练 教材P69练习 第1题 1. 作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 探究新知 （1） （2） （3） （4） 针对训练 教材P69练习 第2题 2. 如图，与图形（1）成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴. 探究新知 2. 作对称轴 教材P68例题 例 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C . 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. A B C 分析：假设所求作直线已经作出， 则它不仅过点 C 与直线 AB 垂直，而且是连接 AB 上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线. 先确定这两点 在直线 AB 上且与点 C 的距离相等即可 探究新知 教材P68例题 A B C 作法：如图. (1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E. E D 由(1)可知，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上. 因而再作出与 D，E 距离相等的另一点 F，就能得到线段 DE 的垂直平分线． 探究新知 教材P68例题 (2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F. (3)作直线 CF. A B C 直线 CF 就是所求作的垂线. E D F 探究新知 针对训练 尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 . 教材P69练习 第3题 解：已知：直线 AB 和 AB 上一点 C(如图). 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. A B C 课堂练习 针对训练 教材P69练习 第3题 作法：如图. (1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E； (2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F； (3)作直线 CF. 直线 CF 就是所求作的垂线. A B C E D F 课堂练习 1. 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴 . 【教材P69习题15.1 第1题】 复习巩固 不是轴对称图形. 课堂练习 2. 图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？如果把 4 个三角形看成一个整体，它是轴对称图形吗？共有几条对称轴？ 【教材P69习题15.1 第2题】 解：有阴影的三角形与三角形 1、三角形 3 都成轴对称. 整个图形是轴对称图形，它共有 2 条对称轴. 课堂练习 3. 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称，∠B = 90°，A′B′= 6. 求∠B′的度数和AB的长 . 【教材P70习题15.1 第3题】 解：∵△ABC和△A'B'C' 关于直线 l 对称， ∴△ABC≌△A'B'C'. ∴∠B' =∠B = 90°， AB = A'B' = 6. 课堂练习 4. 如图，△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3，△ABD 的周长为 13. 求△ABC 的周长 . 【教材P70习题15.1 第4题】 解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴DA = DC，AC = 2AE = 2×3 = 6. ∵△ABD 的周长为 13， ∴AB + BD + DA = 13. ∴AB + BC + AC = AB + BD + DC + AC = AB + BD + DA + AC = 13 + 6 = 19， ∴△ABC的周长为19. 课堂练习 5. 如图，AB = AC，DB = DC，点 E 在 AD 上 . 求证 EB = EC. 【教材P70习题15.1 第5题】 证明：如图，连接 BC. ∵AB = AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上. ∵DB = DC， ∴点 D 也在线段 BC 的垂直平分线上. ∴直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线. 又点 E 在 AD 上，∴EB = EC. 课堂练习 6. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题 . 这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行； 【教材P70习题15.1 第6题】 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 该逆命题成立. 课堂练习 （2）如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等. 该逆命题不成立. 逆命题：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等. 该逆命题成立. （3）全等三角形的对应边相等 . 课堂练习 7. 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，作出它的一条对称轴 . 【教材P70习题15.1 第7题】 综合运用 不是轴对称图形. 课堂练习 8. 如图，AD与BC相交于点O，OA = OC，∠A = ∠C，BE = DE. 求证：OE垂直平分BD. 【教材P70习题15.1 第8题】 课堂练习 证明：在△AOB 和△COD 中， ∠A =∠C， OA = OC， ∠AOB = ∠COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）. ∴OB = OD. ∴点 O 在线段 BD 的垂直平分线上. ∵BE = DE，∴点 E 也在线段 BD 的垂直平分线上. ∴OE 是线段 BD 的垂直平分线. ∴OE 垂直平分 BD. 课堂练习 9. 如图，分别以线段 a，c 为一直角边和斜边，作直角三角形 . 【教材P71习题15.1 第9题】 解：如图，△ABC就是所求作的直角三角形. 课堂练习 10. 如图，某地由于居民增多，要在公路 l 上增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？ 在图上标出它的位置 . 【教材P71习题15.1 第10题】 解：如图，这个公共汽车站应建在 A，B 连线的垂直平分线与公路 l 的交点 C 处. 课堂练习 11. 如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，对应线段 AB 和 A′B′所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴 l 有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴 l 有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？ 【教材P71习题15.1 第11题】 课堂练习 解：对应线段 AB 和 A'B' 所在的直线相交，对应线段 BC 和 B'C' 所在的直线也相交，交点均在对称轴 l 上； 对应线段 AC 和 A'C' 所在的直线不相交，且这组对应线段所在直线与对称轴 l 平行. 规律：两个图形关于某条直线对称，它们的对应线段所在直线如果相交，那么交点一定在这条对称轴上；如果不相交，对应线段所在直线重合或与对称轴平行. 课堂练习 12. 如图，电信部门要在 S 区修建一座电视信号发射塔 . 按照设计要求，发射塔与两个城镇 A，B 的距离相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也相等 . 发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置 . 【教材P71习题15.1 第12题】 拓广探索 解：发射塔应修建在 AB 的垂直平分线与 m 和 n 所夹锐角的平分线的交点处. 如图，点 P 即为符合条件的发射塔修建处. 课堂练习 13. 如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P. 【教材P71习题15.1 第13题】 （1）求证 PA = PB = PC. （2）点 P 是否也在边 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 课堂练习 证明：（1）证明：∵边 AB，BC 的垂直平分线交于点 P，∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. ∴PA = PB. 同理，PB = PC. ∴PA = PB = PC. （2）解：由（1）知 PA = PC， ∴点 P 也在边 AC 的垂直平分线上. 由此可得出结论： 三角形三边的垂直平分线交于一点. 课堂练习 知识点1 作线段的垂直平分线 1.如图，已知线段.利用直尺和圆规作 的垂直平分线，步骤如 下：①分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧相交于点， ；② 作直线，直线就是线段的垂直平分线.则 的值可能是( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 返回 考试考法 33 2.如图，下列每组的两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴. 解：如图. 返回 考试考法 34 知识点2 过直线外一点作已知直线的垂线 3.［2024河北中考改编］观察图中尺规作图的痕迹，可得 一定是 的( ) B A.角平分线 B.高线 C.边的垂直平分线 D.中线 返回 考试考法 35 4.如图，已知，求作 边上的高.（尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹） 解：如图， 即为所求. 返回 考试考法 36 （第5题） 5.如图，在中， ，以点 为圆 心，长为半径作弧，交于点，分别以， 为 圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点 ，作 射线交于点， ，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 37 （第6题） 6.［2024眉山中考］如图，在 中， ，，分别以点，点 为圆心， 大于的长为半径作弧，两弧交于点， ，过 点，作直线交于点，连接，则 的 周长为( ) C A.7 B.8 C.10 D.12 返回 考试考法 38 作线段的 垂直平分线 作对称轴 过直线外一点作这条直线的垂线 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $