15.1.2.1线段的垂直平分线的性质和判定 课件-2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 15.1.2.1线段的垂直平分线的性质和判定 第十五章 轴对称 授课教师： 阿老师 . 班 级： 托克逊县第一中学8（11）班 . 时 间： 2025.09 . 1.通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题，培养学生解决问题的能力. 2.学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力. 学习目标 线段的垂直平分线的定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 情景导入 情境导入 中兴公园附近有两个小区，现在要在建一座商场，要求从商场到两个小区的距离差不多，请问该商场要建在哪里才能符合要求？ 商场 情景导入 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？ 1.线段的垂直平分线的性质 探 究 A B l P1 P2 P3 P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 探究新知 如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B，P2A 与 P2B，P3A 与 P3B··· 都重合吗？它们都分别相等吗？ A B l P1 P2 P3 都重合，都分别相等. 探究新知 猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．” 　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 　　求证：PA =PB． A B P C l 猜想与证明 探究新知 用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB． 证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC， 　　 ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　 ∴ PA =PB． A B P C l 探究新知 几何语言： ∵直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上， ∴PA = PB. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的性质 A B l P C 探究新知 教材P67练习 第1题 如图，AD⊥BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？ A B E D C 探究新知 教材P67练习 第1题 解：AB = AC = CE，AB + BD = DE. 理由： ∵AD⊥BC，BD = DC， ∴AD 是 BC 的垂直平分线. ∴AB = AC. 又点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴AC = CE. ∴AB = AC = CE. 又 BD = DC， ∴AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE. A B E D C 探究新知 2.线段垂直平分线的判定 思 考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 已知：如图，在△ABP 中 PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 猜想：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 A B P 探究新知 证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C．则∠PCA =∠PCB = 90°． 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， ∵PA = PB，PC = PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)． ∴AC = BC． 又 PC⊥AB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． A B P C 探究新知 A B P C 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 【点击打开几何画板文件】 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 几何语言： ∵ PA = PB， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. 探究新知 针对训练 2. 如图，AB = AC，MB = MC. 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？ 教材P67练习 第2题 A B M C 解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 理由：∵AB = AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上. ∵MB = MC， ∴点 M 也在线段 BC 的垂直平分线上， ∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 探究新知 名称 角平分线 线段垂直平分线 图示 性质 判定 C A B O D E P A B P C 角平分线上的点到角两边的距离相等 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 探究新知 3. 互逆命题与互逆定理 思 考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 探究新知 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 线段的垂直平分线的性质与判定 “对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角” 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 两个命题的题设、结论正好相反. 探究新知 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 线段的垂直平分线的性质与判定 角的平分线的性质与判定 “两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” ······ 探究新知 教材P67练习 第3题 3. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1) 两直线平行，同位角相等； (2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3) 全等三角形的对应角相等 . 同位角相等，两直线平行. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等. 成立 不成立 不成立 课堂练习 知识点1 线段的垂直平分线的性质 1.如图，已知是线段的垂直平分线，是 上的一点，若 ，则 的长为______. （第1题） 返回 考试考法 21 （第2题） 2.［2024镇江中考］如图，的边 的垂 直平分线交于点，连接.若 ， ，则 ___. 3 3.［教材习题 变式］［2025广州越秀区期末］如图， 在中，线段的垂直平分线分别交，于点 ， ，连接，若，，则 的周长为 ( ) C A.19 B.20 C.21 D.22 返回 考试考法 22 4.如图，在中，边的垂直平分线 分别交,于点，,边 的垂直平分线 分别交，于点，，已知 的 周长为，求 的长. 解：是的垂直平分线，是 的垂直平分线， ， . 的周长为 ， ， ，即 . 返回 考试考法 23 知识点2 线段的垂直平分线的判定 5.如图，点是内的一点，若 ，则( ) D A.点在 的平分线上 B.点在 的平分线上 C.点在边 的垂直平分线上 D.点在边 的垂直平分线上 返回 考试考法 24 6.［教材习题变式］如图，在 中， ，的垂直平分线，相交于点.求证：点 在 的垂直平分线上. 证明：连接，， . 是的垂直平分线， . 是 的垂直平分线， ， . 点在 的垂直平分线上. 返回 考试考法 25 知识点3 逆命题与逆定理 7.命题“锐角小于 ”的逆命题是( ) A A.小于 的角是锐角 B.不是锐角的角不小于 C.不小于 的角不是锐角 D.如果一个角是锐角，那么这个角小于 返回 考试考法 26 8.下列命题的逆命题是真命题的是( ) C A.若两个角是直角，则它们相等 B.若，则 C.两直线平行，同位角相等 D.对顶角相等 返回 考试考法 27 9.下列定理中，有逆定理的是( ) C A.同角的余角相等 B.互为相反数的两个数的绝对值相等 C.直角三角形的两锐角互余 D.全等三角形的对应角相等 返回 考试考法 28 10. 如图，在足球场内，，， 表示三个足球运动员， 为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员 的距离相等，则足球应放置在( ) C A.， 两边高线的交点处 B.， 两边中线的交点处 C.， 两边垂直平分线的交点处 D.， 两内角平分线的交点处 返回 考试考法 29 11.下列命题：①若，则；②若，则 ； ③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；④同旁内角互补，两 直线平行.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 考试考法 30 （第12题） 12.［2025徐州期末］如图，在中， 的垂直 平分线交于点，交于点.若 ， 的周长为8，则 的周长为( ) C A.11 B.13 C.14 D.19 （第13题） 13.［教材P练习T 变式］如图， ，，点在 的垂直平分 线上.若，，则 的长为___. 8 返回 考试考法 31 14.如图，已知，，垂足分别为，，与 交于 点，，是的中点，连接 .求证： 考试考法 32 （1） ； 证明：， , . 在与 中， . . 考试考法 33 （2）线段所在的直线是线段 的垂直平分线. [答案] 在与 中， . 点在线段 的垂直平分线上. 是的中点， . 点在线段的垂直平分线上. 线段所在的直线是线段 的垂直 平分线. 返回 考试考法 34 线段的垂直平分线 性质 互逆命题、互逆定理 判定 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $