1.4 充分条件与必要条件基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第1章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 基础题型训练 题型一 充分、必要条件的判断 1.（2025山西运城期末）已知,,,则“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2025浙江杭州学军中学月考）已知,,则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.（2025安徽省马鞍山市第二中学开学考试）设,则“”是“ ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.（2024安徽合肥第四中学质量检测）在下列“若,则”的命题中,是 的必要条件的命题是( ) A.若四边形的一组邻边相等,则四边形是平行四边形 B.若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等 C.若,则 D.若是无理数,则 也是无理数 5.（2025四川省乐山市央江中学月考）已知是的充分不必要条件,是的充分条件, 是的必要条件,是 的必要条件,则下列命题中： 是的充要条件； 是 的充分不必要条件； 是的必要不充分条件； 是 的充分不必要条件. 正确的命题序号是( ) A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 题型二 充分、必要条件的探求 6.（2025河北石家庄二中月考）“ ”成立的一个必要不充分条件是( ) A. B. C. D. 7.（多选/2025甘肃天水第一中学段考改编）关于的方程 至少有一个负根的充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 8.（2024辽宁阜新市高级中学月考）若,都是实数,试从； ；； 中选出满足下列条件的式子,并用序号填空. （1） 使, 都不为0的充分条件是____； （2） 使, 至少有一个为0的充要条件是____. 题型三 已知充分、必要条件求参数 9.（2025江苏盐城五校联盟期末）集合,,若“ ”是“”的充分不必要条件,则 不能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.（多选/2025湖北省武汉市第六中学月考）大招2若是 的必要不充分条件,则实数 的值可以为( ) A.2 B. C. D.0 11.（2025吉林长春期末）大招2已知,,若是 的充分条件,则实数 的取值范围为( ) A.} B.} C. D. 12.（2025江苏南京期中）已知, . （1） 是否存在实数,使是的充要条件？若存在,求出 的取值范围；若不存在,请说明理由. （2） 是否存在实数,使是的必要条件？若存在,求出 的取值范围；若不存在,请说明理由. 题型四 充分、必要条件的证明 13.（2025陕西部分学校调考改编）证明： （1） “”是“ ”的充分不必要条件； （2） “”是“ ”的充要条件. 14.（2025西北工业大学附属中学检测）设,,,求证：关于 的方程 有一个根为的充要条件是 . 15.（2024重庆八中期中）已知的三边长分别为,,,其中,求证： 为等边三角形的充要条件是 . 参考答案 1.A【解析】 定义法.若,则 ,即充分性成立； 若,例如,,,可得 ,满足题意, 但 ,即必要性不成立. 综上所述,“”是“ ”的充分不必要条件. 2.B【解析】 若,,满足,但 不成立； 若,则,则 成立, 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 3.A【解析】 集合法.由,可得.因为 ,所以“”是“ ”的充分不必要条件. 4.C【解析】 是的必要条件即命题“若,则 ”是真命题. 仅邻边相等不能判断四边形为平行四边形,（不是平行四边形的判定定理）为假命题； 若一个三角形三边长分别为5,6,9,另一个三角形三边长分别为6,6,8,两个三角形周长相等（{不是全等三角形的判定定理）,却不全等,为假命题； ,为真命题,则是 的必要条件； 若,则, 不是无理数,为假命题. 5.B【解析】 由题意画出关系示意图,如图. 由,,形成闭环知,,,故是的充要条件,是的充要条件,是 的充要条件,故①正确,③④错误；易得,,故是 的充分不必要条件,②正确. 6.D【解析】 探求使不等式成立的必要不充分条件，即寻找大于该范围的选项. 由得,所以 是选项中对应集合的真子集. 是充要条件； ,即是 成立的充分不必要条件； 与无包含关系,即是 成立的既不充分也不必要条件； ,即是 成立的必要不充分条件. 7.ABC【解析】 探求使不等式成立的充分不必要条件,即寻找在解集范围内,且小于该范围的选项.当时,方程为 ,此时方程的根为负根, 当时,方程 , 当方程有两个负根时,则有解得 , 当方程有一个负根一个正根时,则有解得 , 综上所述,当关于的方程至少有一个负根时,有 ,（充要条件）选项中，比 小的范围有A,B,C. 8.④ ① 【解析】 ①或,即, 至少有一个为0； ②,互为相反数,则, 可能均为0,也可能为一正数一负数； ③, 为任意实数； ④或即, 都不为0且同号. 综上可知, （1）使,都不为0的充分条件是④；（2）使, 至少有一个为0的充要条件是①. 9.A【解析】 由“”是“”的充分不必要条件,则是的真子集,结合数轴可得 .（时, ,仍满足题意） 所以 不能是2. 10.BCD【解析】 由十字相乘法得,解得或 ,因为是的必要不充分条件,所以是,的真子集,则 可以是 ,或 . 当时,易得 ； 当,可得 ； 当,可得 . 11.B【解析】 因为,所以 或 ,（十字相乘法） 因为是的充分条件,所以,所以 . 12.(1)【答案】要使 是的充要条件,需使,则 此方程组无解, 故不存在实数,使是 的充要条件. (2)【答案】 要使是 的必要条件,（必要条件和必要不充分条件的区别, 前者是子集,后者是真子集）需使 . 当时,,解得 ,满足题意； 当时,,解得,要使,则有解得 ,所以 . 综上可得,当实数时,是 的必要条件. 13(1)【答案】充分性：当时, ,充分性成立. 必要性：由,得,即 ,必要性不成立.故“”是“ ”的充分不必要条件. (2)【答案】 充分性：若,则 ,充分性成立. 必要性：若,则,必要性成立. 故“ ”是“ ”的充要条件. 14.证明充分性即证明关于的方程有一个根为 . 由,得,代入方程得,即 , 所以是方程 的一个根,充分性成立. 证明必要性即证明是方程的一个根 . 将代入方程,得 ,必要性成立. 综上可知,关于的方程有一个根为的充要条件是 . 15.【答案】充分性：当时, 可化为 ,即 ,所以 , 则,所以,即 ,则 为等边三角形,充分性成立. 必要性：为等边三角形,且,所以 ,则 ,必要性成立. 故为等边三角形的充要条件是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $