1.3 数轴（基础讲义）2025-2026学年青岛版2024数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“数轴”核心知识点，衔接小学自然数直线表示基础，通过温度计、地铁线路图等现实情境构建学习支架，系统阐述数轴的概念、三要素（原点、正方向、单位长度）、画法及有理数与数轴上点的对应关系。 资料以“观察-探究-归纳”为主线，通过地铁线路图位置表示等探究活动，引导学生从现实情境抽象出数学模型，培养抽象能力与几何直观。例题辨析数轴正误强化三要素理解，易错提示与练习助力学生掌握重点，课中辅助教师高效授课，课后便于学生回顾巩固，弥补知识盲点。

1.3 数轴 在小学阶段，我们可以用直线上依次排列的点来表示自然数。引入负数后，能否用类似的方式表示有理数呢？ 导入新课 通过观察温度计发现温度计上有数字、数字排列、刻度线,且刻度线在一条直线上,相邻刻度的距离都一样。 今天所学的数轴和温度计类似。 探究数轴 问题1: 某数学活动小组参加绘制地铁线路图的活动,任务是绘制我国首条地铁线路———北京地铁1号线的线路图.他们发现该地铁线呈东西走向,并测得王府井站和建国门站分别位于天安门西站东侧1.8km和3.8km处,西单站位于天安门西站西侧1.2km处.你能画图表示它们的位置吗? 思考：地铁1号线可用什么图形表示? 以哪一个站作为其基点? 怎样确定各站位置? 可用一条直线来表示地铁1号线;任选一站点作为基点；用方向和离基点的距离确定各站位置。 选取基点不同,得到的图形不同。 如图,画一条直线表示北京地铁1号线,从左到右表示从西到东的方向。在直线上取一个点O表示天安门西站的位置,规定1个单位长度(线段OA的长)代表1km的长度。在点O的右侧,与点O距离为1.8个单位长度和3.8个单位长度的点B和点C,分别表示王府井站和建国门站的位置;在点O的左侧,与点O的距离为1.2个单位长度的点D表示西单站的位置。 2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第1章 有理数之1.3 数轴 1 学科网（北京）股份有限公司 问题2 :如何用数表示西单站、王府井站、建国门站和天安门西站的相对位置(方向和距离)? 提示:“东”与“西”“左”与“右”具有相反意义,正数和负数可以表示两个具有相反意义的量,兼顾考虑方向和距离,可以用正数、负数和零分别表示各地铁站的相对位置. 如图,以天安门西站的位置作为参考,将天安门西站的位置用0表示，并规定向东为正, 则西单站的位置在天安门西站西侧,因此可用-1.2表示;王府井站、建国门站在天安门西站东侧,因此王府井站的位置可用1.8表示,建国门站位置可用3.8表示. 归纳：用直线上的点可以表示正数、0和负数,具体做法如下: (1) 如图1,画一条直线(一般把它画成水平的),在这条直线上任取一点表示数0.这个点叫作原点。 (2) 如图2，规定自原点开始一侧的方向为正方向(习惯上取向右的方向为正方向),那么另一侧的方向就是负方向。 (3)如图3，选取适当的长度作为单位长度. 按照取定的单位长度,在直线上从原点向正方向,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,…;从原点向负方向,用类似的方法依次表示-1,-2, -3,…. 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,缺一不可. 知识点一 数轴的概念及画法 1. 数轴的概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（重点：通常我们选取向右的方向为数轴的正方向）。 如图1-3-1所示。 提示：数轴的概念包含三层含义： ①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸； ②数轴有三要素：原点、单位长度、正方向；（三者缺一不可） ③“规定”二字是说原点位置的选定、单位长度大小的确定、正方向的选取都是根据实际需要“规定”的，但一经选定，就不能随意改变。 2. 数轴的画法：画一条水平直线,定原点,确定正方向,选择适当的单位长度(单位长度要一致). （1） 画：画一条直线，一般画成水平的。 （2） 取：在这条直线上任意取一点作为原点，并用这个点表示0 0 （3） 定：规定自原点开始一侧的方向为正方向（习惯上取向右的方向为正方向），用箭头表示，那么另一侧的方向就是负方向；0 （4） 标：选取适当的长度作为单位长度，并在刻度线下方标明相应的数。0 1 2 -2 -1 注意： （1） 同一个数轴上的单位长度必须统一，不能出现同样的长度表示不同的数量的情况。 （2） 数轴是一条直线，数轴的两端不能画点。 例1 下图1-3-2中哪一个表示数轴？不是数轴的请说明理由。 0 2 4 -2 -1 0 1 2 -2 -1 3 -3 ① ② 1 2 3 -2 0 4 -1 0 1 2 -1 -1 ③ ④ ⑤ 图1-3-2 解：①是。 ②不是。理由：单位长度不一致。 ③不是。理由：没有规定原点和单位长度。 ④不是。理由：它是射线，不是直线。 ⑤不是。理由：有两处错误：一是没有标明正方向；二是负数的排序错误。 易错提示：画数轴时常出现的错误 （1） 三要素不全；（2）单位长度不统一（刻度不均匀）；（3）未画成直线；（4）将正、负数的位置及顺序标错；（5）正方向标错。 知识点二 有理数与数轴上的点之间的关系 1. 有理数与数轴 建立了数轴，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来。但数轴上的点不都表示有理数，如π不是有理数，但可以在数轴上表示出来。 正有理数 对应原点右边的部分点 对应数轴上的 一部分点 负有理数 对应原点左边的部分点 0 对应原点 有理数 例2 如图1-3-3所示，指出数轴上的点A,B,C,D,O分别表示什么数。 图1-3-3 解：点A表示-6，点B表示-3.5，点C表示2，点D表示4.5，点O表示0。 方法技巧：确定数轴上的点表示的数的方法 （1） 根据点在原点的左、右确定数的符号； （2） 根据点距离原点多少个单位长度确定数值。 2. 用数轴上的点表示有理数的一般步骤 （1） 画数轴：选择恰当的单位长度建立数轴。 （2） 找对应点： ①根据数的符号确定其在原点的哪一侧，并在对应方向上确定其距原点多少个单位长度； ②在数轴上相应的位置处描上实心小圆点。 （3）标数：在实心小圆点的正上方标出所要表示的数。 例3 画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点： 4，-2，-4.5，1，0。 思路分析： 确定具体位置 各数到 原点的距离 数的正、负 确定点在原点的哪一侧 解：如图1-3-5所示。-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 · 4 1 · · -2 · -4.5 0 · 图1-3-5 易错提示：用数轴上的点表示负数时易出错 用数轴上的点表示负数时，负号后面的数值越大，该负数对应的点离开原点越远，如本题中的-4.5，其对应点应该在表示-4和-5的两点之间，在表示-4的点的左侧而不是右侧，本题很容易忽视这一点而出现错误。 素养点拨： 本题通过数轴将数与点在数轴上的位置建立对应关系，从而建立数与形的联系，培养了几何直观。 例4 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 2，-2.5，0，，-4。 解：如图1.3-4所示 图1.3-4 练习（p12） 1. 写出下图中数轴上的点A,B,C,D,E表示的有理数： （第1题） 解：点A表示-5，点B表示-2，点C表示0，点D表示3，点E表示5。 2. 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： -6，+3, 4.5, 0，-，-3。 解：如下图1-3-16所示。 图1-3-16 重点内容总结 数轴 （一）概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 概念 知点读数 知数画图 任何一个有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 数轴上的数与有理数的关系 画直线、找原点、定方向、取单位长度、标数 画法 ①原点 ②单位长度③正方向 三要素 数轴 $