精品解析：重庆市第一中学校2026届高三上学期9月月考数学试题

重庆一中高2026届高三9月月考数学试题 注意事项： 1.答卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时.选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号.回答非选择题时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分.共40分.每题给出的四个选项.只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由，则. 故选：B 2. 展开式中的系数为（ ） A. B. 24 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先写出的展开式的通项，再根据乘法分配律即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 故展开式中的系数为. 故选：D 3. 中，，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义结合余弦定理可求的值. 【详解】设所对的边分别为， 由余弦定理： 则. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式和基本关系式，求得，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得， 即，所以，则， . 故选：A. 5. 在物理学中音量大小用声强级η(单位：dB)表示，声强级η与声强I(单位：)的关系是：某一处的声强级η是该处的声强Ⅰ与参考声强I0的比值的常用对数的值再乘以10.已知声强为时对应的声强级为20dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为(单位：dB)，则学生早读期间读书的声强范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设求出声强级与声强的关系，再根据声强级范围求解即可. 【详解】声强级与声强的关系公式为，其中为参考声强. 当时，，代入公式可得，则， 根据对数定义，得，解得，即， 因为学生早读期间声强级范围为， 所以，解得， 因此，学生早读期间读书的声强范围为. 故选：C. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得,结合基本不等式即可求出的最小值. 【详解】已知，且，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故选：D 7. 已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得，利用图像的变换得，由得，进而得，解出即可. 【详解】由题意有：， 所以， 由有， 又函数在区间上恰有4个零点， 所以，解得，即， 故选：B. 8. 已知函数，若满足，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明函数为偶函数，利用导数证明在上单调递增，结合偶函数性质，单调性性质解不等式可求结论. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 对求导数，得， 当时，，， 所以，，故，当且仅当时取等号， 所以，函数在上单调递增， 不等式，可化为， 所以，又， 所以，因为函数为偶函数， 所以， 因为函数在上单调递增，，， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 设函数，则（ ） A. 有极大值点 B. 仅有2个零点 C. 在点处切线方程为 D. 的对称中心是 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求导判断函数的单调性，进而确定极值点和零点的情况；根据导数的几何意义求切线方程；利用函数对称性的性质判断对称中心. 【详解】函数，则， A，令，可得或. 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 所以是极大值点，是极小值点，正确； B，， 则在、、上各有一个零点，故函数有三个零点，错误； C，因为，故， 在处切线方程为，即，正确； D，， 即，故函数的对称中心是，正确； 故选：. 10. 椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是,为椭圆上任意一点，面积的最大值为，椭圆在点处的切线为，过点且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当点横坐标为1时，的内切圆半径 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由面积的最大值为，求得，得到，可判定A正确；由椭圆的定义，转化为，可判定B正确；取点的坐标为，结合面积相等法，求得的内切圆的半径为，可判定C不正确；由椭圆的光学性质，过点与垂直的直线为的角平分线，设，分别求得，结合，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A，由椭圆，可得， 因为面积的最大值为，可得，解得， 所以，即椭圆的方程为，所以A正确； 对于B，由椭圆，可得，且 由椭圆的定义，可得，所以， 则， 当且仅当共线，且位于的延长线上时，等号成立，所以B正确； 对于C，当的横坐标为时，代入椭圆的方程，可得， 不妨取点的坐标为，则面积为， 又由的周长为， 设的内切圆的半径为，可得，即， 解得，所以C不正确； 对于D，由椭圆的光学性质，可得点与垂直的直线为的角平分线， 则， 设，则且， 因为且， 所以，且, 又由， 可得， 整理得，解得或， 当时，，此时与点重合，不符合题意，舍去； 所以，所以，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知非零向量，其中向量夹角为θ，定义运算：，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. D. 若，则的最小值为4 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，举反例均为单位向量，且两两夹角为，结合运算的定义即可；对于B、C求出，即可得出，再结合运算的定义即可；对于D，结合运算的定义求出， ，最后利用基本不等式即可求出. 【详解】对于A，若均为单位向量，且两两夹角为，则与反向， 则， ，， 此时不满足，故A错误； 对于B，若，，则， 因，则， 则，故B错误； 对于C，若，则， 因，则， 则， 故C正确； 对于D，因， 则， 因，则，则， 则， 等号成立时， 则的最小值为，故D正确. 故选：CD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量满足，且 ，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，结合及题中条件即可求解. 【详解】∵，∴，即，故， ∵，且由已知得， ∴， ∴，解得（负根舍去）. 故答案为：. 13. 已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，双曲线C上存在一点P，满足，O为坐标原点，则|PO|=________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程得到，从而得到的关系，然后用向量表示，根据可求得. 【详解】由双曲线C：知：，所以. 设双曲线C上存在一点P，满足，则整理得. 中，点是的中点，所以，所以 所以. 故答案为：. 14. 已知有A，B两个盒子，其中A盒装有2个黑球和1个白球，B盒装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中；若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知：要保证重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变，须甲、乙各胜出一次.依次分析各种取球情况，即可得到正确答案. 【详解】根据题意可知：要保证重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变，须甲、乙各胜出一次. 记为甲第次胜出，；记为乙第次胜出，； 第一次取球，甲、乙均取到黑球，甲胜出的概率为.此时，B盒只余两个白球，A盒中有3个黑球1个白球，所以第二次乙只能取到白球，而甲取到黑球的概率为. 第一次取球，甲、乙均取到白球，甲胜出的概率为.此时，B盒中有1个白球1个黑球，A盒中有2个黑球2个白球，所以第二次乙取到白球、甲取到黑球的概率为，第二次乙取到黑球、甲取到白球的概率为，即该情况下，第二次乙胜出的概率为. .第一次取球，甲取到白球、乙取到黑球，乙胜出的概率为.此时，A盒只余两个黑球，B盒中有1个黑球3个白球，所以第二次甲只能取到黑球，而乙取到黑球的概率为. 第一次取球，甲取到黑球、乙取到白球，乙胜出的概率为.此时，A盒中有1个白球1个黑球，B盒中有2个黑球2个白球，所以第二次甲、乙均取到黑球的概率为，第二次甲、乙均取到白球的概率为，即该情况下，第二次甲胜出的概率为. 因此，. 故重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是. 故答案为：. 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数 （1）求在上的单调区间和值域； （2）若且求的值. 【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；值域为. （2）. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，再结合正弦型函数的性质求单调区间、值域； （2）根据已知求得，再由和角余弦公式求即可得. 【小问1详解】 由 ， 由，则， 故时，单调递增，时单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为，且值域为； 【小问2详解】 由，且，则， 所以 . 16. 已知为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角B； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角转化为边可得，再根据余弦定理即可求解； （2）根据正弦定理可得，，利用三角形内角和定理和三角恒等变换可得，根据正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由可得，即， 由正弦定理，可得，又由余弦定理，， 因，故. 【小问2详解】 由正弦定理，可得， 则，，因 故 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以的取值范围为. 17. 每次高中数学测试中有3道多选题这种题型，在A，B，C，D四个选项中有不止一个选项是正确的，得分规则是：选错得0分，完全正确得满分6分，部分选对得部分分.某同学为了了解自己多选题的解题水平，对自己过去10次考试的多选题作答情况进行了统计，得到下列表格：(以下表统计的频率估计概率) 类别 得分 次数 A类：正确选项为2项 0 2 3 2 6 6 B类：正确选项为3项 0 4 2 1 4 5 6 10 （1）计算一次考试中B类多选题数量的分布列、期望和方差； （2）该同学听取了老师的建议，在知识的理解、审题、练习方面努力，将自己面对A，B两类题目得满分的概率均提高到，得部分分的概率没有改变，求下一次考试中该同学在多选题中得分大于等于16分的概率(用表示)，并判断该概率有没有机会超过. 【答案】（1）的分布列为： ， （2），有 【解析】 【分析】（1）结合表格中数据可知随机变量服从二项分布，再利用二项分布的分布列、期望与方差定义及公式计算即可得； （2）结合全概率公式分别计算出下一次考试中该同学在多选题中得分为分与的概率，再构造相应函数，结合导数研究其单调性即可得. 【小问1详解】 由一次考试有道多选题，故的可能取值为、、、， 从表格中可知这次考试中有道B类多选题，道A类多选题， 故每道题是B类的概率为， 故随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， 故的分布列为： ， ； 【小问2详解】 从表格中可知该同学对A类题目得分的概率为， 对B类题目得分的概率为，得分的概率为， 又该同学对A，B两类题目得满分的概率为， 则对A类题目得零分的概率为， 对B类题目得零分的概率为， 设事件表示“下一次考试中B类多选题有题”， 事件表示“下一次考试中该同学B类多选题全对的有题”， 事件表示“下一次考试中该同学B类多选题得分的有题”， 事件表示“下一次考试中该同学A类多选题全对的有题”， 其中，且， 则，有， ， 则， 令，由、、，故， 则， 则在上单调递增， 故. 故该概率有机会超过. 18. 过点作直线与抛物线：相交于两点，是的准线，过作且交于，过B作且交于. （1）当，且与轴平行时，,求抛物线的方程； （2）记, （i）若，是否存在，使得为定值？若存在，则求出；若不存在，请说明理由； （ii）若，且的斜率为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的概念及准线的性质，用坐标表示向量，根据向量数量积的坐标表示，求出参数，求出抛物线方程. （2）（i）根据抛物线与直线的位置关系，设出坐标，用参数表示面积，根据面积之间的关系，以及韦达定理，求出参数的值. （ii）根据抛物线与直线的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，列出方程，构造出新的函数，根据函数定义域，求出函数值域，进而求出结果. 【小问1详解】 如图所示， 当时，， 由可知，当时，，解得， 不妨设， 由准线方程为得， 则， 由可得，因为，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）如图所示， 根据对称性原则，不妨设在第一象限，在第四象限， 设，可得，， 则， 当直线斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不符合题意，所以设直线解析式为， 则， 由得， 化简得， 联立直线和抛物线方程得，消去得，可知直线与抛物线必有两个交点， 则， 代入得， 化简得， 当时，为定值，即， 此时，代入得， 因为，化简得，解得，此时； 综上，时，为定值. （ii） 当，的斜率为，则直线解析式为， 此时， 联立直线和抛物线方程得，消去得， 可知直线与抛物线必有两个交点， 则， 由得， 化简得， 代入得， 化简得， 令， 令，即， 则， 变形得，根据对勾函数可知在上单调递增， 所以，则， 即的范围为. 19. 已知函数 （1）当时，求g(x)的最大值； （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明: 【答案】（1）0 （2） （3）令，即证，， ① 先证. 设，，则， 设，则， 则在上单调递减，， 则在上单调递减，，成立； ② 再证. 当时，因， 设，，则， 设，则， 设，则， 设，则， 则在上单调递增，， 则在上单调递增，， 则在上单调递增，， 则在上单调递增，， 则成立， 综上原命题得证. 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性即可求最值； （2）根据（1）的提示，进行讨论即可； （3）构造函数即可证明. 【小问1详解】 ， 当时，，， 所以，在上单调递减，故. 【小问2详解】 ， 当时，由（1）得， 则在上单调递减，成立； 当时，设 ， 则，， 故存在，当时，，在上单调递增， 则，即，故在上单调递增， 则，不合题意， 综上：a的范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2026届高三9月月考数学试题 注意事项： 1.答卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时.选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号.回答非选择题时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分.共40分.每题给出的四个选项.只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中的系数为（ ） A. B. 24 C. D. 16 3. 中，，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在物理学中音量大小用声强级η(单位：dB)表示，声强级η与声强I(单位：)的关系是：某一处的声强级η是该处的声强Ⅰ与参考声强I0的比值的常用对数的值再乘以10.已知声强为时对应的声强级为20dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为(单位：dB)，则学生早读期间读书的声强范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若满足，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 设函数，则（ ） A. 有极大值点 B. 仅有2个零点 C. 在点处切线方程为 D. 的对称中心是 10. 椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是,为椭圆上任意一点，面积的最大值为，椭圆在点处的切线为，过点且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当点横坐标为1时，的内切圆半径 D. 若，则 11. 已知非零向量，其中向量夹角为θ，定义运算：，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. D. 若，则的最小值为4 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量满足，且 ，则______. 13. 已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，双曲线C上存在一点P，满足，O为坐标原点，则|PO|=________. 14. 已知有A，B两个盒子，其中A盒装有2个黑球和1个白球，B盒装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中；若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是________. 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数 （1）求在上的单调区间和值域； （2）若且求的值. 16. 已知为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角B； （2）求的取值范围. 17. 每次高中数学测试中有3道多选题这种题型，在A，B，C，D四个选项中有不止一个选项是正确的，得分规则是：选错得0分，完全正确得满分6分，部分选对得部分分.某同学为了了解自己多选题的解题水平，对自己过去10次考试的多选题作答情况进行了统计，得到下列表格：(以下表统计的频率估计概率) 类别 得分 次数 A类：正确选项为2项 0 2 3 2 6 6 B类：正确选项为3项 0 4 2 1 4 5 6 10 （1）计算一次考试中B类多选题数量的分布列、期望和方差； （2）该同学听取了老师的建议，在知识的理解、审题、练习方面努力，将自己面对A，B两类题目得满分的概率均提高到，得部分分的概率没有改变，求下一次考试中该同学在多选题中得分大于等于16分的概率(用表示)，并判断该概率有没有机会超过. 18. 过点作直线与抛物线：相交于两点，是的准线，过作且交于，过B作且交于. （1）当，且与轴平行时，,求抛物线的方程； （2）记, （i）若，是否存在，使得为定值？若存在，则求出；若不存在，请说明理由； （ii）若，且的斜率为，求的取值范围. 19. 已知函数 （1）当时，求g(x)的最大值； （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $