2.3二次函数与一元二次方程、不等式基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 基础题型训练 题型一 解不含参数的一元二次不等式 1.（2025广东深圳期中）若“”是“”的必要不充分条件,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.（2025山东菏泽调研）若规定,则不等式 的解集是( ) A. B. } C.} D.或 } 3.解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） ; （4） . 4.解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） . 题型二 解含参数的一元二次不等式 5.（2024江苏镇江调研）下面四个不等式中解集为 的是( ) A. B. C. D. 6.（多选/2024广东佛山南海区S7联考）已知关于的不等式 ,下列关于此不等式的解集结论正确的是( ) A.解集可以是 B.解集可以是 C.解集可以是 D.解集可以是 7.（2025安徽合肥期末）已知关于的不等式组 仅有一个整数解,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.（多选/2025湖南邵阳检测）关于的不等式 的解集可能为( ) A. B. C.或 D. 9.（2024江西九江期中）求下列关于的不等式的解集,其中 是常数. （1） ; （2） . 10.解下列关于 的不等式： （1） ； （2） ; （3） . 题型三 解绝对值不等式 11.（2024江苏无锡期中）不等式 的解集为________________. 12.解下列不等式： （1） ； （2） ； 题型四 解分式不等式 13.（2025山东潍坊期末联考）设,则“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.（2025北师大二附中统练）不等式 的解集是_________________. 15. 不等式 的解集为_______________________. 题型五 解高次不等式 16. 不等式 的解集是_________________________. 17. 不等式 的解集为___________________________. 题型六 利用根与系数关系转换不等式解集 18.（2025山西吕梁期末）已知关于的一元二次不等式 的解集为,则 的值为( ) A. B. C. D. 19. （2025陕西榆林期末）某同学解关于的不等式 时,因弄错了常数的符号,解得其解集为或,则不等式 的解集为( ) A.} B.或 } C. D.或 20.（多选/2025河南联考）已知二次函数 ,,为常数 的部分图象如图所示,则( ) A. B. C. D.不等式的解集为 题型七 一元二次不等式的恒成立问题 21.（2024江苏苏州大学附中月考）一元二次不等式的解集为 的充要条件是( ) A. B. C. D. 22. （2025江西南昌期中）关于的不等式 对于任 意恒成立,则 的取值范围是_____________. 23.（2025福建泉州期中）,不等式恒成立,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 24.（2024河北保定联考）已知关于的不等式 对任意的都成立,则 的取值范围是____________. 25.（2025江苏常州调研）“若, ”为假命 题,则实数 的取值范围为_ __________. 题型八 一元二次不等式有解问题 26.（2025天津南开中学期中）若存在,使得成立,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 27. （2024广东广州期中）若关于的不等式 的解集不为空集,则实数 的取值范围为( ) A. B. C.或 D.或 28.（2025江苏盐城期末）关于的不等式在上有解,则实数 的取值范围是______. 29.（2025吉大附中实验学校期中）若两个正实数,满足 ,且不等式有解,则实数 的取值范围是________________. 30.不等式对任意,恒成立,则 的取值范围为______． 31.若,关于的不等式恒成立,则实数 的取值范围是__________． 32.已知不等式 . （1） 若不等式在时有解,求实数 的取值范围； （2） 若不等式在时恒成立,求实数 的取值范围. 参考答案 1.A【解析】 ，（对应二次函数图象开口向上,小于0取中间,大于0取两边） 若“”是“”的必要不充分条件，则集合 是集合的真子集，所以 . 2.D【解析】 由，结合题意可得，所以 或 ， ，所以或 ， 即不等式的解集为或 }. 3.(1)【答案】对于方程, ,所以由求根公式可得方程的两个实数根为, ,所以不等式的解集为 }. (2)【答案】 ,则不等式的解集为 . (3)【答案】 ,移项得 ,整理得 （注意提取公因式,不能直接约掉）,即 ,解得或,则不等式的解集为或 . (4)【答案】 因为，即 解不等式，即，解得 ； 解不等式，即 ，又因为 恒成立， 所以不等式的解集为.综上，不等式的解集为 ｝. 4.(1)【答案】即.（可看成关于 的一元二次不等式） 令,则不等式即,由十字相乘法得 ,则 . 因为,所以,即,解得 . 故不等式的解集为 }. (2)【答案】 即（可看成关于 的一元二次不等式 ）. 令,则不等式即,由十字相乘法得 ,解得.因为,所以,即,所以 . 故不等式的解集为 . (3)【答案】 即（可看成关于 的一元二次不等式 ）. 令,则不等式即,由十字相乘法得 ,解得或（舍去）,所以,所以或 . 故不等式的解集为或 . 5.A【解析】 方程的判别式 ,二次函数的图象开口向上,且图象始终在轴的上方,所以 的解集为 ； ,则,即不等式的解集为 }； ,解得 ,即不等式的解集为 }； 6.BD【解析】 当时, ,不等式成立,因此解集至少含有0,所以不等式的解集不能为 ; 当且时(如,时， ), ,,不等式的解集为；当时, , 不等式的解集为 ; 若该结论正确,则必有解得则不等式为,解得 ,与解集 矛盾,故该结论错误; 若该结论正确,显然（当时,的解集为 ,其中为方程的两个不相等实数根，且）,且 ,2是一元二次方程的两个实数根,则解得 所以解集可以是 . 7.B【解析】 对不等式左侧进行因式分解，求出对应的两根，比较两根大小后结合不等式的交集求解. ，解得或 ； 由，即，因为 ，所以 不等式的解集为 ， 不等式组仅有一个整数解，则解集应为 ，所以仅有的一个整数解为4，所以 . 8.BCD【解析】 二次项系数含有参数,应先讨论是否为0,容易遗漏 时为一次不等式的情况. 当时,不等式可化为,则不等式的解集为 ,故B正确. 当时, 为一元二次不等式,且可因式分解为 .二次项系数影响不等式是否变号,因此再分, 两种情况. 当时, （求解集需对两根大小进行讨论）. 当,即时,不等式的解集为或 ,故C正确. 当,即时,不等式的解集为；当,即 时,不等式的解集为或 . 当时,,此时显然 ,不等式的解集为 ,故D正确. 9.(1)【答案】 ,即 ,因为 ,所以不等式的解集为或 . (2)【答案】 ,整理得,即 , 所以当时,不等式的解集为 ； 当时,不等式的解集为 ； 当时,不等式的解集为 . 10.(1)【答案】 对于一元二次方程,判别式 . 当时,,的解集为 ； 当时,,的解集为 ； 当时,,方程的两根分别为, ,且,则的解集为 }. 综上,当时,不等式的解集为 ,当 时,不等式的解集为 }. (2)【答案】 对于一元二次方程（已知 ,肯定是一元二次方程）,判别式 . 当时,,等价于,解得 ,故不等式的解集为 ； 当时,,方程的两根分别为, , 且,则的解集为或 }； 当时,,不等式的解集为 . 综上,当时,不等式的解集为；当时,不等式的解集为 或}；当时,不等式的解集为 . (3)【答案】 对于一元二次方程, , 当时,,的解集为 ； 当时,,的解集为 ； 当或时,,方程的两根分别为, , 且，所以不等式的解集为 }. 综上,当时,不等式的解集为 ；当或 时,不等式的解集为 }. 11.} 【解析】 (形如 ,则对不等式两边同时平方)左右两侧同时平方得，所以，故 ，即，解得 }. 12.(1)【答案】将直接去掉绝对值符号,得或 ,即或,所以 （十字相乘法）或（配方法）,解得或 . 故不等式的解集为或 . (2)【答案】 当时,原不等式即,所以 ； 当时,原不等式即,即,解得或,所以 . 综上,不等式的解集为或 }. (3)【答案】 ,即或,解得 或,所以.故不等式的解集为 }. 13.A【解析】 因为（小于号说明分子分母都不为0），所以 ，解得，若，则 ； 若，则不一定满足.综上，“”是“ ”的充分不必要条件. 14.或} 【解析】 不等式移项整理得，即 （注意分母不能为0） 解得或，即不等式的解集为或 }. 15.或 【解析】 不等式组法.原不等式可化为或 解得 或所以或.即不等式的解集为 或 . 16.或或 【解析】 等价于 .数轴穿根法如图, 注意的次数为2,因此穿而不过,故不等式的解集为或或 . 17.或或 【解析】 先移项再化简, 得 , ,即,分子、分母分别分解因式得 ,解原不等式等价于求解,且分母不为0,即, ,每一个因式都是一次,由数轴穿根法可得,解集为或或 （注意不要漏掉1,3）. 18.B【解析】 一元二次不等式解集的端点值正好是相应一元二次方程的根，利用根与系数关系求解参数即可. 因为关于的一元二次不等式的解集为 ， 所以关于的一元二次方程的两个根分别为 ，2， 由根与系数的关系可得 解得 所以 . 19.C【解析】 由解集可知,且,,所以, , 所以即（注意,不等式两边同时除以 时，不等号的方向改变）,即,解得 . 20.BCD【解析】 由图象可知，该二次函数图象开口向上，故 ， 与轴的交点为， ，故 ，即 ， . ； ； ； 可化为，又， ， 即，（十字相乘法）其解集为 . 21.B【解析】 一元二次不等式的解集为 ,即 恒成立,由知充要条件是（ 恒成立的不等式含“ ”,判别式 也要含“ ”） 22. 【解析】 二次项系数含参，需先讨论二次项系数是否为零. 当，即时，原不等式为 ，恒成立； 当，即时，原不等式恒成立，则 解得 . 综上所述，的取值范围为 . 23.B【解析】 因为在上恒成立，所以 在该范围内恒成立，因为 ，对应二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，所以，（当时,取到最大值2（但 ）） 则 . 24. 【解析】 当时,不等式对任意的都成立,此时 ； 当时,,则对任意的都成立,则当 时， 恒成立,当时,（当时，一次函数 的图象在轴上或轴下方）解得 . 综上,的取值范围是 . 25. 【解析】 “，”为假命题，则“ ， ”为真命题，即 ，又因为 ，（）恒成立，所以 ， 设，则（一次比二次型,通过对分子换元为 ,可以将式子转化为的形式） ， 又因为，当且仅当 时等号成立，所以 ，当且仅当时等号成立，所以 . 26.C【解析】 因为 恒成立，所以原不等式等价于在上有解，即 有解，所以 ，（方程在上有解，只需看判别式）解得 ， 即实数的取值范围为 . 27.C【解析】 分二次项系数是否为零两种情况进行讨论即可. 当时, . 若,原不等式为,解得,则不等式的解集为 },不是空集,符合题意；若,原不等式为 ,无解,不符合题意. 当,即 时,不等式有解,（二次项系数含参，不等式有解有两种情况）即 或② , 解①得,解②得或 . 综上所述,实数的取值范围为或 . 28. 【解析】 由不等式以及可得 ，（分离参数） 依题意可知，， 即可， 令，，又因为 ，（构造二次函数）由可得 ， 利用二次函数性质可知，即可得 . 29.或 【解析】 ,,条件等式两边同除以得 , 则 （“1”的代换）,当且仅当,即时等号成立,则 的最小值为2. 若不等式有解,则,解得或 . 30. 【解析】 以为主元.原不等式等价于 恒成立， 所以且，即 ，所以,解得 ． 31. 【解析】 将原不等式看成关于变量的不等式，即 ，其判别式 ，因此不等式的解集为 ， 因为，所以， ，要使不等式恒成立，则 ． 32.(1)【答案】不等式可化为 ①, 设,若不等式①在时有解,即当或时, 成立,即或,解得或 , 所以实数的取值范围是 . (2)【答案】 不等式可化为 ②. 当时,恒成立,当时,设 （变换主元，视为关于的一次函数）,因为时不等式②恒成立,所以当且时 , 所以解得或或 且 . 所以实数的取值范围是或或 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $