3.3幂函数 题型分类讲义(讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.3幂函数11题型分类 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （一） 幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 题型1：判断一个函数是否为幂函数 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．【多选】（2025高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．【多选】（2025高一上·全国·课后作业）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 题型2：求幂函数解析式或求值 4．（河南省部分学校2025-2026学年高三上学期顶尖计划（一）数学试题）已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 5．（2025高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 题型3：根据幂函数求参数 8．【多选】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 9．（2025高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知幂函数，则 . 10．（2025高一上·安徽亳州·期末）已知函数，则“”是“为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （二） 幂函数的图象及应用 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 题型4：幂函数过定点问题 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 12．（2025高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 13．【多选】（2025高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 题型5：幂函数的图象及应用 14．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 15．（2025·山东济南·一模）下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 16．（2025高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   17．（2025高一上·福建厦门·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． （三） 求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 题型6：求幂函数的定义域 19．（2025高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 21．（2025高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 22．（2025高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 23．（2025高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 24．（2025高二下·江苏常州·阶段练习）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 25．（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 题型7：求幂函数的值域 26．（2025高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 28．（2025高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 29．【多选】（2025高一上·宁夏银川·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数的值域为 30．（2025高二下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． （四） 利用幂函数的性质比较大小 （1）比较幂大小的三种常用方法: (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 题型8：利用函数的单调性比较大小 31．【多选】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型9：利用函数单调性求参数的取值范围 36．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知幂函数在上是减函数，则实数 ． 37．（25-26高三上·江苏泰州·开学考试）若幂函数在上单调递增，则实数m的值为 ． 38．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 39．（2025高二下·山西运城·期末）命题p：幂函数在上单调递减.命题q：当时，恒成立.若p，q均为真命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 40．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数为减函数，则实数的取值范围为 ． （五） 幂函数的性质综合应用 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型10：利用幂函数解不等式 41．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 44．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 45．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 46．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 47．（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 48．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 49．（2025高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 50．（2025高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 1．（2025高一·全国·课后作业）下列函数中是幂函数的是(　　) A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课后作业）已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　) A．－3 B．2 C．－3或2 D．3 3．（2025·全国III卷）已知，，，则 A． B． C． D． 4．（安徽省部分重点高中2025-2026学年高一上学期11月联考数学试题）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 5．（2025高三上·山东济南·期末）设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（    ） A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，3 6．【多选】（2025高一上·福建漳州·期末）若函数，则（    ） A．的图象经过点和 B．当的图象经过点时，为奇函数 C．当的图象经过点时，为偶函数 D．当时，存在使得 7．（2025高一上·全国·期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 . 8．（2025高三上·广东·阶段练习）若幂函数的图象过点，则函数的最大值为___________. 9．（2025高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 . 10．（2025·宁夏银川·一模）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为 ． 11．（2025高一·福建·阶段练习）已知幂函数f（x）=（m2–5m+7）x–m–1（m∈R）为偶函数． （1）求的值； （2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值． 12．（2025高一上·福建龙岩·期中）已知幂函数是定义在R上的偶函数. (1)求的解析式； (2)在区间上，的图象总在函数图象的上方，求实数k的取值范围. 13．（2025高一上·陕西铜川·期中）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上. （1）求和的解析式； （2）定义求函数的最大值以及单调区间. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.3幂函数11题型分类 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （一） 幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 题型1：判断一个函数是否为幂函数 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可判断. 【详解】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数． 故选：C. 2．【多选】（2025高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】根据幂函数的定义，知道，，都是幂函数.不是幂函数，是正比例函数. 故选：ABD. 3．【多选】（2025高一上·全国·课后作业）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， A选项是的情形，D选项是的情形，所以A和D都是幂函数； B选项中的系数是，不是幂函数；C选项中的系数是，不是幂函数； 故选：AD. 题型2：求幂函数解析式或求值 4．（河南省部分学校2025-2026学年高三上学期顶尖计划（一）数学试题）已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解. 【详解】设幂函数，则，解得. 故，解得. 故选： 5．（2025高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】/ 【分析】先根据幂函数的概念求的值，再根据求的值，可得的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以. 又，所以. 故. 故答案为： 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 7．（25-26高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【分析】根据幂函数的概念及性质，先确定幂函数的解析式，再求的值. 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 题型3：根据幂函数求参数 8．【多选】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以或，所以，，AB正确； 当时，，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. 9．（2025高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知幂函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 10．（2025高一上·安徽亳州·期末）已知函数，则“”是“为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由为幂函数，可得或，然后根据逻辑命题判断即可. 【详解】函数为幂函数， 所以或， 则“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. （二） 幂函数的图象及应用 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 题型4：幂函数过定点问题 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 12．（2025高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 13．【多选】（2025高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的概念可求的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 题型5：幂函数的图象及应用 14．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 15．（2025·山东济南·一模）下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一验证即可求解. 【详解】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D． 图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C． 故选：B. 16．（2025高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 17．（2025高一上·福建厦门·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图象可确定与的正负情况，进而判断根据幂函数单调性判断各选项正误. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以， 则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. （三） 求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 题型6：求幂函数的定义域 19．（2025高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 20．（2025高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则，解得. 故答案为：. 21．（2025高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 22．（2025高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 23．（2025高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 24．（2025高二下·江苏常州·阶段练习）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据图象过点求出函数解析式，再由解析式判断定义域、单调性、奇偶性、值域得解. 【详解】设， 由函数的图像经过点，则，解得， 所以，故函数的定义域为，故A错误； 由定义域关于原点对称及可知函数为偶函数，故B错误； 由在上无单调性，故C错误； 因为，故的值域为，故D正确. 故选：D 25．（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 【答案】C 【分析】整理可得，结合二次函数分析定义域、值域以及单调性，即可判断ABC；再根据偶函数的定义判断D. 【详解】因为函数， 对于选项A：令，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于选项B：因为，则，可得， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C：因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为函数的定义域为，关于原点对称， 且，可知函数为偶函数，故D正确； 故选：C. 题型7：求幂函数的值域 26．（2025高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 27．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 28．（2025高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【分析】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 29．【多选】（2025高一上·宁夏银川·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】根据为幂函数，即可求出的值，逐一验证即可. 【详解】因为是幂函数，且， 所以，可得或（舍去），则，故A正确； 又，，，故B错误； 定义域为，，故C正确； 由，故D正确. 故选：ACD. 30．（2025高二下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式. （2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． （四） 利用幂函数的性质比较大小 （1）比较幂大小的三种常用方法: (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 题型8：利用函数的单调性比较大小 31．【多选】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由幂函数的单调性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为，则，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为函数在单调递增，所以，故B错误； 对于C，因为函数在单调递增，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减，所以，故D正确； 故选：AD 32．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 33．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 34．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 35．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 题型9：利用函数单调性求参数的取值范围 36．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知幂函数在上是减函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 37．（25-26高三上·江苏泰州·开学考试）若幂函数在上单调递增，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】利用幂函数概念及单调性即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或， 又因为幂函数在上单调递增， 所以，故舍去，所以， 故答案为： 38．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 【答案】递减 【分析】根据幂函数的单调性求出，再根据，判断的单调性. 【详解】由幂函数的性质得，解得， 因为，所以，则，故在，上单调递减． 故答案为：递减. 39．（2025高二下·山西运城·期末）命题p：幂函数在上单调递减.命题q：当时，恒成立.若p，q均为真命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性及基本不等式求出命题p，q，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】命题p：幂函数在上单调递减， 则，即； 命题q：当时，恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立，则. 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 40．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数为减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分段函数单调递减则各段均为递减函数，且左边函数的右端点值不小于右边函数的左端点值，由此建立不等式，求得的取值范围． 【详解】为上的减函数， 时，单调递减，即，则； 时，单调递减，即，则；且，即． 综上可得，的取值范围是． 故答案为：. （五） 幂函数的性质综合应用 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型10：利用幂函数解不等式 41．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由单调性求解. 【详解】因为在单调递减， 所以由可得，解得， 故选：C. 42．（25-26高一上·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性求解. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 由可得，解得． 故选：B. 43．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用是幂函数和图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为： 题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 44．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为： 45．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性求出，则等价于，令，再根据幂函数的单调性和奇偶性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得， 因为，所以或2或3， 当时，；当时，；当时，， 因为幂函数为偶函数，故， 因此等价于， 因为幂函数满足，所以为偶函数， 又由幂指数得在上单调递减，则在单调递增， 所以可转化为， 又是正数，所以解得或， 故的取值范围是. 46．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由幂函数的定义及单调性得出的值； （2）根据的单调性解不等式即可； （3）利用基本不等式求解. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或． 当时，，当时，，不符合题意； 当时，，当时，，符合题意． ∴． （2），即， ∵函数在R上单调递增， ∴，解得． ∴a的取值范围为． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为2． 47．（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值； （2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得， 又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． （2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． 48．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 49．（2025高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 50．（2025高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，由幂函数的性质，可得，即可求解； （2）由（1）知，结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得，即可求解. 【详解】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得， 又，则或或， 当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去. 当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得， 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 1．（2025高一·全国·课后作业）下列函数中是幂函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义即可得到结果. 【详解】根据幂函数的定义知，是幂函数， 都不是幂函数． 故选：C． 【点睛】本题考查幂函数的定义，属于基础题. 2．（2025高一·全国·课后作业）已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　) A．－3 B．2 C．－3或2 D．3 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义判断即可． 【详解】由是幂函数， 知，解得或. ∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴. 故. 故选：A. 【点睛】本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题． 3．（2025·全国III卷）已知，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 因为幂函数在R上单调递增，所以， 因为指数函数在R上单调递增，所以， 即b<a<c. 故选：A. 4．（安徽省部分重点高中2025-2026学年高一上学期11月联考数学试题）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或． 当时，；当时，． 因为函数在上是单调递增函数，故． 又，所以， 所以，则． 故选：A． 5．（2025高三上·山东济南·期末）设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（    ） A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，3 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件. 当时，，为奇函数，值域为R，满足条件. 当时，为偶函数，值域为，不满足条件. 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 6．【多选】（2025高一上·福建漳州·期末）若函数，则（    ） A．的图象经过点和 B．当的图象经过点时，为奇函数 C．当的图象经过点时，为偶函数 D．当时，存在使得 【答案】BC 【分析】利用幂函数的性质一一判断求解即可. 【详解】根据幂函数的图象性质可知，当时，幂函数不经过点，故A错误； 当的图象经过点时，， 因为经过点， 所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称， 又， 所以为奇函数，B正确； 当的图象经过点时，， 因为经过点， 所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称， 又， 所以为偶函数，C正确； 当时，在单调递增， 所以，D错误， 故选：BC. 7．（2025高一上·全国·期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解. 【详解】因函数是幂函数，则，解得或， 当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾， 当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得， 不等式化为：，即，解得：， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 8．（2025高三上·广东·阶段练习）若幂函数的图象过点，则函数的最大值为___________. 【答案】/ 【分析】先设，根据题意得到，进而，利用换元法结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设幂函数， 因为幂函数的图象经过点， 所以，因此, 所以， 所以，令，则，， ∴时，. 故答案为：## 9．（2025高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 . 【答案】 0 【分析】由题意，设，结合的图象过点求出，进而可得，再根据单调性求解最值. 【详解】设，是常数，则， 解得，则， 所以，在区间上单调递增， 所以函数的最小值是，最大值是. 故答案为：0；. 10．（2025·宁夏银川·一模）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质既可以求得. 【详解】根据三个函数可得定义域为：，则根据幂函数的性质可知这三个函数都经过点. 故答案为： 11．（2025高一·福建·阶段练习）已知幂函数f（x）=（m2–5m+7）x–m–1（m∈R）为偶函数． （1）求的值； （2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值． 【答案】（1）16（2）a=–1或a=–． 【分析】(1)根据幂函数定义求m，再根据偶函数性质进行取舍，最后求函数值，(2)根据幂函数定义域以及单调性列方程组，解得结果. 【详解】（1）函数f（x）=（m2–5m+7）x–m–1（m∈R）为幂函数， ∴m2–5m+7=1， 解得m=2或m=3； m=2时，f（x）=x–3，不是偶函数，舍去； m=3时，f（x）=x–4，为偶函数，满足题意； ∴f（x）=x–4， ∴=16； （2）若f（2a+1）=f（a）， 则（2a+1）–4=a–4， 即， 解得a=–1或a=–． 【点睛】本题考查幂函数定义以及性质，考查基本求解能力. 12．（2025高一上·福建龙岩·期中）已知幂函数是定义在R上的偶函数. (1)求的解析式； (2)在区间上，的图象总在函数图象的上方，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和函数为偶函数可直接求解； （2）可将问题转化为对恒成立，对进行分类讨论，分离参数，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又函数为偶函数，故，； （2）原题可等价转化为对恒成立， 当时恒成立； 当时，分离参数得，即，由对勾函数图象特点可知在上单减，故，所以； 当时，分离参数得，由对勾函数图象特点可知在上单减，，所以， 所以 13．（2025高一上·陕西铜川·期中）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上. （1）求和的解析式； （2）定义求函数的最大值以及单调区间. 【答案】（1），（2）1，单调增区间为，单调减区间为； 【详解】试题分析; （1）设代入点的坐标，解方程可得 的解析式； （2）由定义，求得 的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间． 试题解析;：（1）设 点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上 解得     解得分      （2） 的单调增区间为，的单调减区间为； 时，函数值最大， 【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，同时考查分段函数的运用，函数的单调性和最值的求法，，解题时注意待定系数法以及数形结合思想的运用． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $