2.3直线交点坐标与距离公式课后专练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课后训一直线交点与距离 日期：2025. 时长：45-60分钟/次 【题组一直线交点问题】 (交点坐标及求参) 1.已知直线1：x-2y+3=0,12:2x+3y-8=0. (1)求经过点A1,4)且与直线12垂直的直线方程； (2)求经过直线1与2的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 2.已知直线x一ky-3k+1=0与x+2y-2=0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为() A.(,1】 B.（-2,寺) C.(-∞，-2)U(年，+∞)D. (-∞，-2)U(1,+∞) (过两直线交点的直线系方程) 3.过直线x+y+1=0与2x-y-4=0的交点，且一个方向向量7=(-1,3)的直线方程为() A.3x+y-1=0B.x+3y-5=0C.3x+y-3=0 D.x+3y+5=0 第1页 (三线围成三角形问题) 4.(多选)若三条不同的直线1：mx+2y+m+4=0,12:X-y+1=0,13:3x-y-5=0能围 成一个三角形，则m的取值不可能为() A.-2 B.-6 C.-3 D.1 (直线交点与方程解关系) 5.(多选)下列命题中是真命题的是() A.“x>1”是“x2>1"的充分不必要条件 B.命题“vx≥0，都有sinx≤1"的否定是xo>0,使得sinx0>1” C.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是x<-1或x>4 (3x-2y+1=0 D.当a=-3时，方程组a2x-6y=a有无穷多解 【题组二对称问题】 (关于点对称) 6.直线2x+3y-6=0关于点(1,1)对称的直线方程为() A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D. 2x+3y-4=0 第2页 (关于线对称) 7.点P(2,3)关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为() A.(-3,-2)B.(-2,-3)C.(-5,-4) D.(-4,-5) 8.已知直线：x-y-1=0,1:x-y+3=0,l2:2x-y-1=0. (1)求直线1关于直线的对称直线1的方程；(2)求直线2关于直线1的对称直线12的方程. 9.已知△ABC中，B1,2),BC边上的高线AD方程为x-2y+1=0,角A平分线方程为y=0,求 AC,BC边所在直线方程. 第3页 (反射光线问题) 10.己知光线从点A(-2,1)射出，经直线2x-y+10=0反射，且反射光线所在直线过点 B(-8,一3)，则反射光线所在直线的方程是() A.x-3y-1=0B.3x-y+21=0C.x+3y+17=0 D 3x+y+15=0 11.一条光线沿直线2x一y+1=0入射到直线x+y-5=0后反射，则反射光线所在的直线方程 为() A.4x+y-9=0 B.x-2y+6=0C.x-y+3=0 D. x+4y-9=0 【题组三求距离】 第4页 12.直线1：3ax-y-2=0和直线l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A和B,则AB=一 13.己知点A-2,1),B(3,2),C(7,-5),则点B到直线AC的距离为() A.3 B.V26 c.3 D.√26 2 2 14.已知直线1：x+3y+a十3=0和12：x+(a-2)y+2=0:若两直线平行，则两直线间的距 离为 【题组四根据距离求参数】 15.已知A(-1,2),B(0,4),点C在x轴上，且4C=BC,则点C的坐标为 16.已知A(-2,0),B(4,a)两点到直线：3x-4y+1=0的距离相等，则a=() 第5页 A.2 B. C.2或-8 D.2或 2 17.过点P(1,1)引直线，使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等，则该直线的方程是（） A.4x+y-5=0 B.x+4y-5=0 C.x+y-2=0或4x+y-5=0 D.x+y-2=0或x+4y-5=0 18.已知直线1到两条平行直线2x+y+1=0与2x+y+3=0的距离相等，则直线1的方程为 【题组五与距离有关的最值问题】 19.函数f(x)=Vx2+2x+5+Vx2-6x+10的最小值是 第6页 20.己知动点M(a,b)在直线3x+4y+10=0上，则√a2+b2的最小值为 21.直线1：x+my-m+2=0(m∈R)过定点 ,原点到直线1的距离的最大值为 22.设点P,Q分别为直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0上的任意一点，则川PQ的最小值 为() A.1 B.2 c.0 D.若 23.已知斜率存在的两直线11与12直线11经过点(0,3)，直线12过点(4,0)且11//12 (1)若11与12距离为4，求两直线的方程： (2)若11与12之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程。 第7页 课后训—直线交点与距离- 日期：2025. 时长：45-60分钟/次 【题组一 直线交点问题】 （交点坐标及求参） 1．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 2．已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. （过两直线交点的直线系方程） 3．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【详解】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. （三线围成三角形问题） 4．（多选）若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合若或或重合时，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由直线， 若或重合时，则满足，解得； 若或重合时，则满足，解得； 若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形， 联立方程组，解得，即交点， 将点代入直线，可得，解得. 故选：ABC. （直线交点与方程解关系） 5．（多选）下列命题中是真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．不等式成立的一个必要不充分条件是或 D．当时，方程组有无穷多解 【答案】AD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可判断A，C；根据全称命题的否定是变量词否结论可判断B；根据两直线重合可得方程组有无穷多解可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由可得，由可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项A正确； 对于B：命题“，都有”的否定是“，使得”，故选项B不正确； 对于C：由可得：或， 因为或是集合或的真子集， 所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故选项C不正确； 对于D：当时，方程组即，两直线重合，有无穷多解，故选项D正确； 故选：AD. 【题组二 对称问题】 （关于点对称） 6．直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. （关于线对称） 7．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【解答过程】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 8．已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【解题思路】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【解答过程】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 9．已知中，，边上的高线方程为，角A平分线方程为，求，边所在直线方程． 【答案】：，： 【分析】由的斜率求出的斜率，利用点斜式求出的方程，依题意与关于轴对称，设，又点A在直线上，代入求出，即可求出直线的方程，从而求出直线的方程． 【详解】因为边上的高线所在直线的方程为， 则，．边所在直线方程为． 即． 的平分线所在直线方程为，则与关于轴对称，设． 又点在直线上，，．， 点的坐标为． 直线方程为：．即， 又与关于轴对称， 所以直线的方程为， 所以直线的方程为：，直线的方程为：．    10.已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 11．一条光线沿直线入射到直线后反射， 则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据反射光线过已知直线的交点以及入射光线上的点与反射光线上的点关于对称即可求解. 【解答过程】联立解得，所以反射光线过点， 取直线上一点关于对称的点为， 则有解得， 所以反射光线过点和，则反射光线的斜率， 根据点斜式得，即， 故选:B. 【题组三 求距离】 12．直线和直线分别过定点和，则|________． 【答案】 【分析】求出直线、所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点， 将直线的方程变形为， 由，可得，即点， 所以，. 故答案为：. 13.已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解. 【详解】根据题意，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为. 故选：C. 14．已知直线和．若两直线平行，则两直线间的距离为 ． 【答案】 (2) 【分析】由直线一般方程的平行公式，求得a=−1，再由平行线的距离公式，即得解. 【解答】解：据题意有：，解得a＝3或a＝－1； 当a＝3时，两直线重合，故舍去；所以a＝－1； 此时，； 则两直线间的距离为. 【题组四 根据距离求参数】 （点点距） 15.已知，点在轴上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点C在x轴上，设点，则， 所以， 化简可得：，所以. 故选：D. （点线距） 16.已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 17.过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求解即可. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等 得，解得或，即直线方程为或. 故选：C. （线线距） 18．已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为__________． 【答案】 【分析】由平行直线系设直线的方程，由平行线间的距离公式列式求解即可． 【详解】解：依题意设直线的方程为，， 则，即，解得， 所以直线的方程为． 故答案为： 【题组五 与距离有关的最值问题】 （点点距） 19．函数的最小值是_____________. 【答案】5 【详解】解：因为 ， 设，，，则表示点到点，两点的距离之和，即， 点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则， 所以，所以的最小值是. 故答案为： （点线距） 20.已知动点在直线上，则的最小值为_________. 【答案】2 【详解】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 21．直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________. 【答案】 【分析】将化为可得直线所过定点； 由第一空答案结合图形，可得原点到直线l的距离的最大值. 【详解】由可得，则， 得，故l过定点；如图，设定点为A，当时，原点到直线l的距离的最大.理由如下：设为过A点的除l外的一条直线，其到原点距离如图为， 因为直角三角形，则.故当且仅当时，原点到直线l的距离的最大.此时最大距离为. 故答案为：；. （线线距） 22.设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【解题思路】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可. 【解答过程】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 23．已知斜率存在的两直线与，直线经过点，直线过点，且． (1)若与距离为4，求两直线的方程； (2)若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程． 【答案】(1)， (2)最大距离为5，， 【分析】（1）设直线的斜率为，然后得出的一般式方程，然后由条件可建立方程求解； （2）当与经过、的直线垂直时，距离最大，然后可算出答案. (1) 由与的斜率都存在，设直线的斜率为，得的方程， 即．同理可得的方程，即． 在直线上取点，则点到直线的距离， ，． ，． (2) 当与经过、的直线垂直时，距离最大， 此时斜率，最大距离为5， ，． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $