4.3对数7题型分类讲义（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练（人教A版必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.3对数7题型分类 一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.　 　　　　 （一） 对数的概念 对数有意义的两个条件： ①底数大于零且不等于1； ②对数的真数必须大于零． 题型1：对数的概念 1．（2025高一·全国·课前预习）判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)不是 【分析】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【详解】（1）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （2）原式中的底数是，而不是常数，故不是对数函数． （3）原式中的底数是，且不等于1，符合对数函数的定义，是对数函数． （4）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （5）原式中的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数． 2．（2025高一·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的为 ．（填序号） 【答案】② 【分析】根据对数函数定义逐个判断. 【详解】①的系数是3，不是1，不是对数函数． ②符合对数函数的结构形式，是对数函数． ③自变量在底数位置上，不是对数函数． ④对数式后又加上1，不是对数函数． 故答案为：② 3．（25-26高一·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 4．（2025高一·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. （二） 指数式与对数式的互化 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　 题型2：指数式与对数式互化 5．（25-26高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. 6．（2025高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 7．（2025高一·全国·课后作业）将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由指数式和对数式的关系：且，依次分析即可. 【详解】（1），可得. （2），可得. （3），可得. （4），可得. （三） 利用指数式与对数式的关系求值 指数式与对数式的关系求值的基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． ③指数式与对数式的关系求值基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．　　 题型3：利用指数式与对数式的关系求值 8．（25-26高一·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解； 【详解】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 9．（2025高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数式与指数式的互化公式求解即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） 10．（25-26高三·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 11．（25-26高一·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由对数的概念知，故，即. 故选：A. 12．（2025·四川乐山·模拟预测）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 13．（2025高一·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由，得，解得或（舍去）， 由，得， 则． 14．（2025·山东临沂·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【答案】D 【分析】由指对互化公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. （四） 对数的性质及对数恒等式 1、利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2、性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 题型4：对数的性质及对数恒等式 15．（2025高二·江苏常州·期末）（    ） A．－5 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算性质即可求解. 【详解】. 故选：. 16．（25-26高一·全国·单元测试）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数的运算性质可得答案. 【详解】． 故选：C. 17．（2026高三·全国·专题练习）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据对数运算性质即可得到答案. 【详解】原式. 故选：B. 18．（2025高三·天津·阶段练习）计算式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数运算求得答案. 【详解】. 故选：A （五） 对数运算性质的应用 1、对数运算基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2、对数的运算两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 题型5：对数的运算 19．（2025高三·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）求值： ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算求解. 【详解】 . 故答案为： 20．（2025高三·北京·专题练习） . 【答案】 【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值. 【详解】原式 故答案为： 21．（25-26高一·新疆·期中）求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算法则，即可求得答案； （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 22．（2025高一·广东中山·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算性质，进行运算，即可求解； （2）根据题意，利用指数幂的运算性质和对数的运算性质，进行运算，即可求解. 【详解】解：（1）由对数的运算性质，可得； （2）由指数幂与对数的运算性质，可得： 原式. （六） 换底公式的应用 1、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 2、利用换底公式求值的思想与注意点 题型6：换底公式的应用 23．（2025高二·云南·期末）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对数换底公式得解. 【详解】， 故选：A 24．（25-26高三·江苏盐城·阶段练习）若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式互化公式可把用对数表示出来，代入到中，再利用换底公式以及对数的运算法则可得答案. 【详解】由，得；由，得， 则：， 则， 则：， 故选：D 25．（25-26高三·四川广安·开学考试）已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据换底公式和对数运算公式即可求解. 【详解】由可得，由可得， 所以. 故选：B 26．（25-26高一·全国·课前预习）已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式代入运算得解. 【详解】由题知，所以，， 故，解得． 故选：A. 27．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D. 28．（25-26高一·新疆·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根式与指数幂间的关系及根式、指数幂的运算律，即可求解； （2）利用换底公式及指对幂的运算律，即可求解. 【详解】（1） . （2） . 29．（25-26高一·新疆·期中）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】第一问利用分数指数幂等公式求解；第二问利用对数公式求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 30．（2025高二·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）、（2）利用对数法则计算出答案即可； （3）利用指数式化为对数式、换底公式进行化简即可. 【详解】（1） . （2） . （3）由，得， 由，得， 所以 ． 31．（25-26高一·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17. 【分析】（1）（2）（3）（4）应用对数的运算性质及指对数的关系化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）. （七） 对数运算的综合与实际应用 1、应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 2、解决对数应用题的一般步骤 题型7：对数运算的综合与实际应用 32．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 【答案】A 【分析】根据已知条件代入计算求解. 【详解】由题可得，则， 故选：A． 33．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）．某强酸溶液加水稀释后值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（    ） A．2 B． C．100 D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出方程，利用对数的运算性质和指对数的互化计算即得. 【详解】设稀释前溶液的值为，氢离子的浓度为， 加水稀释后值为，氢离子的浓度为. 则， 两式相减，可得， 化简得，解得. 故选：D. 34．（2025高三·湖北·阶段练习）2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（   ）（参考数值：，结果精确到kg） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据题意，， 令，则， 所以，则， 即 所以. 故选：B 35．（2025高一·北京·期末）长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式，直接代入数值计算，即可得答案. 【详解】由可得， 即，则， 故选：C 36．【多选】（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先代入表格数据中的前2组数据，求，判断A，再根据解析式，代入求，判断B，根据解析式，结合，求的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D. 【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 37．（2025高三·全国·专题练习）核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（    ） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1% 【答案】C 【分析】由题意得，化简后可求出的值. 【详解】由题意得，即， 整理得，所以， 所以， 故选：C． 1．（2025高一·全国·课后作业）在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　) A．b<2或b>5 B．2<b<5 C．4<b<5 D．2<b<5且b≠4 【答案】D 【详解】由对数的意义得，解得且． 所以实数b的取值范围是且．选D． 2．（2025高一·全国·课后作业）已知，则am＋2n等于(　　) A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】先把对数式化为指数式，然后再根据幂的运算性质求出结果． 【详解】∵， ∴am＝，an＝3. ∴am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝． 故选D． 【点睛】本题考查对数式和指数式间的互化和幂的运算，解题时根据相应的运算性质逐步求解即可得到结果，但要注意计算的准确性，属于基础题． 3．（2025高一·全国·课后作业）使成立的x值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据对数运算法则可得，解方程得. 【详解】由得，可得 所以，解得 故选：D 4．【多选】（2025高一·江西吉安·阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【分析】根据对数的概念可得出. 【详解】对于A：可化为，所以A正确； 对于B：可化为：，所以B不正确； 对于C：可化为与，所以C正确； 对于D：可化为：，所以D正确. 故选：ACD. 5．（2025高一·湖北襄阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接令，解得x再代入中即可得到答案. 【详解】令，则， 所以 故选：B 6．（2025高一·全国·假期作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算法则计算可得答案. 【详解】原式. 故选:C 【点睛】本题考查了对数的运算法则,属于基础题. 7．（2025高一·全国·课后作业）如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则，直接整理，即可得出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则即可，属于基础题型. 8．（2025·四川）计算 . 【答案】 【分析】利用对数、指数的运算性质计算即可得解. 【详解】原式. 故答案为：. 9．（2025高一·全国·课后作业）若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则＝ . 【答案】4 【分析】由题意得，化简得 ，解出 的值（注意）. 【详解】由题可知 ， ∴ ， （舍去）或 . 即答案为4. 【点睛】本题考查对数的运算性质的应用，一元二次方程的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题． 10．（2025高一·全国·课后作业）若，则 . 【答案】 【分析】利用换底公式和对数运算法则计算得到，求出答案. 【详解】由已知得，而， 故，所以. 故答案为： 11．（2025高一·全国·课后作业）若满足，则 ． 【答案】8或 【分析】设，利用换元法可将原方程转化为，解得出t的值，再解对数方程即可. 【详解】设，则原方程可化为，解得或， 所以或，解得或． 故答案为：8或 12．（2007·湖南）若，，则 ． 【答案】3 【分析】两边同时次方即可得到a的值，代入即可计算. 【详解】因为，∴两边同时次方得， 所以 故答案为：3. 13．（2025高一·全国·课后作业）已知x＝log23，求＝ . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化，代入即可求解. 【详解】由x＝log23，得2x＝3，∴2－x＝＝， ∴23x＝(2x)3＝33＝27,2－3x＝， ∴＝. 故答案为： 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了基本运算，属于基础题. 14．（2025高一·全国·课后作业）计算: . 【答案】0 【解析】根据指数式对数式恒等式、对数的定义和性质直接计算即可. 【详解】解: 原式. 故答案为：0 【点睛】本题考查了指数式对数式的恒等式，考查了对数的定义和性质，考查了数学运算能力. 15．（2025高一·山东德州·期末）在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．函数，定义使为整数的数叫做企盼数，则在区间内，这样的企盼数共有 个． 【答案】9 【分析】由对数换底化简后，根据新定义累乘后可得，再由企盼数定义可得，转化为求满足的n的个数. 【详解】令， ， 要使成为企盼数，则， ，即， ， 可取. 所以在区间内，这样的企盼数共有9个. 故答案为：9 16．（2025高一·山东聊城·期末）声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，称为“声压”，用P表示（单位：Pa（帕））；“声压级”S（单位:dB（分贝））表示声压的相对大小，已知．两个不同声源的声压，，叠加后的总声压．现有两个声压级为的声源，叠加后的声压级是 dB（参考数据：取）． 【答案】63 【分析】根据已知条件以及对数运算求得正确答案. 【详解】由，整理得，则， 叠加后的总声压为， 所以叠加后的声压级是 . 故答案为： 17．（2025高一·全国·课后作业）在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）､燃料的质量（单位）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）满足（为自然对数的底数，）.当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）. 【答案】 【分析】两边取对数得到，代入得到答案. 【详解】两边取对数得， 所以. 故当燃料质量为火箭质量的两倍时，火箭的最大速度为. 18．（2025高一·江苏·单元测试）已知，·log5x=-1，试问是否存在一个正数P，使得P=． 【答案】存在一个正数P=3，使得P=成立． 【分析】解方程求出后可得． 【详解】由，得2y=0， ∴logy4=，即y=16． 由·log5x=1， 得=， 即=logx5>0． ∴(logx5+1)=(logx5)2， 整理得2(logx5)2logx51=0， 解得logx5=(logx5=1舍去)，∴=25． 从而P==3， 即存在一个正数P=3，使得P=成立． 【点睛】本题考查解对数方程和指数方程，掌握对数函数与指数函数的性质是解题关键． 19．（2025高一·全国·课后作业）已知，（，且），求的值． 【答案】1 【分析】根据对数的定义，结合指数的运算律，可得答案. 【详解】由，，则，， 原式. 20．（2025高一·江苏·假期作业）已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明． 【答案】或，证明见解析 【分析】设，则，可得，分类讨论和，即可得出答案. 【详解】或.证明如下： 设，则， 所以，因为，且，所以，即. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以或. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.3对数7题型分类 一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.　 　　　　 （一） 对数的概念 对数有意义的两个条件： ①底数大于零且不等于1； ②对数的真数必须大于零． 题型1：对数的概念 1．（2025高一·全国·课前预习）判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．（2025高一·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的为 ．（填序号） 3．（25-26高一·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （二） 指数式与对数式的互化 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　 题型2：指数式与对数式互化 5．（25-26高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 6．（2025高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 7．（2025高一·全国·课后作业）将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． （三） 利用指数式与对数式的关系求值 指数式与对数式的关系求值的基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． ③指数式与对数式的关系求值基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．　　 题型3：利用指数式与对数式的关系求值 8．（25-26高一·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 9．（2025高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（25-26高三·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 11．（25-26高一·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·四川乐山·模拟预测）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国·课后作业）已知，求的值． 14．（2025·山东临沂·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 （四） 对数的性质及对数恒等式 1、利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2、性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 题型4：对数的性质及对数恒等式 15．（2025高二·江苏常州·期末）（    ） A．－5 B． C． D．5 16．（25-26高一·全国·单元测试）（    ） A． B．3 C． D． 17．（2026高三·全国·专题练习）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 18．（2025高三·天津·阶段练习）计算式子的值为（    ） A． B． C． D． （五） 对数运算性质的应用 1、对数运算基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2、对数的运算两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 题型5：对数的运算 19．（2025高三·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）求值： ． 20．（2025高三·北京·专题练习） . 21．（25-26高一·新疆·期中）求下列各式的值： (1) (2) 22．（2025高一·广东中山·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． （六） 换底公式的应用 1、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 2、利用换底公式求值的思想与注意点 题型6：换底公式的应用 23．（2025高二·云南·期末）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（25-26高三·江苏盐城·阶段练习）若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 25．（25-26高三·四川广安·开学考试）已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 26．（25-26高一·全国·课前预习）已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 27．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一·新疆·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 29．（25-26高一·新疆·期中）求值： (1)； (2). 30．（2025高二·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 31．（25-26高一·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． （七） 对数运算的综合与实际应用 1、应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 2、解决对数应用题的一般步骤 题型7：对数运算的综合与实际应用 32．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 33．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）．某强酸溶液加水稀释后值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（    ） A．2 B． C．100 D． 34．（2025高三·湖北·阶段练习）2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（   ）（参考数值：，结果精确到kg） A． B． C． D． 35．（2025高一·北京·期末）长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 36．【多选】（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 37．（2025高三·全国·专题练习）核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（    ） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1% 1．（2025高一·全国·课后作业）在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　) A．b<2或b>5 B．2<b<5 C．4<b<5 D．2<b<5且b≠4 2．（2025高一·全国·课后作业）已知，则am＋2n等于(　　) A．3 B． C．9 D． 3．（2025高一·全国·课后作业）使成立的x值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．【多选】（2025高一·江西吉安·阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（2025高一·湖北襄阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·假期作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课后作业）如果，那么（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川）计算 . 9．（2025高一·全国·课后作业）若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则＝ . 10．（2025高一·全国·课后作业）若，则 . 11．（2025高一·全国·课后作业）若满足，则 ． 12．（2007·湖南）若，，则 ． 13．（2025高一·全国·课后作业）已知x＝log23，求＝ . 14．（2025高一·全国·课后作业）计算: . 15．（2025高一·山东德州·期末）在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．函数，定义使为整数的数叫做企盼数，则在区间内，这样的企盼数共有 个． 16．（2025高一·山东聊城·期末）声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，称为“声压”，用P表示（单位：Pa（帕））；“声压级”S（单位:dB（分贝））表示声压的相对大小，已知．两个不同声源的声压，，叠加后的总声压．现有两个声压级为的声源，叠加后的声压级是 dB（参考数据：取）． 17．（2025高一·全国·课后作业）在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）､燃料的质量（单位）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）满足（为自然对数的底数，）.当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）. 18．（2025高一·江苏·单元测试）已知，·log5x=-1，试问是否存在一个正数P，使得P=． 19．（2025高一·全国·课后作业）已知，（，且），求的值． 20．（2025高一·江苏·假期作业）已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $