3.2.2奇偶性 题型分类讲义（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练（人教A版必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.2奇偶性9题型分类 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)． 四、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 五、奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 （一） 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域. (2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系. (3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 题型1：函数奇偶性的判断 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 3．（25-26高三上·北京·开学考试）下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 5．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 题型2：抽象函数的奇偶性 6．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 7．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 9．（2025高一·全国·专题练习）设定义域为的函数满足：①对于任意，都有；②当时，；③. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性并证明； (3)求在上的值域. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． （二） 奇、偶函数的图象及应用 1、巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2、奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 题型3：奇、偶函数的图象及应用 11．（2025高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   13．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 15．（2025高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且在上的图象如图所示． (1)请在坐标系中补全的图象； (2)求不等式的解集． （三） 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注：(1)利用函数的奇偶性求函数值问题应充分运用奇(偶)函数的定义构造函数，从而使问题快速得到解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数,若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题. 题型4：利用函数的奇偶性求函数值 16．（2025高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 17．（2025高二下·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 18．（2025高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 19．（2025高一上·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 . 20．（2025高一上·四川成都·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 . （四） 利用函数的奇偶性求参数值 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 题型5：利用函数的奇偶性求参数值 21．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知、为实数，且函数是偶函数，则 . 22．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数为奇函数，则的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 23．（2025高一下·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 24．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . （五） 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 题型6：利用函数的奇偶性求函数解析式 26．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，且当时，，则时，（　　） A． B． C． D． 27．（2025高一·全国·专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 28．（2025高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 29．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 30．（2022高一·全国·专题练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． （六） 利用函数的奇偶性比较大小 利用函数的奇偶性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 题型7：利用函数的奇偶性比较大小 31．（2025高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 32．【多选】（2025高一上·浙江杭州·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 33．【多选】（2025高一上·甘肃武威·期末）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数，则（　 　） A． B． C． D． 34．（2025高一上·甘肃平凉·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 35．（2017高三·全国·专题练习）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 . （七） 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 注：(1)抽象不等式问题，解题步骤是: ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系; ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f"，转化为解不等式(组)的问题. (2)需要注意的是:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). (3)利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算. 题型8：利用函数的奇偶性解不等式 36．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 38．（2025高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 39．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9：函数性质的综合应用 41．（黑龙江省九师联盟2025-2026学年高三上学期9月质量检测数学试题）设是定义在上的单调函数，且，． (1)求的值； (2)若，解不等式. 42．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数是偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数m的取值范围． 43．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 44．（2025高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 45．（2025高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 1．（2025高二下·北京昌平·期末）函数的图象关于（　　） A．y轴对称 B．直线对称 C．直线对称 D．坐标原点对称 2．（2025高一上·广东江门·期中）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．【多选】（2025高一下·云南普洱·阶段练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 4．（2025高一上·全国·课后作业）若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为（    ） A．±1 B．－1 C．1 D．0 5．（2025高一上·四川绵阳·期末）函数的图象大致是（    ） A．B． C．D． 6．（2023高三·全国·专题练习）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 7．（2025高一上·福建泉州·期末）鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”．如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（    ） A．及 B．及 C．及 D．及 8．（2025高一·上海·假期作业）已知函数对一切都有，求证：是奇函数，若，试用表示. 9．（2025高一上·广东湛江·阶段练习）若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C． D．3 10．（9-10高三·湖北荆州·阶段练习）定义在R上的偶函数，在上是增函数，则 A． B． C． D． 11．（2025高一上·北京西城·期末）设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一上·广西玉林·阶段练习）若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 14．（2004·上海）设偶函数的定义域为,若当时,的图象如图所示,则不等式的解集是 ． 15．（2025高一上·江苏扬州·期中）请写出一个满足以下条件的函数：①为偶函数②值域为， . 16．（2025高一上·全国·课后作业）已知是奇函数，则 ； ． 17．（2021高一·全国·专题练习）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+4）＝f（x），当1≤x≤2时f（x）＝x﹣2，则f（6.5）等于 . 18．（2025高一·全国·假期作业）已知函数是奇函数，当时，，若，则m的值为 . 19．（2025高一上·福建莆田·期中）设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，函数满足，则是 （填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若在上单调递增，且，则实数的取值范围是 ． 20．（2025高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 ． 21．（2025高一上·河南洛阳·期中）设函数. （1）王鹏同学认为，无论取何值，都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由； （2）若是偶函数，求的值； （3）在（2）的情况下，画出的图象并指出其单独递增区间. 22．（2025高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性； （3）求函数在上的最大值与最小值． 23．（2025高一下·天津南开·期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立. (1)求f（0）； (2)证明：函数y=f（x）是奇函数； (3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.2奇偶性9题型分类 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)． 四、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 五、奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 （一） 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域. (2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系. (3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 题型1：函数奇偶性的判断 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 3．（25-26高三上·北京·开学考试）下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，的定义域为，且， 即为奇函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，且，函数为偶函数， 当时，，则函数在上为增函数，符合题意； 对于C，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D，的定义域为R，， 即函数不是偶函数，不符合题意， 故选：B 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 5．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 题型2：抽象函数的奇偶性 6．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 7．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)函数为偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，得到，令，得，结合已知得，即可证； （2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证； （3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式． 【详解】（1）令，则有， 由，得，即，所以． 令，，则，即， 因为，所以，所以； （2）函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，，令．则， 所以，所以， 所以函数为偶函数； （3）令，则， 所以，所以． 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 9．（2025高一·全国·专题练习）设定义域为的函数满足：①对于任意，都有；②当时，；③. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性并证明； (3)求在上的值域. 【答案】(1)奇函数 (2)在上是减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，代入①中式子，解得，再令，，解得，即可判断奇偶性； （2）令，，，代入①中式子，结合奇偶性得，再根据②，即可判断单调性； （3）令，代入①中式子，解得，令，，解得，根据奇偶性得，再根据单调性得在上的值域. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 由①，令，得，所以， 令，，得，即， 所以，所以是奇函数． （2）对任意，由①，令，， 得， 由，结合②，得， 所以，即， 所以在上是减函数. （3）由①，令，得， 令，，得， 所以，且在上是减函数， 所以在上的值域为. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）先利用赋值法求得，再赋值得，利用奇函数的定义证明即可； （2）先判断为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为，最后利用单调性解不等式即可． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以， 即，解得或． （二） 奇、偶函数的图象及应用 1、巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2、奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 题型3：奇、偶函数的图象及应用 11．（2025高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 12．（2025高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 13．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 14．（2025高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 【答案】(1)作图见解析； (2)递减区间为； (3). 【分析】（1）根据奇函数求解析式，结合图象关于原点对称，画出y轴右侧图象即可. （2）（3）根据（1）所得函数图象确定减区间及不等式的解集即可. 【详解】（1）由题图及是R上的奇函数， 若，则，故， 由，故，函数图象如下： （2）由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图象知：使的取值集合为； 15．（2025高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且在上的图象如图所示． (1)请在坐标系中补全的图象； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）由奇函数的图象关于原点对称，补全图象即可； （2）由得：或，结合图象求解即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，所以图象关于原点对称，补全如图所示： （2）由得：或， 所以由图可知：或 故不等式的解集为：. （三） 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注：(1)利用函数的奇偶性求函数值问题应充分运用奇(偶)函数的定义构造函数，从而使问题快速得到解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数,若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题. 题型4：利用函数的奇偶性求函数值 16．（2025高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 17．（2025高二下·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 【答案】－16 【分析】构造函数，可得为奇函数，由得，从而可得结果. 【详解】令， 则， 由得， 由得，所以，则 所以， 故答案为：－16． 18．（2025高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 19．（2025高一上·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 . 【答案】 【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值. 【详解】因为，. 所以. 故答案为： 20．（2025高一上·四川成都·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 . 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性，赋值计算得解. 【详解】由是上的奇函数，是偶函数， 得，即， 因此， 所以. 故答案为：3 （四） 利用函数的奇偶性求参数值 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 题型5：利用函数的奇偶性求参数值 21．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知、为实数，且函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质，结合二次函数的对称性，即可列式求解. 【详解】函数是偶函数， 则且，得， 所以. 故答案为：4 22．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数为奇函数，则的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义求参数，然后代入求值即可． 【详解】由函数为奇函数， 所以， 即，解得. 当时，所以符合题意， 所以． 故选：D． 23．（2025高一下·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 24．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质得函数关于点中心对称，然后利用反比例函数的对称中心得函数的对称中心为，即可求得a，b的值，检验满足题意. 【详解】因为是奇函数， 所以，即， 所以函数关于点中心对称， 函数， 它是由函数向左平移1个单位再向上平移2个单位得到的， 而函数的对称中心为，所以函数的对称中心为， 所以， 当时， ，显然为奇函数，符合题意. 故选：A 25．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 （五） 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 题型6：利用函数的奇偶性求函数解析式 26．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，且当时，，则时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质，根据题设条件即可求得另一半的解析式. 【详解】因为时，， 当时，则，， 因是奇函数，则. 故选：B.　 27．（2025高一·全国·专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【答案】 【分析】由为定义在上的奇函数，则，再根据时，，求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 28．（2025高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象； （2）根据奇函数的性质求解即可； （3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可. 【详解】（1）如下图所示： . （2）因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 29．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 30．（2022高一·全国·专题练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． 【答案】， 【分析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是利用函数的奇偶性构造方程. 【详解】解析： 以代替条件等式中的，则有， 又，分别是上的奇函数和偶函数， 故． 又， 联立可得，． （六） 利用函数的奇偶性比较大小 利用函数的奇偶性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 题型7：利用函数的奇偶性比较大小 31．（2025高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数性质得，，再利用其单调性即可比较出大小. 【详解】因为偶函数，则，， 又因为其在区间上单调递减，则， 即. 故选：A. 32．【多选】（2025高一上·浙江杭州·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的奇偶性判断、的区间单调性及函数值的大小，结合单调性比较函数值的大小关系. 【详解】由是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则在上单调递增，，故在R上单调递增， 所以，则，A对； 由是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 则在上单调递减，则， 综上，、，B错，C对； 若时，大小不定，D错. 故选：AC 33．【多选】（2025高一上·甘肃武威·期末）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】只需得到偶函数在上是单调递增函数即可求解. 【详解】因为函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数， 所以在上是单调递增函数， 所以. 故选：AD. 34．（2025高一上·甘肃平凉·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质及函数单调性即可比较大小. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以在上单调递增， 因为，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大， 又，所以， 故选：D． 35．（2017高三·全国·专题练习）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据是偶函数，可得关于直线对称，将转化为和，根据在上的单调性，即可得结果. 【详解】因为是偶函数， 所以函数关于直线对称，即. 所以，， 又在上是增函数，且，故. 故答案为：. （七） 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 注：(1)抽象不等式问题，解题步骤是: ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系; ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f"，转化为解不等式(组)的问题. (2)需要注意的是:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). (3)利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算. 题型8：利用函数的奇偶性解不等式 36．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 37．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 38．（2025高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 39．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及单调性可分别作出函数、的图象，结合图象即可求解不等式. 【详解】由为上的偶函数可知的图象关于y轴对称，且， 而函数的图象为的图象向左平移2个单位得到的， 作出与的示意图如图所示， 结合图象可知时，的函数值互为相反数， 故的解集为．    故选：C. 40．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又在上单调递增，结合，所以， 解得或， 故实数的取值范围为． 故选：C 题型9：函数性质的综合应用 41．（黑龙江省九师联盟2025-2026学年高三上学期9月质量检测数学试题）设是定义在上的单调函数，且，． (1)求的值； (2)若，解不等式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合单调性，利用待定系数法求出解析式. （2）求出并判断奇偶性，再利用偶函数性质及单调性求出不等式解集. 【详解】（1）函数是定义在上的单调函数，且，， 则存在唯一正常数t，使得，，且，因此， 令，得，即，而，解得， 所以. （2）由（1）得函数，其定义域为，， 则函数为偶函数，又函数在上单调递增，则在上单调递增， 不等式， 由，得，由，得， 整理得，解得， 所以原不等式的解集为. 42．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数是偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2），结合二次函数的单调性分析即可； （3）利用奇偶性及单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，即， 即恒成立，即． （2）由（1）知． 函数在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 又因为为偶函数， 在上单调递增，在上单调递减． （3），即， 因为为偶函数，且在上单调递增， 所以，即， 展开可得，即， 解得． 43．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可； （3）利用函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）把点的坐标分别代入中， 得； （2）显然函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数； （3）当时，函数单调递增，且， 所以此时函数单调递减， 因为函数是偶函数， 所以由 或， 因此原不等式的解集为. 44．（2025高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案、证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设、列方程求参数值，并验证是否满足题设，再应用函数单调性定义及奇函数的对称性判断证明函数的单调性； （2）令，结合对勾函数、二次函数的性质求在上的最值，再将问题化为求参数范围. 【详解】（1）由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 45．（2025高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 1．（2025高二下·北京昌平·期末）函数的图象关于（　　） A．y轴对称 B．直线对称 C．直线对称 D．坐标原点对称 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性判断函数的对称性. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数， 则的图象关于原点对称. 故选：D 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，奇函数图象的对称性，属于基础题. 2．（2025高一上·广东江门·期中）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数的定义判断即可； 【详解】解：对于A：定义域为，且， 所以为偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，且， 所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且， 所以为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故D错误； 故选：B 3．【多选】（2025高一下·云南普洱·阶段练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为满足，所以是偶函数； 因为满足，所以是偶函数， 因为满足，所以是奇函数； 因为满足，所以是偶函数； 故选：ABD． 4．（2025高一上·全国·课后作业）若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为（    ） A．±1 B．－1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】由题得即得a＝±1，再检验即得解. 【详解】因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数， 所以， 所以 所以1－a2＝0.所以a＝±1. 当a＝1时，f(x)＝x2－1，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件； 当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足. 所以a＝1. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查二次函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．（2025高一上·四川绵阳·期末）函数的图象大致是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】分析函数的定义域与奇偶性，结合基本不等式以及排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 又因为，故函数为奇函数， 当时，， 当且仅当时，等号成立，排除ABC选项. 故选：D. 6．（2023高三·全国·专题练习）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】先令，求出，再结合，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，可求得结果. 【详解】∵， ∴， 又，分别是定义在R上的偶函数和奇函数， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 7．（2025高一上·福建泉州·期末）鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”．如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（    ） A．及 B．及 C．及 D．及 【答案】A 【分析】根据图形的对称性与定义域特点选择合适的函数. 【详解】因为图形为轴对称图形，所以与对应的值相等，故函数为偶函数，只有A、C选项中函数均为偶函数，故排除B、D； 根据图象可知为封闭图形，的定义域有限，C中及定义域均为，不符合题意. 故选：A 8．（2025高一·上海·假期作业）已知函数对一切都有，求证：是奇函数，若，试用表示. 【答案】证明见解析，. 【分析】先根据题中条件，由赋值法得到，结合函数奇偶性的概念，即可证明结论成立；再令，得到，推出，即可求出结果. 【详解】在中，令得， 又令得， 所以，因此； 即，故是奇函数； 若，则， 在中，令，可得， 因此. 9．（2025高一上·广东湛江·阶段练习）若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性计算即可 【详解】由函数为上的奇函数， 所以 且当时，， 所以. 故选：B. 10．（9-10高三·湖北荆州·阶段练习）定义在R上的偶函数，在上是增函数，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由题意得，函数为偶函数，所以，又因为在上是增函数，所以，即，故选B． 考点：1、函数的奇偶性及其应用；2、函数的单调性及其应用． 【易错点晴】本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性及其应用，属于基础题，解答本题的关键是利用函数的奇偶性，转化函数值，再利用函数的单调性进行比较大小关系，其中利用函数的奇偶性的转化思想是解题的一个易错点和难点． 11．（2025高一上·北京西城·期末）设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性结合零点即可得解. 【详解】为上的奇函数， 且在上单调递增，， 得：或 解得. 故选：D 12．（2025高一上·广西玉林·阶段练习）若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性得，作差比较得，结合单调性得结果. 【详解】∵是偶函数，∴，而， ∴， ∵函数在上是减函数， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数奇偶性的判断，属于基础题. 13．（2025高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 【答案】0，0 【分析】由求出，利用奇函数的定义即可求出的值. 【详解】由题意知，故． 由是奇函数知， 即， ∴，∴. 故答案为：0，0. 14．（2004·上海）设偶函数的定义域为,若当时,的图象如图所示,则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据偶函数性质,将转化为,再根据图象,写出的范围,进而求出解集即可. 【详解】解:由题知为偶函数, , , 即, 由时,的图象可知, 若,即, 即到原点的距离大于2小于等于5的数, 故解得:. 故答案为: 15．（2025高一上·江苏扬州·期中）请写出一个满足以下条件的函数：①为偶函数②值域为， . 【答案】=（答案不唯一） 【分析】根据函数满足的性质，写出一个满足条件的即可. 【详解】由函数满足：①为偶函数②值域为 函数=满足条件. 故答案为：=（答案不唯一） 16．（2025高一上·全国·课后作业）已知是奇函数，则 ； ． 【答案】 【分析】利用函数奇偶性得到，计算出，结合函数奇偶性得到的值. 【详解】因为函数是奇函数，所以， ，故． 故答案为：；. 17．（2021高一·全国·专题练习）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+4）＝f（x），当1≤x≤2时f（x）＝x﹣2，则f（6.5）等于 . 【答案】﹣0.5/ 【分析】利用函数的周期性以及函数为偶函数即可求解. 【详解】∵f（x+4）＝f（x），即函数的周期为4， ∵f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣x）＝f（x）， ∴f（6.5）＝f（2.5）＝f（﹣1.5）＝f（1.5）＝﹣0.5， 故答案为：﹣0.5. 18．（2025高一·全国·假期作业）已知函数是奇函数，当时，，若，则m的值为 . 【答案】 【分析】由奇函数可得,则可得,解出即可 【详解】因为是奇函数,,所以,即,解得 故答案为： 【点睛】本题考查利用奇偶性求值,考查已知函数值求参数 19．（2025高一上·福建莆田·期中）设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，函数满足，则是 （填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若在上单调递增，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 奇函数 【分析】根据奇函数的定义可判断为奇函数，根据的单调性结合的单调性可判断的单调性，从而可求实数的取值范围. 【详解】因为，故， 所以， 而的定义域为，故为奇函数. 因为在上单调递增，在上单调递减， 故在上为单调递增，结合其为奇函数， 故在上为单调递增 又等价于， 故，故，故， 故答案为：奇函数，. 【点睛】思路点睛：求解函数不等式，需结合函数的单调性去掉对应法则，注意可根据函数的奇偶性得到函数在整体范围上的单调性，另外注意根据已知不等式关系合理构造函数值的不等式关系. 20．（2025高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，则函数在R上为减函数， 又函数是R上的奇函数，可得，从而列不等式组求解即可得答案. 【详解】解：因为函数对任意给定的实数，，恒成立，即， 所以函数在R上为减函数， 又函数是R上的奇函数，所以， 则不等式，可得或 即或，解得， 所以原不等式的解集为. 21．（2025高一上·河南洛阳·期中）设函数. （1）王鹏同学认为，无论取何值，都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由； （2）若是偶函数，求的值； （3）在（2）的情况下，画出的图象并指出其单独递增区间. 【答案】（1）我同意王鹏同学的看法;（2）;（3）和 【详解】试题分析：（1）（举特例）若为奇函数，则有，整理得，由于此方程无解，故不可能是奇函数；（2）由得,解得；（3）画出图象如图，由图象得单调递增区间是和． 试题解析： （1）我同意王鹏同学的看法，理由如下： 若为奇函数，则有， 显然无解， 所以不可能是奇函数 （2）若为偶函数，则有 , 解得， 此时，是偶函数. （3）由（2）知，其图象如图所示 其单调递增区间是和. 22．（2025高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性； （3）求函数在上的最大值与最小值． 【答案】（1）（2）函数在上单调递增．（3）最大值1，最小值． 【分析】（1）由偶函数的定义即可求解． （2）由函数的单调性定义即可证明． （3）由函数是偶函数，确定函数在上的单调性即可求出最值． 【详解】（1）若函数是上的偶函数， 则，即 解得． （2）函数在上单调递增．理由如下： 由（1），知． 设任意的，，且， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以函数在上单调递增． （3）由（2），知函数在上单调递增． 又是上的偶函数， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的运用以及单调性证明；在证明单调性时步骤：“作差、变形、定号”，属于基础题． 23．（2025高一下·天津南开·期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立. (1)求f（0）； (2)证明：函数y=f（x）是奇函数； (3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数. 【答案】(1)f（0）=0 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法求解； （2）利用函数奇偶性定义证明； （3）利用函数单调性定义证明. 【详解】（1）解：因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）， 所以令a=b=0，得f（0）=0. （2）由f（a+b）=f（a）+f（b）， 得f（x-x）=f（x）+f（-x）. 即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0， ∴f（-x）=-f（x）， 即函数y=f（x）是奇函数. （3）设x1>x2，则x1-x2>0，f（x1-x2）<0 而f（a+b）=f（a）+f（b）， ∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）<f（x2）， ∴函数y=f（x）是R上的减函数. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $