4.3 用一元一次方程解决问题（第四课时） 应用与工程、行程综合 导学案 2025-2026学年苏科版（2024）数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦一元一次方程解决经典应用问题，涵盖“鸡兔同笼”、工程及行程（相遇、追及拓展）问题，通过课前预习回顾背景与基本关系，知识梳理分步骤提炼策略，课堂探究以例题互动为支架构建数量关系。 特色在于运用列表法清晰呈现数量、设“1”法简化运算等策略，结合师生互动引导推理，分层练习覆盖多样题型，培养模型意识与应用意识，助力学生形成方程建模思维，提升解决复杂实际问题的能力。

4.3 用一元一次方程解决问题（第四课时）经典应用与工程、行程综合 班级： 姓名： 【学习目标】 1.能运用一元一次方程解决 “鸡兔同笼” 等经典实际问题，掌握列表分析数量关系的方法。 2.会分析工程问题（工作效率、工作时间、工作量）和行程问题（相遇、追及拓展）中的等量关系，列出方程并求解。 3.提升用列表、画示意图等策略分析复杂数量关系的能力，体会数学建模思想。 【学习过程】（一）课前预习 1.回顾 “鸡兔同笼” 问题的背景：我国古代数学名题，已知头数和脚数，求鸡、兔数量。 2.思考工程问题基本关系： 工作量 = 工作效率 × 工作时间； 若工作总量为 “1”，甲单独完成需a天，则甲的工作效率为​。 预习课本例 6 及课后练习，思考： 例 6 中如何通过列表分析鸡、兔的只数与足数关系？ 工程问题中，两队合作的工作量如何表示？ （二）知识梳理 1.“鸡兔同笼” 类问题解题策略 步骤： ①设未知数（如设鸡有x只，则兔有 “总头数 - x” 只）； ②列表分析不同对象的数量（只数、单只脚数、总脚数）； ③根据 “总脚数” 找等量关系列方程； ④解方程、检验、作答。 关键：利用列表清晰呈现数量关系，避免混淆。 2.工程问题解题思路 基本关系：工作量 = 工作效率 × 工作时间，通常设工作总量为 “1”。 步骤： ①设未知数（常设完成剩余工作的时间为x）； ②分析各队的工作效率、工作时间； ③根据 “各部分工作量之和 = 总工作量（1）” 列方程； ④解方程、检验、作答。 3.行程问题（相遇、追及拓展）解题思路 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程； 追及问题（不同时出发）：先出发者路程 + 后出发者路程 = 总路程（或路程差）。 步骤与之前行程问题一致，需注意时间、速度的变化。 （三）课堂探究（师生互动，结合课本例题与练习） 1.探究 1：“鸡兔同笼” 问题 —— 以例 6 为例问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 步骤 1：设鸡有x只，则兔有35−x只。 步骤 2：列表分析： 项目 只数 单只足数 总足数 鸡 x 2 2x 兔 35−x 4 4(35−x) 合计 35 - 94 步骤 3：列方程：2x+4(35−x)=94。 步骤 4：解方程：展开得2x+140−4x=94，移项合并得−2x=−46，解得x=23，则兔有35−23=12只。 步骤 5：检验作答：鸡足2×23=46，兔足4×12=48，总足46+48=94，符合题意。答：鸡有 23 只，兔有 12 只。 2.师生互动： 提问：若设兔有x只，方程如何列？（学生尝试：4x+2(35−x)=94） 追问：列表法在 “鸡兔同笼” 问题中有何作用？（引导体会列表对数量关系的清晰展示） 1.探究 2：工程问题 —— 以练习 3 为例问题：某排水管道工程甲单独做需 10 天，乙单独做需 15 天。两队先合作 2 天，再由乙单独完成，乙还需多少天？ 步骤 1：设乙还需x天完成。 步骤 2：分析工作效率：甲效率​，乙效率​。 步骤 3：分析工作量：甲工作 2 天，工作量​×2；乙工作(2+x)天，工作量 ​×(2+x)；总工作量为 1。 步骤 4：列方程： ×2+ ×(2+x)=1。 步骤 5：解方程： 步骤 6：检验作答：代入验证，左边 = 右边，答：乙队还需要 10 天。 师生互动： 提问：若设总工作量为 “2”，方程如何变化？ （学生思考：效率不变，方程变为102​×2+152​×(2+x)=2，解仍为x=10，体会 “1” 为总工作量的便利性） 1.探究 3：行程问题（相遇拓展）—— 以练习 2 为例问题：凫（野鸭）从南海到北海需 7 天，雁从北海到南海需 9 天，同时起飞，几天后相遇？ 步骤 1：设经过x天相遇，设南海到北海的路程为 “1”。 步骤 2：分析速度：凫的速度​，雁的速度​。 步骤 3：等量关系：凫的路程 + 雁的路程 = 总路程（1），即。 步骤 4：解方程： 步骤 5：检验作答：代入验证，左边 = 右边，答：经过​天能够相遇。 2.师生互动： 提问：为何设路程为 “1”？（引导体会将总路程设为 “1” 可简化速度表示，方便计算） （四）课后巩固・达标检测 一、选择题 1.鸡兔同笼，头 10 个，脚 26 只，鸡有x只，方程正确的是（ ） A. 2x+4(10−x)=26  B. 4x+2(10−x)=26 C. x+(10−x)=26  D. 2x+2(10−x)=26 2.一项工程，甲独做需 5 天，乙独做需 10 天，合作x天完成，方程正确的是（ ） 二、填空题 3. 鸡兔同笼，头 20 个，脚 64 只，兔有______只。 4. 甲、乙合作修一条路，甲独做需 8 天，乙独做需 12 天，合作x天完成32​的工作量，方程为______。 5. 小明从家到学校，先走一段平路，再爬一段坡。平路速度 5 m/s，坡路速度 3 m/s，平路用了 200 s，坡路用了 100 s，回家时坡路速度 4 m/s，平路速度不变，回家总时间为______s。 三、解方程应用题 6. 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿，共 12 只，80 条腿，蜘蛛、蜻蜓各几只？ 7. 一项工作，甲独做 15 天完成，乙独做 20 天完成。甲先做 5 天，剩下的甲乙合作，还需几天？ 8. 甲、乙两车从 A、B 两地相向而行，甲速度 60 km/h，乙速度 80 km/h，A、B 相距 280 km，甲先出发 1 h，乙再出发，乙出发后几小时相遇？ 9. 某水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 3 h 注满，单开乙管需 5 h 注满。先开甲管 1 h，再开乙管，还需几小时注满水池？ 10. 古代问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行十二日，良马几日追及之？”（良马几天能追上驽马？） 【思维建构】解决 “鸡兔同笼”、工程、复杂行程等问题的核心是借助策略分析数量关系： 列表法：清晰呈现不同对象的 “数量 - 单量 - 总量” 关系（如鸡兔的只数、脚数）； 设 “1” 法：工程、行程中设总工作量或总路程为 “1”，简化效率、速度的表示； 方程建模：将实际问题中的等量关系转化为一元一次方程，通过解方程解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $