4.2指数函数16题型分类讲义（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练（人教A版必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.2指数函数16题型分类 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因： (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意：（1）由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 五、与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． （一） 指数函数的概念 1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． 2、判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 题型1：指数函数的概念 1．（2025高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可. 【详解】①中，的系数是－1，故①不是指数函数； ②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数； ④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． ⑤中，底数，不是指数函数． 综上，指数函数的个数为1， 故选：B. 2．【多选】（2025高一·全国·单元测试）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可. 【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合； 对于B，且，故符合. 故选：BC 3．【多选】（2025高一·全国·课后作业）下列函数中，是指数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用指数函数的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】形如(且)形式的为指数函数，以上满足的条件的为AD. 故选：AD. （二） 指数函数的解析式及应用 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式. 题型2：求指数函数的解析式或求值 4．（2025高一·云南昭通·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】令，求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为， 令，解得，则. 故选：B 5．（2025高一·辽宁·期末）已知函数，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．33 【答案】B 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故选：B. 6．（2025高一·河南·期中）已知函数，且，若，则（   ） A． B． C．10 D．100 【答案】A 【分析】利用给定的函数解析式求出，再代入求得答案. 【详解】依题意，由，得， 所以. 故选：A 7．（2025高二·新疆·学业考试）若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设且，根据函数过点求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 8．（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 题型3：根据函数是指数函数求参数 9．（25-26高一·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 10．（2025高一·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 11．（2025高一·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 12．（2024高二·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. （三） 指数型函数的实际应用 1、常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 2、解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　 题型4：指数型函数的实际应用 13．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 14．（25-26高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案. 【详解】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B 15．（25-26高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 16．（25-26高一·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． 【答案】3.2（万元） 【分析】根据题意，得出方程组，两式相乘，得到本利和，进而得到利息的值，得到答案. 【详解】由题意，可得，则， 即存期，本利和为，则存期，总利息为（万元）． （四） 指数函数的图象及应用 1、识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2、解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 题型5：指数函数的图象特征 17．（2025高一·全国·课后作业）指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得答案. 【详解】解：因为函数的图象是下降的，所以； 又因为函数的图象是上升的，所以. 故选：C. 18．（2025高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】由直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b即可求解. 【详解】解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而， 所以a，b，c，d的值分别是，，，， 故选：C. 19．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由题意可知当时，；当时，，结合指数函数的图象与性质即可判断. 【详解】函数定义域为，且 当时，函数是一个指数函数，因为， 所以函数在上是减函数；故排除A，C； 当时，函数图象与指数函数的图象关于轴对称， 在上是增函数．故排除B． 故选：D. 20．（2025·河南·模拟预测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【详解】的定义域为，排除D； 因为，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 21．（2025·江苏·模拟预测）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 22．（2025高一·广西南宁·期中）函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由时，函数的单调性和判断. 【详解】当时，函数单调递增，当时，， 故选：A 23．（2025高三·上海浦东新·期中）函数的图像可看成将函数的图像 A．向左平移个单位得到 B．各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到 C．向右平移个单位得到 D．各点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到 【答案】A 【分析】根据指数、对数运算得到，将化成，再根据图像的平移法可得选项. 【详解】根据指数、对数运算得，所以， 再根据图像的平移法则得将函数的图像向左平移个单位得到的图像， 故选A. 【点睛】本题考查指数、对数运算法则以及指数对数相互之间的转化关系，和图像的平移法则，属于基础题. 题型6：指数函数的图象变换 24．（2025高一·全国·课后作业）函数的图像是由函数的图像沿轴向 平移 个单位，再沿轴向 平移 个单位得到的． 【答案】 左 1 下 2 【分析】利用函数图象变换规律即得. 【详解】函数的图象由函数的图像沿轴向左平移1个单位得到函数的图象，再沿轴向下平移2个单位得到的. 故答案为：左；1；下；2. 25．（2025高一·上海杨浦·期中）若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据函数平移的规则得答案. 【详解】将函数的图像向右平移一个单位长度得到 即 故选：B. 26．（2025高一·北京·阶段练习）要得到函数的图象，可以将 A．函数的图象向左平移1个单位长度 B．函数的图象向右平移1个单位长度 C．函数的图象向左平移1个单位长度 D．函数的图象向右平移1个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减” 进行判断即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位后可得的图象. 故选：D. 27．（2025高二·北京通州·期末）已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可 【详解】解：将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，则， 再将的图象向右平移2个单位长度，则得到的函数关系数为， 因为所得图象恰好与函数的图象重合， 所以，，解得或（舍去）， 故选：D 题型7：指数型函数过定点问题 28．（2025高一·河南南阳·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且在上单调递增，求出的值，代入中，结合指数函数图象所过的定点，求图象过的定点. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故，此时，当时，，即的图象过定点． 故选：A 29．（2025高一·福建福州·期中）函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质即可得到过定点 【详解】指数函数（且）过定点， 所以，当时的值恒为2，即过定点， 故选：B 30．（2025高一·全国·课后作业）函数且所过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质，令即可求得定点. 【详解】令，即，则， 所过定点坐标为. 故答案为：. 31．（2025高三·重庆渝中·阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴，其图象不经过第四象限， 故选：D. 题型8：指数函数图象的应用 32．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 33．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可. 【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点， 故图象上关于原点对称的点有3对.      故选：C 34．（2025·山东临沂·模拟预测）直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】画出的图象关于原点对称的图象，再判断其与函数 交点个数即可. 【详解】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数的图象关于原点对称的图象， 判断其与函数图象 交点个数即可， 如图所示： 当时，，当时，，且， 观察图象可得：它们有2个交点，故的“姊妹对点”有2个. 故选：B． 35．（25-26高一·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 36．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 【详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 37．（2025高二·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. （五） 与指数函数有关的定义域和值域问题 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型9：与指数型函数有关的定义域问题 38．（2025高一·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 39．（2025高一·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 40．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 41．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 42．（2025高二·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 题型10：与指数型函数有关的值域（最值）问题 43．（2025高二·云南·期末）已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知函数得单调性求闭区间上的函数值域即可. 【详解】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 44．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域简化集合，根据函数值域简化集合，即可求解. 【详解】集合中，函数有意义需满足，即，故. 集合中，函数，因为恒成立，所以，故. 所以. 故选：C. 45．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 46．（25-26高三·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 47．（25-26高三·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 48．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为， 当时，， 要使得定义域和值域的交集为空集，则， 又时，， 若，则，此时显然不满足题意， 若，则在上单调递减，， 故， 所以，解得. 故选：B. 49．（2025高一·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 50．（2025高一·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 51．（2025高一·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 52．（2025高一·河北张家口·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段求函数的值域，再根据函数的值域为，列式求得到取值范围. 【详解】当时，， 当时，，函数的值域，不成立， 当时，，，单调递减，， 函数的值域，不成立， 当时，，，单调递增，， 函数的值域是，所以，解得， 所以. 故选：A 53．（2025高一·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 54．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． （六） 单调性及其应用 1.比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 2.解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，借助函数y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如af(x)>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解． 注意(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等． 题型11：求指数型函数的单调区间 55．（2025高三·全国·专题练习）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由对勾函数及复合函数的单调性进行求解. 【详解】令, 则，由对勾函数的单调性知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，由得， 所以由复合函数的单调性知，函数的单增区间为， 故选：A 56．（2025高一·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，代入函数，结合，推出，所以，对绝对值函数单调性进行分段讨论求解. 【详解】由, 所以. 当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增； 当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减. 所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）. 故选：A. 57．（2025高二·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 58．（2025高一·重庆江北·期末）函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【详解】令，，则， ∵在上为增函数，在上为减函数， ∴的减区间为. 故选：B. 59．（2025高一·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 题型12：根据指数型函数的单调性求参数 60．（2025高二·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 61．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 62．（2025高二·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 63．（2025高二·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得. 故选：B. 64．（2025高一·安徽阜阳·期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 65．（2025高一·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 题型13：利用指数型函数单调性比较大小 66．（25-26高三·安徽·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义，结合函数的单调性，即可判断. 【详解】由，得，则，即， 由，得，则， ， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 67．（25-26高三·湖南·阶段练习）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者的推出关系可得条件关系，从而可得正确的选项. 【详解】若，则，若均为负数，则均无意义， 故推不出； 若，则，而为上的减函数，故， 故能推出， 故是的必要不充分条件， 故选：B. 68．（25-26高一·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【详解】，在上单调递增， ，故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 69．（25-26高三·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 所以函数在为增函数， 又为增函数，所以函数在为增函数， 由于，所以， 故. 故选：B. 题型14：利用指数型函数的单调性解不等式 70．（25-26高三·四川遂宁·阶段练习）已知函数． (1)若，解不等式； (2)若，求时的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出t的范围，再根据指数函数的单调性即可求解； （2）根据指数函数的单调性和函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性即可求出其值域． 【详解】（1）当时，，不等式即． 令，则不等式可化为，即， ∵，∴，即， ∵，∴，∴，即． 又∵，∴，即． ∵指数函数在上单调递增，∴． 因此，不等式的解集为； （2）当时，． ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递增， ∴， 即时的值域为． 71．（2025高三·全国·专题练习）解关于的不等式 【答案】答案见解析 【分析】将原不等式化为，然后按照、、、分类讨论，根据指数函数单调性解不等式即可． 【详解】原不等式可化为，即．讨论如下： （1）当时，，此时无解． （2）当时，，所以． （3）当时，； 若，则； 若，则． 综上，当时，原不等式解集为空集；当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 72．（2025高三·全国·专题练习）解不等式：． 【答案】或 【分析】令，原不等式可化为：，求得或，然后再利用指数函数的单调性求解即可. 【详解】令，原不等式可化为：． 即，即， 解得或，所以或． 所以或， 由此得原不等式的解集为或． 73．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知集合 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过求解分数不等式及指数不等式，再结合交集运算即可求解. 【详解】由可得：， 即，所以， 由，可得，所以， 所以， 故选：B 74．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数单调性分类讨论即可求解不等式的解集. 【详解】作出的图象如图所示. 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， ， 令得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：C. 75．（2025高三·全国·专题练习）设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数得到性质，再将转化为，由函数的单调性解得. 【详解】由题意可列，得. 即关于点对称． 因为，所以是增函数，为减函数，为增函数， 故单调递增． 所以，， 即需满足，解得或. 故选：D． （七） 指数函数性质的综合应用 1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 2、若函数 y= f(x)在区间D上是增(减)函数，则复合函数当a>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<a<1时，在区间D上是减(增)函数.　 题型15：指数型函数的奇偶性 76．（2025高二·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 77．（2025高二·江西宜春·阶段练习）若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】法一：由奇函数的性质得化简即可；法二：由，解得，再检验是奇函数即可. 【详解】法一：因为为奇函数， 所以 ， 所以，解得． 检验：当时，的定义域为，不合题意； 当时，的定义域为R，符合题意，故． 法二：由题意，，解得． 而当时，， 又， 所以． 故答案为: 78．（2025高一·全国·课后作业）在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质，利用在上是奇函数，可得，计算可求得，利用单调性结合已知可求得a的取值范围. 【详解】由是上的奇函数，得，解得， 因为，所以，又在上是增函数， 所以是增函数，所以, 综上可得的取值范围是. 故答案为： 79．（2025·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性知，代入相应解析式计算即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数，且当时，， . 故选：C. 80．（2025·浙江·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由奇函数定义可得答案. 【详解】当时，，则，所以，. 故选：C． 81．（2025·浙江·模拟预测）已知函数，为奇函数，则 ． 【答案】-3 【分析】可根据奇函数的性质来求解与的值，进而得到的值． 【详解】因为函数为奇函数， 所以，当时，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 82．（2025高一·云南曲靖·阶段练习）设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇函数定义化简的表达式可得结论； （2）利用函数单调性定义直接按照步骤即可判断得出证明. 【详解】（1）由题意，得，即函数的定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数. （2）设是内任意两实数，且， 则， ∵，∴，∴， ∴函数在内是增函数. 题型16：指数函数的综合应用 83．（25-26高二·云南昆明·阶段练习）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，，结合二次函数及指数函数的性质求解即可； （2）令，结合指数型复合函数的单调性分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 令，， 由二次函数的图象和性质，当时，取得最小值， 当时，，则， 所以，即在上的值域为. （2）令，其图象的对称轴为直线，开口向上， 当时，为减函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递减，即， 解得，则； 当时，为增函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递增，即， 解得，则. 综上，实数的取值范围是. 84．（2025高一·四川广安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； (3)若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；在上单调递增； (2)，； (3)存在， 【分析】（1）根据题意，由，求得，得到函数的解析式，结合单调性的定义与判定方法，即可求解； （2）根据题意，得到，得出，得到，结合指数函数的性质，即可求得的值域； （3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，函数的定义域为关于原点对称， 且，满足是奇函数， 又由， 任取且， 则， 因为，可得且， 所以，即，所以函数是上的单调递增函数. （2）解：由（1）得， 可得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 可得，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域为. （3）解：由在区间[1，2]上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 85．（25-26高三·湖南邵阳·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，，且，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在定义域内单调递增，证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用定义法判断并证明的单调性； （2）利用图像关于点成中心对称图形的充要条件证明； （3）根据单调性和对称性可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可． 【详解】（1）函数在定义域内单调递增，证明如下： ，任取，，令， 则，，， 故， 即，所以在定义域内单调递增． （2）证明：因为的定义域为， ，， 有， 所以的图象关于点对称． （3）因为，即， 由（1）可知：在定义域内单调递增，则， 由（2）可知：，即， 可得，即， 由，得， 即，解得， 所以实数的取值范围为． 86．（25-26高二·上海·阶段练习）设函数的表达式为. (1)函数为偶函数.求实数的值； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据单调性的定义判断函数的单调性，再结合奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数为偶函数， 所以，， 所以，， ， ，即， 因为当且仅当时，， 又，所以. （2）当时，. 由（1）知是偶函数， 当=， 即函数在单调递增，又是偶函数， 因此， 两边平方得， ，即，解得或 所以实数的取值范围是. 1．（2025高一·广东湛江·阶段练习）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可. 【详解】根据题意可得，，则. 故选：D 2．（2025高一·全国·课后作业）我国2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2020年底我国人口总数是( ) A．    B．    C．     D． 【答案】C 【详解】因为2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，则： 2011年底的人口总数为M； 2012年底的人口总数为M； 2013年底的人口总数为M； 2014年底的人口总数为M； …… 以此类推，2020年底的人口总数为M； 故选：C． 7．【多选】（2025高一·全国·课后作业）（多选）设指数函数（且），则下列等式中不正确的有 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用指数幂的运算律对各选项中等式的正误进行验证，从而得出正确选项. 【详解】，A 正确； ，B正确； ，，C不正确； ，，D不正确. 故选CD. 【点睛】本题考查指数幂的运算，解题的关键就是熟练利用指数幂的运算律进行计算，考查计算能力，属于基础题. 8．【多选】（2025高一·全国·单元测试）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2 D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 【答案】AD 【分析】先利用特殊点求出函数解析式为y＝3t，再利用指数函数的性质即可判断出正误． 【详解】对于A：因为函数图象过点， 所以a＝3，即函数解析式为y＝3t， 所以浮萍每月的增长率为：， 即选项A正确； 对于B：因为浮萍第1个月增加的面积为， 浮萍第2个月增加的面积为， 所以浮萍每月增加的面积不相等， 即选项B错误； 对于C：当t＝4时，y＝34＝81＞80， 即选项C错误； 对于D：因为，，， 所以， 即 所以2t2＝t1+t3， 即选项D正确. 故选：AD． 9．【多选】（2025高一·全国·课后作业）若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】对于可直接根据指数函数的性质判断；对于,也可根据性质直接判断；对于,通过验证判断；对于,可以利用性质求出值域判定. 【详解】因为　在R上单调递增，则A错误； 与的图象关于y轴对称，则B正确； 由，得的图象过点，则C错误； 由，可得，则D错误， 故选： 10．（2025高一·全国·课后作业）若，，则函数的图像一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】A 【分析】首先根据，确定的图像经过的象限，然后由可知图像向下平移个单位即可得出选项． 【详解】由可得函数的图像单调递增，且过第一、二象限，由可得把的图像向下平移个单位可得的图像，结合可知，图像过第一、二、三象限． 故答案为A 【点睛】本题主要考查了指数函数的图像的应用及函数的平移，需掌握指数函数的图像以及平移法则． 11．（2025高一·山东淄博·期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为 . 【答案】 【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可. 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 12．（2025高一·全国·课后作业）定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为 ；最小值为 . 【答案】 【分析】先根据值域端点值求解出对应的值,再根据函数的对称性得到函数定义域情况，由此计算出区间长度的最值. 【详解】由，得，由，得， 故满足题意的定义域可以为或， 故区间的最大长度为，最小长度为. 故答案为；. 【点睛】本题考查新定义背景下指数型函数的定义域和值域的关系，难度一般. 13．（2025高一·广东广州·期末）已知函数为奇函数，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据求出的值，再验证即可. 【详解】由于函数定义域为，且为奇函数， 由，解得， 当时，， 是奇函数. 故答案为：2 14．（2025高一·全国·课后作业）已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域. 【详解】令，解得或， ∴的定义域为， 令，则其在上递减，在上递增， 又为减函数，故的增区间为． ∵，∴，故的值域为． 故答案为：，. 15．（2025高一·河南安阳·期中）已知函数是单调递减的指数函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义和指数函数单调性可构造方程求得的值； （2）将所求不等式化为，令，解关于的一元二次不等式可求得，进而根据指数函数单调性解得的范围. 【详解】（1）为指数函数，，解得：或， 或，又单调递减，，即. （2）由得：； 令，则，解得：，即，解得：， 的解集为. 16．（2025高一·湖北·期中）已知函数，. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，即可得解； （2）根据题意使得在的值域包含在上的值域即可. 【详解】（1）为奇函数，， ，此时，经验证符合题意； （2）， 令，，， 记，， 易知在[2，4]上单调递增， 故， 另外当时， 由题意：， 所以的取值范围为. 17．（2025高一·山东青岛·期中）已知函数. （1）求的值； （2）若函数，且，满足下列条件：①为偶函数；②且使得；③且恒过点.写出一个符合题意的函数，并说明理由. 【答案】（1）（2）；详见解析 【分析】(1)按照指数幂的运算法则直接计算即可 (2) ，证明其满足叙述的3个条件即可 【详解】（1）由题意知： （2）函数 证明如下：①，所以 所以为偶函数 ② 当且仅当，即时等号成立 ③，恒过点 【点睛】指数函数恒过点，对数函数恒过点. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.2指数函数16题型分类 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因： (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意：（1）由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 五、与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． （一） 指数函数的概念 1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． 2、判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 题型1：指数函数的概念 1．（2025高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 2．【多选】（2025高一·全国·单元测试）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．【多选】（2025高一·全国·课后作业）下列函数中，是指数函数的为（    ） A． B． C． D． （二） 指数函数的解析式及应用 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式. 题型2：求指数函数的解析式或求值 4．（2025高一·云南昭通·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 5．（2025高一·辽宁·期末）已知函数，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．33 6．（2025高一·河南·期中）已知函数，且，若，则（   ） A． B． C．10 D．100 7．（2025高二·新疆·学业考试）若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 题型3：根据函数是指数函数求参数 9．（25-26高一·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（2025高一·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 12．（2024高二·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 （三） 指数型函数的实际应用 1、常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 2、解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　 题型4：指数型函数的实际应用 13．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 14．（25-26高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 15．（25-26高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 16．（25-26高一·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． （四） 指数函数的图象及应用 1、识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2、解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 题型5：指数函数的图象特征 17．（2025高一·全国·课后作业）指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 18．（2025高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 19．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   20．（2025·河南·模拟预测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·江苏·模拟预测）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 22．（2025高一·广西南宁·期中）函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 23．（2025高三·上海浦东新·期中）函数的图像可看成将函数的图像 A．向左平移个单位得到 B．各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到 C．向右平移个单位得到 D．各点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到 题型6：指数函数的图象变换 24．（2025高一·全国·课后作业）函数的图像是由函数的图像沿轴向 平移 个单位，再沿轴向 平移 个单位得到的． 25．（2025高一·上海杨浦·期中）若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 26．（2025高一·北京·阶段练习）要得到函数的图象，可以将 A．函数的图象向左平移1个单位长度 B．函数的图象向右平移1个单位长度 C．函数的图象向左平移1个单位长度 D．函数的图象向右平移1个单位长度 27．（2025高二·北京通州·期末）已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A． B．3 C． D． 题型7：指数型函数过定点问题 28．（2025高一·河南南阳·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 29．（2025高一·福建福州·期中）函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 30．（2025高一·全国·课后作业）函数且所过的定点坐标为 ． 31．（2025高三·重庆渝中·阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型8：指数函数图象的应用 32．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 33．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 34．（2025·山东临沂·模拟预测）直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（25-26高一·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 36．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 37．（2025高二·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 （五） 与指数函数有关的定义域和值域问题 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型9：与指数型函数有关的定义域问题 38．（2025高一·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 39．（2025高一·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 40．（2025高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 41．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 42．（2025高二·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型10：与指数型函数有关的值域（最值）问题 43．（2025高二·云南·期末）已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 45．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高三·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高三·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 48．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 49．（2025高一·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．（2025高一·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 51．（2025高一·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 52．（2025高一·河北张家口·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．（2025高一·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 54．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （六） 单调性及其应用 1.比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 2.解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，借助函数y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如af(x)>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解． 注意(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等． 题型11：求指数型函数的单调区间 55．（2025高三·全国·专题练习）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 56．（2025高一·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 57．（2025高二·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 58．（2025高一·重庆江北·期末）函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 59．（2025高一·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型12：根据指数型函数的单调性求参数 60．（2025高二·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 61．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（2025高二·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 63．（2025高二·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．（2025高一·安徽阜阳·期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 65．（2025高一·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A．B．C． D． 题型13：利用指数型函数单调性比较大小 66．（25-26高三·安徽·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 67．（25-26高三·湖南·阶段练习）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 68．（25-26高一·全国·课堂例题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 69．（25-26高三·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 题型14：利用指数型函数的单调性解不等式 70．（25-26高三·四川遂宁·阶段练习）已知函数． (1)若，解不等式； (2)若，求时的值域． 71．（2025高三·全国·专题练习）解关于的不等式 72．（2025高三·全国·专题练习）解不等式：． 73．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知集合 则（    ） A． B． C． D． 74．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 75．（2025高三·全国·专题练习）设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （七） 指数函数性质的综合应用 1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 2、若函数 y= f(x)在区间D上是增(减)函数，则复合函数当a>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<a<1时，在区间D上是减(增)函数.　 题型15：指数型函数的奇偶性 76．（2025高二·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 77．（2025高二·江西宜春·阶段练习）若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为 ． 78．（2025高一·全国·课后作业）在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 79．（2025·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 80．（2025·浙江·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 81．（2025·浙江·模拟预测）已知函数，为奇函数，则 ． 82．（2025高一·云南曲靖·阶段练习）设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 题型16：指数函数的综合应用 83．（25-26高二·云南昆明·阶段练习）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 84．（2025高一·四川广安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； (3)若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 85．（25-26高三·湖南邵阳·阶段练习）已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，，且，恒有成立，求实数的取值范围． 86．（25-26高二·上海·阶段练习）设函数的表达式为. (1)函数为偶函数.求实数的值； (2)若，且，求实数的取值范围. 1．（2025高一·广东湛江·阶段练习）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 2．（2025高一·全国·课后作业）我国2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2020年底我国人口总数是( ) A．    B．    C．     D． 7．【多选】（2025高一·全国·课后作业）（多选）设指数函数（且），则下列等式中不正确的有 A． B． C． D． 8．【多选】（2025高一·全国·单元测试）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2 D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 9．【多选】（2025高一·全国·课后作业）若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 10．（2025高一·全国·课后作业）若，，则函数的图像一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 11．（2025高一·山东淄博·期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为 . 12．（2025高一·全国·课后作业）定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为 ；最小值为 . 13．（2025高一·广东广州·期末）已知函数为奇函数，则的值为 . 14．（2025高一·全国·课后作业）已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ． 15．（2025高一·河南安阳·期中）已知函数是单调递减的指数函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 16．（2025高一·湖北·期中）已知函数，. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 17．（2025高一·山东青岛·期中）已知函数. （1）求的值； （2）若函数，且，满足下列条件：①为偶函数；②且使得；③且恒过点.写出一个符合题意的函数，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $