精品解析：天津市小站第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

2025高三年级第一学期第一次随堂练习 一、选择题（12道题，每题5分，共60分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移长度 B. 向右平移长度 C. 向左平移长度 D. 向右平移长度 3. 若都是锐角，且，，则的值是 A. B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 是图象的一条对称轴 D. 为奇函数 6. 已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 12. 设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 二、解答题（每题15分，6道题，共90分） 13. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 14. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 15. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 （1）求的值 （2）若 （i）求的值 （ii）求的值. 16. 在中，内角所对的边分别为，，，． （1）求角的大小： （2）求的值； （3）求的值． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. （1）求b的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）若. （i）求的值： （ii）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025高三年级第一学期第一次随堂练习 一、选择题（12道题，每题5分，共60分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； 【详解】解：； 故选：D 2. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移长度 B. 向右平移长度 C. 向左平移长度 D. 向右平移长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的平移原则，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为， 因此要得到函数的图象，只需将的图象向右平移单位. 故选：D. 【点睛】本题主要考查描述三角函数的平移过程，属于基础题型. 3. 若都是锐角，且，，则的值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由已知得, ,故选A. 考点：两角和的正弦公式 4. 已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 是图象的一条对称轴 D. 为奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出函数的解析式，再对各选项逐一判断作答. 【详解】依题意，， 函数的周期，A正确； ，B正确； 因，即不是图象的一条对称轴，C不正确； 定义域为R，，为奇函数，D正确. 故选：C 6. 已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 7. 已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据原函数的奇偶性及周期性确定的值，然后得到的解析式，再根据确定，最后求解的值. 【详解】因为函数是奇函数，且其最小正周期为， 所以，则，得． 又，所以，故， 所以，. 故选：C. 【点睛】本题考查型函数的图象及性质，难度一般.解答时先要根据题目条件确定出、及的值，然后解答所给问题. 8. 关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 9. 已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于（1），由， 所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误； 对于（2）中，由， 所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误； 对于（3）中，令，可得， 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确； 对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误. 故选：A. 10. 函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，令，则与在上有两个交点，分析的单调性，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为 ， 令，依题意与在上有两个交点， 由，则， 令，解得，所以在上单调递减， 且，； 令，解得，所以在上单调递增，且； 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 11. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 12. 设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A． 【考点】求三角函数的解析式 【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等. 二、解答题（每题15分，6道题，共90分） 13. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦边角关系及余弦定理求值即可； （2）由同角三角函数关系及正弦定理求值即可； （3）应用二倍角公式求对应函数值，再由差角正弦公式求值即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得：， ∴， 由余弦定理得. 【小问2详解】 由（1）知：， 由正弦定理，得. 【小问3详解】 由，且， ∵，即，∴， ∴. 14. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】 （1）先将函数恒等变换，化为，由得最小正周期为，再利用整体代换的方法，解不等式，求得单调递增区间； （2）由（1）可知在区间上单调递减，上单调递增，即可求得在该区间的最小值为，再求出两个端点值和，经过比较可知最大值为. 【详解】解： （1），所以的最小正周期为. 由， 可得， 的单调递增区间为； （2）因为在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 又，，. 所以在区间上的最大值为，最小值为-1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对所给函数进行恒等变换，得到，再利用整体代换的思想求得单调区间. 15. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 （1）求的值 （2）若 （i）求的值 （ii）求的值. 【答案】（1）；（2）（i）;（ii）. 【解析】 【分析】 （1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可；（2）（i）由（1）可得，再利用正弦定理求的值；（ii）利用二倍角的余弦公式求得，可得，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果. 【详解】（1） 在中，由，整理得， 又由余弦定理，可得； （2）（i）由（1）可得，又由正弦定理， 及已知，可得； （ii）由（i）可得，由已知，可得，故有， 为锐角，故由，可得，从而有, . 【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 16. 在中，内角所对的边分别为，，，． （1）求角的大小： （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合已知即可求出B的大小； （2）利用余弦定理即可求出b的值； （3）根据求出sinA，cosA，从而可求sin2A、cos2A，再根据正弦的差角公式即可计算． 【小问1详解】 在中，由正弦定理，可得， 又由，得 即， ∴，∴，∴． 又因为，可得； 【小问2详解】 在中，由余弦定理及，，， 有，故； 【小问3详解】 由，可得， 因为，所以，故为锐角，故， 因此，． 所以，． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. （1）求b的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，结合以及余弦定理列出方程即可得解. （2）直接由余弦定理计算即可得解. （3）先由平方关系商数关系得，结合两角差的正切公式即可得解. 【小问1详解】 因为，，所以，即， 又因为， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 所以. 【小问3详解】 由（2）得，，又，所以，， 所以. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）若. （i）求的值： （ii）求的值. 【答案】（1）6 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理即可得到，从而得到，再由二倍角公式以及余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得 【小问2详解】 （i）由余弦定理有， （ii）因为，所以， 从而， 则， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $