专题04 圆锥曲线（期中真题汇编，广西专用）高二数学上学期人教A版

专题04 圆锥曲线 高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03抛物线 考点04 解答题 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 5．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．1 D．2 8．(24-25高二上·广西合浦县·期中)阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为(    ). A． B．2 C． D． 9．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二下·广西来宾高级中学·开学考)已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 11．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 13．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 16．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 二、多选题 17．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为12 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 18．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若椭圆的离心率越趋近于0，椭圆越接近于圆 C．若点分别为椭圆的左､右焦点，直线l过点且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 D．若点分别为椭圆的左､右顶点，点P为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为. 19．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知分别为椭圆的左、右焦点，若点分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上一动点，下列结论中正确的有（   ） A．的范围为 B．若为直角三角形，则的面积为 C．若点，则的最大值为 D．直线的斜率之积为 20．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 21．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为 . 22．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 23．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为 ． 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知双曲线，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·江西部分重点中学·期末)双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．(24-25高二上·广西合浦县·期中)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为( ) A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)若双曲线的渐近线与已知圆相切，则（  ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)若实数m满足，则曲线与曲线的（    ） A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等 7．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（    ） A． B． C．10 D． 8．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 10．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 二、填空题 11．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 12．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 13．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 14．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 15．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 16．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D．5 5．(24-25高三上·广西南宁·)已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 7．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 8．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 三、填空题 9．(24-25高二上·广西玉林第一中学·)已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 10．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)过抛物线的焦点的直线交于两点，则抛物线的方程为 ． 地 城 考点04 解答题 1．分别求出适合下列条件的方程： (1)已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； (2)已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程. 2．(24-25高二上·广西玉林第一中学·)已知双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上的一点，． (1)求双曲线的标准方程 (2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 3．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 4．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 5．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. (1)求点的轨迹方程； (2)设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 6．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积． 7．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 8．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.   (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 9．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; (2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 10．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 11．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 12．(24-25高二上·广西合浦县·期中)动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 13．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 14．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）. (1)求的方程； (2)若直线与直线的斜率之积为，求的值. 15．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍. (1)求椭圆伴随双曲线的方程； (2)点为的上焦点，过的直线与上支交于两点，设的面积为，（其中为坐标原点）.若，求. 16．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)已知点在椭圆上，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 17．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知，分别为双曲线的左，右焦点，与轴分别交于点，，它的一条渐近线的斜率为，且右焦点到该渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与曲线交于，两点（不与两个顶点重合，记直线，的斜率为，，证明：为定值． (3)若动点在曲线的左支上，定点，点为圆上一动点，则求的最小值． 18．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知O为坐标原点，椭圆左､右焦点分别为，短轴长为，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8． (1)求的方程； (2)若直线l与Ω交于A，B两点，且，求|AB|的最小值； (3)已知点P是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足|PM|＝|PN|?若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由． 19．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，，周长为.   (1)求椭圆的方程； (2)设不经过点A的直线与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标； (3)记第（2）问所求的定点为E，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由. 20．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.如果曲线经“伸缩变换”后得到曲线，射线与分别交于两点A，B且. (1)求的方程; (2)若M，N在上，为垂足，求证：存在定点，使得|DQ|为定值. 21．(24-25高一上·广西柳州高级中学·期中)双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切. (1)求双曲线E的方程. (2)过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值. (3)过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 试卷第1页，共3页 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线 高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03抛物线 考点04 解答题 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，则其焦距为2.故选：B. 2．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，所以，，. 故选：B. 3．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，设，则，又由椭圆定义可知，则离心率，故选D. 4．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 【答案】D 【详解】因为椭圆，所以椭圆长轴长为，由椭圆定义知，所以.故选：D 5．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意易得，则，因为椭圆的离心率为，所以，则， 故的标准方程为，故选：A． 6．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点坐标为，点坐标为，由中点坐标公式得，即， 将代入，得点的轨迹方程为：，即. 故选：B 7．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意知，，则点，所以直线BA的斜率为，直线PO的斜率为，由，得，所以，即，又，所以，所以焦距为.故选：D 8．(24-25高二上·广西合浦县·期中)阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为(    ). A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可得，则，因为，所以，则，所以椭圆C的焦距为：故选：D. 9．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，所以，因为，所以，而，所以，所以的面积为.故选：C. 10．(24-25高二下·广西来宾高级中学·开学考)已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】D 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 11．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，；由点在上，则有，即，所以；又，所以，，则；如图1，由焦点的内切圆可得：，，，所以；又，所以，即，故选：A． 12．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，，∴，，设，，则在中由余弦定理得，，∴化简得，该式可变成．故选A． 13．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的离心率，得，， 由，，，可得，直线的斜率为，方程为，椭圆方程，即，联立直线和椭圆方程，可得，由，解得， 则，即，由，解得，.故选：C 14．(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.得四边形为平行四边形.由椭圆的定义有，由余弦定理有：，即，所以，当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.所以等号不能成立,即即，所以.故选：A 15．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】由已知条件可知，且，蒙日圆方程为，蒙日圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，则或，又因为，所以，或，解得或，故选：B. 16．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长轴长为2a，焦距为2c，由题可知，即万千米，因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米，则，可得万千米，因此，所以椭圆的方程为.故选：A. 二、多选题 17．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为12 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 【答案】AD 【详解】因为椭圆，所以，且椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的长轴长为，焦距为，短半轴长为，离心率．故选：AD 18．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若椭圆的离心率越趋近于0，椭圆越接近于圆 C．若点分别为椭圆的左､右焦点，直线l过点且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 D．若点分别为椭圆的左､右顶点，点P为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为. 【答案】BCD 【详解】，且,解得离心率 ，选项A错误；根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”，选项B正确；根据椭圆的定义，，所以的周长为，选项C正确；根据题意，，设点 ，其中，所以，选项D正确. 故答案为：BCD. 19．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知分别为椭圆的左、右焦点，若点分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上一动点，下列结论中正确的有（   ） A．的范围为 B．若为直角三角形，则的面积为 C．若点，则的最大值为 D．直线的斜率之积为 【答案】ACD 【详解】对于A，，设，，则，故，由于，故，A正确，对于B，当时，此时，故的面积为，故B错误，对于C，由于，又，所以， 所以，当且仅当三点共线时，且在之间时取等号，故C正确．对于D，由椭圆，得，设， 则，又，则，所以，故D正确；故选：ACD 20．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【详解】对于A，，由定义知，A正确；对于B，由点在上，得，化简得，解得，，B错误；对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得，则，，C正确；对于D，设，则，而，则，又， 则，化简得，解得，，因此1，，D正确.故选：ACD 三、填空题 21．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意易得，则，因为椭圆的离心率为，所以，则， 故的标准方程为.故答案为：. 22．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 【答案】4 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，由椭圆，得，，是的中点，是的中点，为的中位线， ，由椭圆的定义得．故答案为：4． 23．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/0.5 【详解】设，，，则直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为，令，得，即，因为，所以，即，解得．故答案为： 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知双曲线，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线,可知该双曲线的离心率.故选:C. 2．(23-24高二上·江西部分重点中学·期末)双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，即，解得.故选：B 3．(24-25高二上·广西合浦县·期中)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，所以渐近线方程为，即故选：C 4．(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的离心率是3，可得，则. 则双曲线的渐近线的方程为：.故选：A. 5．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)若双曲线的渐近线与已知圆相切，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）.所以.故选：A. 6．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)若实数m满足，则曲线与曲线的（    ） A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等 【答案】B 【详解】因为，所以，所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线，，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；因为，所以离心率不相等，故A错误；因为，所以实轴长不相等，故C错误； 因为，所以虚轴长不相等，故D错误.故选：B. 7．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（    ） A． B． C．10 D． 【答案】C 【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程是，∴，即，∵左焦点，∴，∴，∴，，∴双曲线方程为，直线的方程为，设，由，消可得，∴，，∴．故选:C 8．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，如下图所示：  由题意可得，；又，由可得， 即，解得；所以；因为，所以；即，可得，即，解得.故选：D 9．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，，∴，， 设，，则在中由余弦定理得，， ∴化简得，该式可变成．故选A． 10．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【详解】由题意， 当且仅当，，三点共线时等号成立.而直线的方程为，由可得，所以，所以点的坐标为.所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 二、填空题 11．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设动圆的圆心，半径为，依题意，，则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支，实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为.故答案为： 12．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】由双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设，又，所以，所以，因为为的中点，所以，即，所以两边平方得，所以，即，即，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为. 13．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】依题意，设，则，因为点在以为直径的圆上，则，在Rt中，，则，故或(舍去)，所以，则，故，所以在中，，整理得，则，则，则，故的渐近线方程为.故答案为：. 14．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】由正弦定理可知且，又因为，可解得，又因为，所以为的中点，所以，又因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，所以，所以， 又因为，所以，所以，解得，故答案为：. 15．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 【答案】 【详解】不妨设点在第一象限，连接，则，故，，设，因为，所以为的中点，，故.，将代入中，故，则.故答案为：.   16．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得，，由于为平行四边形，故,直线的方程为，渐近线方程，联立，故, 所以，因此，化简得， 故离心率为，故答案为：   地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为，则，所以，所以抛物线的标准方程为．故选：D． 2．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点准线方程为，点M在C上，所以M到准线的距离为.又M到直线的距离为4，故.故选：D. 3．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部，过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，则有，当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为故选：C. 4．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D．5 【答案】A 【详解】由题意设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，将的坐标代入到抛物线的方程中，可得，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，圆的圆心位,半径位，可知圆在抛物线内部，如图：过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以， 当且仅当，，三点共线时，所以的最小值为4．故选：A 5．(24-25高三上·广西南宁·)已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设动点，由于，，根据直线与的斜率之积为．整理得，化简得：．故选：B 二、多选题 6．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误；对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误；对于D，，故D正确.故选：BD. 7．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 【答案】AC 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误，,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确，由于轴，所以不成立，故D错误，故选：AC 8．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示，其中准线于，则，故，当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对；由，当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错；由，则中点坐标为，而，故，所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对.故选：BD 三、填空题 9．(24-25高二上·广西玉林第一中学·)已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 【答案】5 【详解】抛物线的准线方程为，设点的坐标为，则，因为点到直线的距离为，所以点到准线的距离为，由抛物线定义可得.故答案为：. 10．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)过抛物线的焦点的直线交于两点，则抛物线的方程为 ． 【答案】. 【详解】直线过点，所以抛物线的焦点，所以，，故抛物线的方程为.故答案为： 地 城 考点04 解答题 1．分别求出适合下列条件的方程： (1)已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； (2)已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程. 【详解】（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为，故，则， 故抛物线标准方程为. （2）因为圆C的圆心在轴上，则设圆C方程为， 由已知，圆C过原点和，由已知，解得， 所以圆C方程为. 2．(24-25高二上·广西玉林第一中学·)已知双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上的一点，． (1)求双曲线的标准方程 (2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点分别是，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为点是双曲线上的一点，且，根据双曲线的定义，可得，所以， 又由，所以，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为，可得， 所以双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，顶点坐标为， 离心率为，渐近线方程为. 3．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 【详解】（1）由题可知，其中，所以,又点在椭圆上，所以，即，解得，所以椭圆E的方程为． （2）由椭圆的方程，得，所以， 设，其中，因为，所以， 又点在椭圆上，所以， 联立方程组，得，解得或（舍）， 当时，，即或． 所以当的坐标为时，直线的方程为； 当的坐标为时，直线的方程为． 综上，直线的方程为或.   4．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，又， 联立解得，，所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知，根据题意易得过的直线斜率存在，设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得，所以， 因为中点横坐标为3，所以，解得，所以， 则，则． 5．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. (1)求点的轨迹方程； (2)设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 【详解】（1）由题意，设，则， 由，即且. （2）由题意，易知，即轴， 又，则，故， 又位于第一象限，则，所以，故， 则.   6．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积． 【详解】（1）由题设知，所以， 于是椭圆的方程为； （2）依题意，直线的方程为，设， 联立，解得或，所以的面积 . 7．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为.所以，解得， 从而，即，所以右焦点为，从而，解得， 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，. （2）  由题意直线，它过抛物线的焦点， 联立抛物线方程得，化简并整理得， 显然，，所以， 点到直线的距离为，所以，即的面积为. 8．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.   (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 【详解】（1）设，直线斜率为， 由题可知：点，则直线的斜率为：； 因为直线斜率与直线的斜率之积为，则，解得， 又因为点，过点的直线与抛物线交于两点， 故直线的方程为，即， 联立方程，消去可得， 则，可得， 因为，则， 整理可得，即，解得. （2）由题可知，直线垂直平分线段，   设线段的中点为，直线的斜率为， 由（1）知，则，即， 且，所以直线的方程为，即， 联立方程，消去可得，可得， 设，则， 所以， 且点到直线的距离为，所以的面积为. 9．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; (2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的方程为， 双曲线的右焦点坐标为，而抛物线的焦点为， 于是，解得，所以抛物线的标准方程为. （2）直线的方程为，由消去得， ，设，则，， 令直线与轴的交点为，，由（1）知， 所以的面积. 10．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【详解】（1）根据题意，，在椭圆上顶点，此时. 所以，则求椭圆的方程； （2）如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程得， . ，又， 因为点到直线的距离，且， 所以， 综上，的面积为定值. 11．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 【详解】（1）由题意得，得，所以， 因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线方程为． （2），设直线方程为，，由，得，则， 所以，所以的中点， 因为，所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，，直线的方程为， 令，得，所以直线也过定点． 12．(24-25高二上·广西合浦县·期中)动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【详解】（1）根据题意可得，化简得，即的方程为. （2）①解：由，得.由， 解得，所以的取值范围为. ②证明：（方法一）由①中，得. 设直线被截得的线段的中点坐标为，则，. 由，消去可得，所以直线被截得的线段的中点在直线上. （方法二）设直线与交于，两点.设，，线段的中点坐标为， 则直线的斜率为，，. 因为点，在上，所以，两式相减得， 化简得，即， 所以直线被截得的线段的中点在直线上. 13．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 【详解】（1）已知，因为，所以， 点在椭圆上，将其代入椭圆的，可得，即①， 又因为，即②，联立①②，整理得，解得或， 因为，所以，所以，故椭圆的标准方程为； （2）因为，所以的面积，则， 因为长轴长为，即，根据椭圆的定义得， 所以，即③， 由余弦定理可得， 整理得 ④， 联立③④得：，即，则，所以， 在椭圆中有，即，解得. 14．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）. (1)求的方程； (2)若直线与直线的斜率之积为，求的值. 【详解】（1）因为，渐近线方程为，所以，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）设点,，,，根据题意知， 由，得，则， ，， 而； 由于， ； ，，， 化简可得，解得，或， 当时，，不符合题意，舍去，故. 15．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍. (1)求椭圆伴随双曲线的方程； (2)点为的上焦点，过的直线与上支交于两点，设的面积为，（其中为坐标原点）.若，求. 【详解】（1）的伴随双曲线为， 设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为， 依题意可得，即，即，解得， 所以椭圆，则椭圆伴随双曲线的方程为； （2）由（1）可知，设直线的斜率为，， 则直线的方程，与双曲线联立并消去，得， 则，所以，，则， 又， 又，解得，又，所以 因为，所以. 16．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)已知点在椭圆上，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为. （2）联立，消元整理得， 时， 设，，则，， 由， 得， 所以，所以， 化简得，即，所以或， 当时过点，不合题意，舍去， 所以，即，此时过定点. 此时，所以，设到直线的距离为， 则，，， 当且仅当时，当时，所以. 17．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知，分别为双曲线的左，右焦点，与轴分别交于点，，它的一条渐近线的斜率为，且右焦点到该渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与曲线交于，两点（不与两个顶点重合，记直线，的斜率为，，证明：为定值． (3)若动点在曲线的左支上，定点，点为圆上一动点，则求的最小值． 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线的斜率为，所以，， 则双曲线的一条渐近线的方程为， 因为，所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，则，，所以双曲线的方程为． （2）依题意可知，， 表示双曲线的两个顶点，由（1）可知，， 设，．因为不与重合，所以可设直线． 联立消得：，故，， 所以，，， 所以． （3）由(1)可知，设，为曲线的左右焦点，圆半径为，圆心，，， 当且仅当，，共线且在，之间时取等号， ， 当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号． 的最小值是． 18．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知O为坐标原点，椭圆左､右焦点分别为，短轴长为，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8． (1)求的方程； (2)若直线l与Ω交于A，B两点，且，求|AB|的最小值； (3)已知点P是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足|PM|＝|PN|?若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由双曲线定义可得，，故，又． 所以，．所以的方程为． （2）①若直线斜率不存在，则设，则， 因为，所以，所以，所以．所以． ②若直线斜率存在，设方程为．设，． 联立，消去y整理得，， 则．由韦达定理，得，于是， 即．故． 令，则，．所以． 因为，所以当时，． 综上，的最小值为． （3）如图所示，设PM、PN与圆O的切点分别为E、F，则． 又，则．所以，所以． 取MN中点Q，若O和Q不重合，则．所以． 又因为M、N在椭圆上，则，所以， 所以，所以， 又，，所以．矛盾．所以O和Q重合，即M、N关于原点对称．所以． 设直线的方程为，则r为点O到直线PM的距离， 所以．由（2）可知，，故，即． 又当MN斜率不存在时，也成立．综上，． 所以存在存在定圆满足条件，此时. 19．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，，周长为.   (1)求椭圆的方程； (2)设不经过点A的直线与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标； (3)记第（2）问所求的定点为E，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由. 【详解】（1）由，则，所以， 由周长为，所以， 综上，可得，即椭圆方程为. （2）设，，联立椭圆， 则，整理得， 显然，则，， 又， 所以，则， 又，整理得， 则， 所以直线过定点，得证； （3）由（2）知，，且，则， 设直线，与椭圆相切，联立有， 整理得，则，可得， 所以两切线到的距离分别为，   当，则， 当，则， 所以时，为0个；时，为1个； 时，为2个；时，为3个； 时，为4个； 20．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.如果曲线经“伸缩变换”后得到曲线，射线与分别交于两点A，B且. (1)求的方程; (2)若M，N在上，为垂足，求证：存在定点，使得|DQ|为定值. 【详解】（1）设伸缩比为，则曲线的方程为. 由解得，即,由解得，即, 因为，所以，解之得， 所以曲线的方程为 （2）证明：当直线的斜率存在且不为0时， 设直线方程为（为斜率），联立方程得， 消去得，， 直线与椭圆交于两点，所以，即， 由韦达定理可得，，， 因为且，所以，则， 即，其中，， 所以， 于是可得 化简整理可得，即. 所以或，经检验两式均能使. 当时，直线方程为，则直线方程为， 设点的坐标为，则由消去参数， 可得，即，此时存在定点使得|DQ|为定值； 当时，直线方程为，则直线方程为， 设点的坐标为，则由消去参数， 可得，即， 所以点与点重合，不符合题意，故舍去. 当时，可由求得，，所以， 可验证点在圆上， 此时存在定点使|DQ|为定值. 当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为， 由可解得点，， 由可得：，解之得（舍去）， 所以点，可验证点在圆上， 此时存在定点使|DQ|为定值. 综上所述，存在定点使|DQ|为定值. 21．(24-25高一上·广西柳州高级中学·期中)双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切. (1)求双曲线E的方程. (2)过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值. (3)过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为 ，焦点， 则以右焦点F为圆心，半径为 的圆的方程为，双曲线的渐近线方程为， 根据圆与渐近线相切得，焦点到渐近线的距离，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知   当直线 斜率不存在时，令，代入中得，即，所以, 当直线 斜率存在时，设直线的方程为，， ，消去并整理得，， 根据根与系数的关系得， 因为直线交曲线E于同支两点记为A，B， 所以 ，解得或，因为到直线的距离， 所以 ,其中. 综上所述，当直线 斜率不存在时，面积最小，面积为. （3）由过点F作直线交曲线E于异支两点，得直线的斜率存在，且斜率不为0，  设直线的方程为，其中或， 因为恒成立，即,得为的角平分线， 设,假设存在,联立，整理可得：， ， 因为，所以，整理可得 ，，即， 因为，整理可得，即， 综上所述，在实轴上存在定点使恒成立，对应定直线是. 试卷第1页，共3页 33 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $