精品解析：广西南宁市第二中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷

南宁二中2025年9月高三月考 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项． 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 2. 下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（ ） A. B. C. 2 D. 18 4. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 18种 D. 36种 5. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则在区间（ ）上一定存在极值点. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 对于给定的异面直线、，以下判断正确的是（ ） A. 存在平面，使得， B. 存在直线，使得同时与、垂直且相交 C. 存在平面、，使得，，且 D. 对于任意点，总存在过且与、都相交的直线 10. 已知A，B，C，D四点均在双曲线上，则四边形ABCD可能为（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 11. 已知函数的最大值为0，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过三点的圆的方程为_____． 13. 已知非零向量，满足，则______． 14. 已知数列满足：，，，，，且当n≥5时，，若数列满足对任意，有，则___________；当n≥5时， __________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，，． （1）求a； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. （1）求点B到平面CDE的距离； （2）求二面角的正切值. 17. 已知抛物线仅经过中的一点. （1）求的方程； （2）过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 18. 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Infinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一直继续下去，得到，，，…，．一般地，作点处曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值，称数列为牛顿数列． （1）已知函数的零点为r，，求r的2次近似值． （2）函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 19. 甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. （1），若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）时，若两人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出，，，的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为.证明：时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2025年9月高三月考 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项． 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 2. 下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质或举例子逐一判断即可. 【详解】对A.当时，此时不能推出，不满足必要性； 对B.由，可得；反之不成立，满足必要不充分； 对C. 当时，此时不能推出，不满足必要性； 对D.由，可得，反之也可推出，是充要条件. 故选：B. 3. 一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（ ） A. B. C. 2 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据功，即可求得物体所做的功． 【详解】由题意可知，， ， 所以对该物体所做的功为． 故选：D． 4. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 18种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法，先将2个小球捆绑成一个整体，再与剩余的小球排列即可. 【详解】先取2个小球看成一个整体，共有种不同情况， 再与剩余的2个小球排列，共有种不同情况， 所以每个盒子都不空的放法共有种. 故选：D. 5. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 6. 设，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义，以及在焦点三角形中运用余弦定理建立关于双曲线和椭圆离心率的方程解出即可. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得： ， ， 设， 则在中由余弦定理得： ， 即 化简得：， 所以， 又因为双曲线的离心率为， 所以椭圆的离心率为， 故选：B. 7. 已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式得，由点在图象上求得，即得，根据区间零点个数及正弦函数的性质可求参数范围. 【详解】由题设，且， 所以，可得， 所以， 当，则， 依题在上无零点，则在上恒成立， 因为当时，使得的最小值为， 所以要使在上恒成立，需满足，解得 又，故得. 故选：A 8. 已知函数，则在区间（ ）上一定存在极值点. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意可设，，进而结合极值点的定义分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，，则， 要使存在极值点，则一定有两个变号零点， 可设，，则 当时，函数开口向上，且， 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 同理，当时，函数开口向下，且， 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 综上所述，函数在一定存在极值点. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 对于给定的异面直线、，以下判断正确的是（ ） A. 存在平面，使得， B. 存在直线，使得同时与、垂直且相交 C. 存在平面、，使得，，且 D. 对于任意点，总存在过且与、都相交的直线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用反证法可判断A选项的正误；利用两异面直线存在公垂线可判断B选项的正误；利用面面平行的性质可判断C选项的正误；假设点既不在直线上，也不在直线上，则点与直线可确定平面，结合图形可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若存在平面，使得，，则，与题设条件矛盾，假设不成立，A选项错误； 对于B选项，作直线，使得且，则直线、确定平面，如下图所示： 过点作直线，使得. ①若与相交，则直线即为所求作的直线， ，，所以，，，，所以，， 即直线同时与、垂直且相交； ②若直线与异面，过直线作平面，使得， 设直线与确定的平面为，且，由线面平行的性质定理可得， ，则，，，，，同理可知，， 由图可知，，，，则，同理可知，直线与也相交. 此时，存在直线，使得同时与、垂直且相交. 综上所述，存在直线，使得同时与、垂直且相交，B选项正确； 对于C选项，作直线，使得直线与相交且，直线与确定平面， 作直线，使得直线与相交且，直线与确定平面， ，，，所以，，同理可得， 因为直线与相交，且直线与确定平面，所以，， 因此，存在平面、，使得，，且，C选项正确； 对于D选项，若点既不在直线上，也不在直线上，则点与直线可确定平面， 当时，无法找到过点的直线同时与、相交，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 10. 已知A，B，C，D四点均在双曲线上，则四边形ABCD可能为（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性和渐近线的性质，结合选项中图形的形状，即可判断选项. 【详解】等腰梯形和矩形都是轴对称图形，而双曲线也是轴对称图形， A.取与轴对称的两组点，，，，，顺次连结这四点，可以构成等腰梯形，故A正确； C.同样取与轴对称的两组点，，，，，顺次连结这四点，可以构成矩形，故C正确； 而菱形和正方形不仅是轴对称，而且是中心对称，并且对角线互相垂直，而双曲线是等轴双曲线，渐近线互相垂直，所以双曲线上连结两组关于原点对称的直线的夹角为锐角，不可能垂直，所以不能构成菱形和正方形，故BD错误. 故选：AC 11. 已知函数的最大值为0，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得到的图象与的图象的上方相切．分直线与相切，和直线与相切求解即可. 【详解】因为的最大值为0，所以的图象与的图象的上方相切． 第一种情况，直线与在上的图象相切， 设切点为，，所以， 解得，，又， 所以． 取，得，取，得， 第二种情况，直线与在上的图象相切， 设切点为，，所以， 解得，，又， 所以． 取，得， 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过三点的圆的方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的方程，代入三点坐标，解方程组可得． 【详解】设圆的方程是：， 因为圆过三点， 所以，解得， 所以圆方程为，即, 故答案为：． 13. 已知非零向量，满足，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由题可得，则，共线，从而，据此可得答案. 【详解】由，得，则，共线， 因此，整理得，而，均为非零向量，所以． 故答案为： 14. 已知数列满足：，，，，，且当n≥5时，，若数列满足对任意，有，则___________；当n≥5时， __________． 【答案】 ①. 65 ②. 【解析】 【分析】根据题意，直接计算，然后，因为，利用，进而得到为等差数列，列出通项公式即可求解 【详解】由题意得， 当时，由，可得， 又因为， 所以， 所以当时，数列的各项组成等差数列， 故； 故答案为：①65，② 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，，． （1）求a； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求解； （2）若选择条件①，利用同角三角函数平方关系先求，利用两角和的正弦公式得，再利用正弦定理求，最后由三角形的面积公式即可求解； 若选择条件②，利用余弦定理即可求，进而得，再由三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为在中， ， 由正弦定理，      ，                               因为，所以 ； 【小问2详解】 若选择条件①：， 因为在中，，所以， 所以由正弦定理得，                    所以，                 故，                                         又由正弦定理得 ， 所以三角形的面积为： ；                    若选择条件②：， 将,代入余弦定理 ， ，                   解得：，              进而得，                  所以三角形的面积为： . 16. 如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. （1）求点B到平面CDE的距离； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案； （2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可. 【小问1详解】 ∵平面平面 ∴， 又  两两互相垂直， 则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量 即 令，可得 ， ， 记点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为4. 【小问2详解】 由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 由图可知 ， ， 由图知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为，正弦值为， 二面角的正切值为. 17. 已知抛物线仅经过中的一点. （1）求的方程； （2）过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可. 【小问1详解】 抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点. 18. 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Infinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一直继续下去，得到，，，…，．一般地，作点处曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值，称数列为牛顿数列． （1）已知函数的零点为r，，求r的2次近似值． （2）函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干中的为的1次近似值和为的2次近似值的定义即可求解； （2）（i）根据题意，得到数列的递推关系式，得到数列为等比数列，求和得证；（ii）假设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，推出矛盾即可求证． 【小问1详解】 函数，求导得， 则，而， 在处的切线方程为，即. 令，得，则， 在处的切线为，令，得， 所以的2次近似值为. 【小问2详解】 （i）因为，则， 可得， 过点作曲线的切线， 令，得， 则， 又因为是函数的两个零点，则， 且，则， 可得， 故数列为等比数列；则， 所以；           （ii）由（i）知，所以， 所以. 假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，所以，即， 即， 又因为成等差数列， 所以， 所以， 化简得， 所以， 又，即 所以， 可得：与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项成等比数列. 19. 甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. （1），若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）时，若两人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出，，，的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为.证明：时，. 【答案】（1）的分布列为： 1 3 5 （2），，， （3） 证明：结合（2），由全概率公式得： ， 所以， 当时，， 又 ， 因为，所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （2）分析可得时，，故乙最终获胜，则，同理求出其他的条件概率； （3）在（2）的基础上，结合全概率公式可得，故，当时，，在利用作商法和基本不等式得到，最终证明出结论. 【小问1详解】 的可能取值为1，3，5，，，， 的分布列为： 1 3 5 ； 【小问2详解】 当时，， 故乙最终获胜，则， 当时，，， 故只有最后两场甲全赢才能最终获胜，故， 当时，，， 最后两场甲至少赢一场才能最终获胜，故， 当时，， 故甲最终获胜，故； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $