2.1等式性质与不等式性质基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 基础题型训练 题型一 不等关系的表示 1.（2025河南联考）在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为, ,则用不等式组表示为( ) A. B. C. D. 2.（2024江西上饶期末）糖水在日常生活中经常见到,可以说大部分人都喝过糖水.如果 克糖水中含有克糖,再添加克糖 （假设糖全部溶解）,糖水变甜了,将这一事实表示为不等式正确的是( ) A. B. C. D. 题型二 不等式性质的应用 3.（2025北京顺义区期末）已知实数, 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( ) A. B. C. D. 4.（多选/2025山东泰安期末）下列选项正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,,则 D.若,,则 5.（多选/2024江西联考）已知, ,则( ) A. B. C. D. 6.（多选/2025河南省实验中学月考）下列命题为真命题的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 7.（2025河南洛阳检测）设 ,下列式子恒成立的是( ) A. B. C. D. 8.（2024山东省实验中学期中）若,,则, 的大小关系是( ) A. B. C. D.不能确定 9. （多选/2024河北邯郸统考）已知实数,,满足 ,则以下大小关系正的是( ) A.当时, B. C. D. 10. （2025广东深圳高级中学月考）（1）设,试比较 与 的大小. （2）已知,,,且,,试比较与 的大小. 题型三 求代数式的取值范围 11.（2024江西景德镇一中月考）已知,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 12. （2025江苏盐城期中）已知, ,则下列结论错误的是 ( ) A. B. C. D. 13.（2025广东阳江期中）已知实数且,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 14.（2025江苏海安高级中学月考）若,,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 15. （多选/2025四川遂宁期中）若实数,满足, ,则下列说法正确的有( ) A.的取值范围为 B.的取值范围是 C.的取值范围是 D.的取值范围是 题型四 证明不等式 16.（2024江苏扬州新华中学期中）证明下列不等式： （1） 已知,,,求证： ； （2） 已知,,求证： . 17.（2024河北保定检测） （1） 设,,,,.证明: ； （2） 若,证明: . 18.（2025上海南汇区检测） （1） 证明： . （2） 已知,,且,求证：和至少有一个大于 . 参考答案 1.D【解析】 由甲班的分数大于乙班的分数可得 ，由甲班和乙班分数之和大于170得，不大于190，则 ，故D正确. 2.A【解析】 加入克糖 后糖水变甜了,即糖水的浓度增加了. 加糖之前,糖水的浓度为；加糖之后,糖水的浓度为,所以 . 3.A【解析】 由题图知 . 因为,，由性质4（可乘性）知 ； 因为，，则由倒数法则可知 ； 由作差法可得 ； 因为，所以由性质7（乘方法则）可知，即 . 4.ABC【解析】 与开方法则相比，可判断正误. 因为，，所以.（易错提示:由于 ,故若此处未带等号,则式子不成立） 因为，所以由倒数法则得 ， 因为，由性质6（同向同正可乘性）知 . 与性质5（同向可加性）相比， ，条件不成立，故结论无法成立.举反例:当,，,时，满足，，此时 ，，则 . 5.CD【解析】 由,可得,解得 ； 由,可得,解得 ； 由可得,即 ； 由得，则，由A知 ，则 . 6.BCD【解析】 由倒数法则知, 是异向相加,不一定成立. 举反例：当,时, . 7.B【解析】 用作差法比较大小.因为 ， （配方法），该式大于等于0不恒成立； 8.C【解析】 ,都是两个无理式相加,且 ,平方后只需比较两个根式的大小. , , ,,,.（ , 由开方法则得） 9.AD【解析】 由性质7（乘方法则）知当时正确.当 时可用作商法比较大小：,, ,当时 . 注意糖水不等式中要求.当时， . 作差法,, （开方法则）, 上式大于0, . 10.【答案】（1）两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小.若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法. （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小. 方法一:作差法. （1） . 因为，所以， ， 所以 ， 所以 . （2）.因为且，，所以 . 又因为，所以，则 ， 又因为，，所以，即 . 方法二:作商法. （1）因为，所以， ，两式作商可 得，所以 . （2）因为，，，，所以， ，两式作商可得 ，因为，由倒数法则可知，又 ，所以由不等式的性质6（同向同正可乘性）得，则由性质5（同向可加性）知 ，则，即 . 11.B【解析】 由知,则.不等式同乘得 （同乘负，不等式变号）, 所以 . 12.D【解析】 由不等式的同向可加性得 ，即 ； 同乘不等式变号，得，又因为 ，由不等式的同向可加性得，即 ； 由B项及不等式的同向同正可乘性得，即 ； 因为，所以由倒数法则得 ， 又因为，由不等式的同向同正可乘性得，则 . 13.B【解析】 由，得 . 因为且，所以, ， 所以由，得，两边同乘 ，由不等式的性质4（可乘性）得 ； 由，得，所以 ； 由，,得.综上， . 14.B【解析】 方法一:待定系数法.设 ，故且 ， 所以,，故 ， 由于，，所以 ，（不等式的同向可加性） ， 故最小值为，此时, . 方法二:双换元法.设，，则，，所以 . 由于，，所以，故 ，即 ， 故最小值为，此时, . 15.ABC【解析】 ,,两式相加得,即 . ,与相加得 ,即 . 待定系数法.设 ,所以解得则 . , ,所以 . 16.(1)【答案】 ,, （可乘性）, （同乘-1,不等式变号）. ,即（对称性）, （同向可加性）. (2)【答案】 , （倒数法则）, （同乘-1,不等式变号）. , （同向同正可乘性）,, . (1)【答案】 ， . ,，，均不为0，则 ， . (2)【答案】 . ，取等号的条件为 ， 而， 等号无法取得，即 ， 又，， . 18.(1)【答案】要证不等式,只要证 即证明,即证明,即证明 . 显然恒成立,所以不等式 成立. (2)【答案】 假设和都不大于,则又因为,,所以 所以（同向可加性）,与矛盾,故假设不成立,所以和 至少有一个大于 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $