4.1指数5题型分类讲义(讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练（人教A版必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.1指数5题型分类 一、根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R； ②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中表示a的正的n次方根，－表示a的负的n次方根，a>0； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作 ＝0. (3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 (1)()n＝a. (2)＝. 注：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、分数指数幂的意义 (1)＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． (3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （一） n次方根的概念问题 1、n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2、判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　 题型1：n次方根的概念 1．（2025高一上·全国·课后作业）有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据实数n次方根的性质判断各项正误即可. 【详解】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在； 正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数； ①③错误，②④正确． 故选：C 2．（2025高一·全国·随堂练习）填空： （1）27的3次方根表示为 ； （2）的3次方根表示为 ； （3）16的4次方根表示为 ． 【答案】 【分析】根据次方根的定义求解即可. 【详解】（1）27的3次方根表示为； （2）的3次方根表示为； （3）16的4次方根表示为. 故答案为：，， 3．【多选】（25-26高一上·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【详解】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 4．（2025高一上·全国·课后作业）若有意义，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据根式、指数幂的性质列不等式组求参数范围即可. 【详解】因为有意义， 所以， 解得且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．【多选】（2025高一·全国·课后作业）若，，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】B选项，D选项中，当时，式子无意义，即可得出选项. 【详解】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义； B选项中，，无意义； C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义； D选项中，当时，式子无意义． 故选：AC． 6．（2023高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B （二） 利用根式的性质化简求值 根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的． (2)化简根式时需注意： 在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．　　 (3)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论． 题型2：根式化简或求值 7．（2025高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可. 【详解】由已知，. 故选：C. 8．（2025高一上·全国·课前预习）求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）原式 9．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 10．（2025高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 11．（2023高三·全国·专题练习） . 【答案】/ 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】, 故答案为： 12．（2025高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把根式化成分数指数幂，进而计算即可. 【详解】原式． 故选:A. 13．（2025高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据式子有意义及可得，进而结合指数幂运算性质求解即可. 【详解】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. （三） 根式与分数指数幂的互化 根式与分数指数幂互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：和，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． (3)根式与分数指数幂互化的规律 ①根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． ②在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 题型3：根式与分数指数幂互化 14．（2025高一上·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式与分数指数幂的互化公式和指数运算性质，化简运算即可． 【详解】因为，所以. 故选：D. 15．（2025高一上·福建泉州·期中）若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的定义判断即可. 【详解】对于A：因为，当为奇数，为偶数时，，此时无意义，不合题意，故A错误； 对于B：因为，当为偶数，为奇数时，，此时，符合题意，故B正确； 对于C：因为，当为奇数，为奇数时，，此时，符合题意，故C正确； 对于D：因为，当为偶数，为偶数时，，此时，符合题意，故D正确； 故选：A 16．（2025高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 17．（2025高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的运算法则，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于，A正确，B，C错误； ，由于无意义，D错误， 故选：A 18．（2025高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 故选：C. 19．（2025高三上·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C （四） 指数幂的运算 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 题型4：指数幂的运算 20．（25-26高一上·全国·课前预习）计算 ． 【答案】24 【分析】利用指数幂与根式的化简、运算法则直接求解． 【详解】 故答案为：24. 21．（2025高一上·天津·期中）计算： . 【答案】 【分析】由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 22．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 23．（2025高一下·广西来宾·开学考试）计算： . 【答案】 【分析】应用根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算化简求值. 【详解】. 故答案为： 24．（2025高一·全国·专题练习）求值：. 【答案】38 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算性质即可求解. 【详解】原式 . 25．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 26．（2025高一上·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式：． 27．（2025高一上·全国·课前预习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数运算性质即可得出； （2）利用指数运算性质即可得出. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． （五） 指数条件求值问题 解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差公式、立方差公式及完全平方公式的应用． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： (1)a±2ab＋b＝(a±b)2； (2)a－b＝(a＋b)(a－b)； (3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； (4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)． 题型5：利用指数运算性质进行条件求值 28．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 29．（2025高一上·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】将所求式取平方，求出其值，再判断其值为正即可求得. 【详解】由， 因，故， 即得，. 故选：A. 30．（2025高一上·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【分析】两边平方，得到答案. 【详解】两边平方得， 故. 故选：B 31．（2024高三·全国·专题练习）若，则= ；= ． 【答案】 7 【分析】利用完全平方公式及立方和公式结合分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】由题意，所以. 由题意， 所以. 故答案为：7；. 32．（2025高一上·天津滨海新·阶段练习）已知实数满足，则 . 【答案】 【分析】根据可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴. 故答案为：. 33．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 34．（2025高一上·全国·课前预习）（1）已知是方程的两个根，且，求的值． （2）已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1） ；（2）① ；② ． 【分析】（1）先得到两根之和，两根之积，再求解的平方，进而求出的值；（2）利用平方法进行求解. 【详解】（1）因为是方程的两个根，所以， 所以． 因为，所以． 所以． （2）①将两边平方，得． 即． ②将两边平方，得， 即． 1．（2025高一上·黑龙江哈尔滨·期中）化简的值是（    ） A． B．－ C．± D．－ 【答案】B 【分析】根据根式的运算法则，即可容易求得结果. 【详解】＝ ＝－. 故选：B. 【点睛】本题考查根式的运算，属简单题. 2．（2025高一·全国·课后作业）已知，则m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据根式的定义，即可得答案； 【详解】，， 故选：D. 【点睛】本题考查偶次方根的定义，考查对概念的理解，属于基础题. 3．（2025高一上·河南信阳·期中）计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用根式的运算性质即可得出． 【详解】由可知，∴， 故选：C. 【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力，属于基础题． 4．（2025高一上·江西景德镇·期末）（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算法则，直接化简，即可得出结果. 【详解】. 故选：B 5．（2025高一·全国·单元测试）化简得（    ） A．6 B． C．6或 D．6或或 【答案】C 【分析】根据根式的运算法则，即可容易求得结果. 【详解】， 故选：C 【点睛】本题考查根式的化简求值，属简单题；注意公式的熟练应用即可. 6．（2025高一上·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意知， ， 由于，故，则原式. 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题. 7．（2025高一·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．a＋b B．－(a＋b) C．a－b D．b－a 【答案】D 【分析】由二次函数的图象，根据，得到，再结合根式的运算，即可求解. 【详解】由二次函数的图象，可得， 即，所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及根式的运算，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及根式的运算法则是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 8．（2025高一上·山东枣庄·期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式和分数指数幂的转化关系，判断选项. 【详解】A.，故A错误；B.，故B错误； C.，故C错误；D. ，故D正确. 故选：D 9．（2025高一上·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：B 10．（2025高三上·江西宜春·阶段练习）设m，n是方程的两根，则下面各式值等于8的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，然后利用指数幂的运算逐项计算即可求解. 【详解】因为m，n是方程的两根，则有， 对于A，因为，故选项A错误； 对于B，因为，故选项B正确； 对于C，因为，故选项C错误； 对于D，因为，故选项D错误， 故选：B. 11．（2025高一·全国·课后作业）设，则 (　　) A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质，将等式两边平方，进而得到结论. 【详解】将两边平方得 ,所以a＋a－1＝m2＋2， 而 ，即= m2＋2 故选C. 【点睛】本题考查负分数指数幂的运算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键, 考查了推理能力与计算能力，属于基础题 12．（2025高二上·黑龙江大庆·期中）在算式中，“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由题意可知“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字为非负整数，且最大的数字小于5，然后分情况讨论可得答案. 【详解】由题意可知“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字为非负整数， 因为，所以“中”代表的数字小于5， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为3，2，1，0，此时，不合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，2，1，0，此时，不合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，1，0，此时，不合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，2，0，此时，符合题意， 若“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，2，1，此时，不合题意， 所以“中､国､精､神”分别代表的数字为4，3，2，0， 所以“国”字所对应的数字为3. 故选：B 13．（2025高一上·河南郑州·期中） . 【答案】 【分析】将每个被开方数化为完全平方式的形式，从而开方整理得到结果. 【详解】 ， 故答案为 【点睛】本题考查根式的化简求值问题，关键是能够将被开方数化为完全平方数的形式，属于基础题. 14．（2025高一上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】 【分析】先将题给条件转化为，从而求出即可求解. 【详解】由已知， 又且，即且， . 故答案为：. 15．（2021高一·上海·专题练习）化简： 【答案】a-2 【分析】根据根式的性质进行运算即可． 【详解】依题意得a-1≥0，即a≥1. 所以原式=a-1+|1-a|+（-a）=a-1-1+a-a=a-2． 【点睛】本题考查了根式的性质，熟知根式的性质是解题的关键． 16．（2025高一·全国·单元测试）已知，化简 ． 【答案】 【分析】根据已知条件判断的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 【详解】由已知，即，即， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可. 17．（2025高一·全国·课后作业）若x<0，则|x|－＋＝ . 【答案】1 【分析】根据的范围，结合根式的运算性质，即可求得结果. 【详解】∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋＝－x＋x＋1＝1. 故答案为：. 【点睛】本题考查根式的运算，属简单题. 18．（2025高一·全国·课后作业）设f(x)＝，若0<a≤1，求. 【答案】. 【分析】将代入解析式，根据根式的性质即可求解. 【详解】 ， 因为0<a≤1，所以a≤， 故. 【点睛】本题考查了根式的化简，需掌握根式的性质，属于基础题. 19．（2025高一上·全国·课后作业）化简 . 【答案】－/ 【分析】根据指数的运算法则化简求解. 【详解】 故答案为： 20．（2025高一上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则直接求解即可. 【详解】，. 故答案为：. 21．（2025高一上·全国·课后作业）化简 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】原式 故答案为：. 22．（2025高一上·天津滨海新·期中）若，且，则z的最小值是 . 【答案】 【分析】直接利用均值不等式结合指数运算计算得到答案. 【详解】∵，∴， 当且仅当即，时取等号，即z的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 23．（2025高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 【答案】(1) (2)3 (3) (4)4 【分析】（1）将可化成的形式，代入数据即可求得结果为； （2）原式可表示为，代入即可求出答案为3； （3）将化简为，代入的值可计算出结果为； （4）化简后可得原式，将的值可得结果是4. 【详解】（1）利用指数运算法则可知， 将代入可得. （2）易知，又， 所以 （3）化简得， 将代入可得 （4）易知 又，所以 24．（2025高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可； （2）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可. 【详解】（1）， 当为偶数时，；当为奇数时，； 综上所述，. （2）， 当是奇数时，原式； 当是偶数时，原式； 综上所述，. 25．（2025高一上·河北邯郸·阶段练习）计算： (1)； (2)已知：，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值； （2）在等式两边平方可得出，再利用平方关系可求得，代入计算可得出的值. 【详解】（1）解：原式. （2）解：因为，则，所以，， 所以，，可得，， 因此，. 26．（2025高一·全国·课后作业）已知f(x)＝，a是大于0的常数． （1）求； （2）探求的值； （3）利用（2）的结论求＋＋…＋的值． 【答案】（1） ；（2）；（3） 50． 【分析】(1)根据题意，直接代入计算即可；(2)根据题意，结合指数幂的运算性质，即可得到；(3)根据题意，结合，把原式转化为50组的格式即可求解. 【详解】(1). (2)由f(x)＝，得f(1－x)＝＝，故有． (3)由(2)知，＋＋…＋ =++…＋＝1×50＝50． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.1指数5题型分类 一、根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R； ②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中表示a的正的n次方根，－表示a的负的n次方根，a>0； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作 ＝0. (3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 (1)()n＝a. (2)＝. 注：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、分数指数幂的意义 (1)＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． (3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （一） n次方根的概念问题 1、n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2、判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　 题型1：n次方根的概念 1．（2025高一上·全国·课后作业）有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025高一·全国·随堂练习）填空： （1）27的3次方根表示为 ； （2）的3次方根表示为 ； （3）16的4次方根表示为 ． 3．【多选】（25-26高一上·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 4．（2025高一上·全国·课后作业）若有意义，则的取值范围是 . 5．【多选】（2025高一·全国·课后作业）若，，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． （二） 利用根式的性质化简求值 根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的． (2)化简根式时需注意： 在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．　　 (3)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论． 题型2：根式化简或求值 7．（2025高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一上·全国·课前预习）求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 9．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 10．（2025高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 11．（2023高三·全国·专题练习） . 12．（2025高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （三） 根式与分数指数幂的互化 根式与分数指数幂互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：和，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． (3)根式与分数指数幂互化的规律 ①根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． ②在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 题型3：根式与分数指数幂互化 14．（2025高一上·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 15．（2025高一上·福建泉州·期中）若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 16．（2025高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2025高三上·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． （四） 指数幂的运算 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 题型4：指数幂的运算 20．（25-26高一上·全国·课前预习）计算 ． 21．（2025高一上·天津·期中）计算： . 22．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 23．（2025高一下·广西来宾·开学考试）计算： . 24．（2025高一·全国·专题练习）求值：. 25．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 26．（2025高一上·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 27．（2025高一上·全国·课前预习）计算下列各式： (1)； (2)． （五） 指数条件求值问题 解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差公式、立方差公式及完全平方公式的应用． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： (1)a±2ab＋b＝(a±b)2； (2)a－b＝(a＋b)(a－b)； (3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； (4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)． 题型5：利用指数运算性质进行条件求值 28．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 29．（2025高一上·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 30．（2025高一上·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 31．（2024高三·全国·专题练习）若，则= ；= ． 32．（2025高一上·天津滨海新·阶段练习）已知实数满足，则 . 33．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 34．（2025高一上·全国·课前预习）（1）已知是方程的两个根，且，求的值． （2）已知，求下列各式的值： ①； ②． 1．（2025高一上·黑龙江哈尔滨·期中）化简的值是（    ） A． B．－ C．± D．－ 2．（2025高一·全国·课后作业）已知，则m等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·河南信阳·期中）计算等于（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·江西景德镇·期末）（   ） A．2 B． C． D． 5．（2025高一·全国·单元测试）化简得（    ） A．6 B． C．6或 D．6或或 6．（2025高一上·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．a＋b B．－(a＋b) C．a－b D．b－a 8．（2025高一上·山东枣庄·期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一上·山西晋城·期中）（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三上·江西宜春·阶段练习）设m，n是方程的两根，则下面各式值等于8的有（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·全国·课后作业）设，则 (　　) A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 12．（2025高二上·黑龙江大庆·期中）在算式中，“中､国､精､神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 13．（2025高一上·河南郑州·期中） . 14．（2025高一上·全国·课后作业）若，则 . 15．（2021高一·上海·专题练习）化简： 16．（2025高一·全国·单元测试）已知，化简 ． 17．（2025高一·全国·课后作业）若x<0，则|x|－＋＝ . 18．（2025高一·全国·课后作业）设f(x)＝，若0<a≤1，求. 19．（2025高一上·全国·课后作业）化简 . 20．（2025高一上·全国·课后作业）若，则 . 21．（2025高一上·全国·课后作业）化简 . 22．（2025高一上·天津滨海新·期中）若，且，则z的最小值是 . 23．（2025高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 24．（2025高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 25．（2025高一上·河北邯郸·阶段练习）计算： (1)； (2)已知：，求的值. 26．（2025高一·全国·课后作业）已知f(x)＝，a是大于0的常数． （1）求； （2）探求的值； （3）利用（2）的结论求＋＋…＋的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $